1．(2020·桂林中考)如圖，AB是⊙O的弦，AC與⊙O相切于點(diǎn)A，連接OA，OB，若∠O＝130°，則∠BAC的度數(shù)是(B)A．60°B．65°C．70°D．75°2．(2019·桂林中考)如圖，BM是以AB為直徑的⊙O的切線，B為切點(diǎn)，BC平分∠ABM，弦CD交AB于點(diǎn)E，DE＝OE.(1)求證：△ACB是等腰直角三角形．(2)求證：OA2＝OE·DC.(3)求tan∠ACD的值．【解析】(1)∵BM是以AB為直徑的⊙O的切線，∴∠ABM＝90°，∵BC平分∠ABM，∴∠ABC＝eq\f(1,2)∠ABM＝45°，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴AC＝BC，∴△ACB是等腰直角三角形．(2)如圖，連接OD，OC，∵DE＝EO，DO＝CO，∴∠EDO＝∠EOD，∠EDO＝∠OCD，∴∠EOD＝∠OCD，∴△EDO∽△ODC，∴eq\f(OD,DC)＝eq\f(DE,DO)，∴OD2＝DE·DC，∴OA2＝DE·DC＝OE·DC.(3)如圖，連接BD，AD，DO，作∠BAF＝∠DBA，交BD于點(diǎn)F，∵DO＝BO，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠AOD＝2∠ODB＝∠EDO，∵∠CAB＝∠CDB＝45°＝∠EDO＋∠ODB＝3∠ODB，∴∠ODB＝15°＝∠OBD，∵∠BAF＝∠DBA＝15°，∴AF＝BF，∠AFD＝30°，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴AF＝2AD，DF＝eq\r(3)AD，∴BD＝DF＋BF＝eq\r(3)AD＋2AD，∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(1,2＋\r(3))＝2－eq\r(3).3．(2021·桂林中考)如圖，四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°.點(diǎn)E為BC中點(diǎn)．AE⊥DE于點(diǎn)E.點(diǎn)O是線段AE上的點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑的⊙O與AB相切于點(diǎn)G.交BC于點(diǎn)F.連接OG.(1)求證：△ECD∽△ABE；(2)求證：⊙O與AD相切；(3)若BC＝6，AB＝3eq\r(3).求⊙O的半徑和陰影部分的面積．【解析】(1)如圖，∵AE⊥DE，∴∠DEA＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠2＝∠4，∴△ECD∽△ABE.(2)過點(diǎn)O作OH⊥AD于H，∵⊙O與AB相切于點(diǎn)G，∴OG⊥AB，∵△ECD∽△ABE，∴eq\f(DE,EA)＝eq\f(CE,BA).∵點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，∴CE＝BE，∴eq\f(DE,EA)＝eq\f(EB,BA)，即eq\f(DE,EB)＝eq\f(EA,BA).∵∠DEA＝∠B＝90°，∴△DEA∽△EBA.∴∠1＝∠2，即AO平分∠DAB，∴OH＝OG，∴⊙O與AD相切．(3)∵BC＝6，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，∴BE＝3.∵AB＝3eq\r(3)，∠B＝90°，∴AE＝eq\r(BE2＋AB2)＝6，∵AG⊥OG，∠B＝90°，∴OG∥BE，∴△AOG∽△AEB.∴eq\f(AO,AE)＝eq\f(GO,BE)，即eq\f(6－OE,6)＝eq\f(GO,3)，在⊙O中，OE＝OG，∴eq\f(6－OG,6)＝eq\f(OG,3)，∴OG＝2，即⊙O的半徑是2.在Rt△ABE中，BE＝3，AB＝3eq\r(3)，∴tan∠2＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠2＝30°，∴AO＝2OG＝4.在Rt△AOG中，AG＝eq\r(AO2－OG2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，連接OF，∵∠3＝90°－∠2＝60°，又OE＝OF，∴△OEF是等邊三角形，∴∠EOF＝60°，EF＝2，又∠AOG＝90°－∠2＝60°，∴∠GOF＝180°－∠EOF－∠AOG＝180°－60°－60°＝60°.∵BF＝BE－EF＝3－2＝1，BG＝AB－AG＝3eq\r(3)－2eq\r(3)＝eq\r(3).∴S梯形OGBF＝eq\f(（OG＋BF）·BG,2)＝eq\f(3\r(3),2)，S扇形OGF＝eq\f(60·π·OG2,360)＝eq\f(2π,3)，∴S陰影＝S梯形OGBF－S扇形OGF＝eq\f(3\r(3),2)－eq\f(2π,3).4．(2018·桂林中考)如圖1，已知⊙O是△ADB的外接圓，∠ADB的平分線DC交AB于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)C，連接AC，BC.(1)求證：AC＝BC.(2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上作⊙O的直徑CF交AB于點(diǎn)E，連接AF，過點(diǎn)A作⊙O的切線AH，若AH∥BC，求∠ACF的度數(shù)．(3)在(2)的條件下，若△ABD的面積為6eq\r(3)，△ABD與△ABC的面積比為2∶9，求CD的長．【解析】(1)∵DC平分∠ADB，∴∠ADC＝∠BDC，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴AC＝BC.(2)連接AO并延長交BC于點(diǎn)I，交⊙O于點(diǎn)J，∵AH是⊙O的切線且AH∥BC，∴AI⊥BC，由垂徑定理得，BI＝IC，∵AC＝BC，∴IC＝eq\f(1,2)AC，在Rt△AIC中，IC＝eq\f(1,2)AC，∴∠IAC＝30°，∴∠BAJ＝30°，∵AC＝BC，∴△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠F＝60°，∵FC是直徑，∴∠FAC＝90°，∴∠ACF＝180°－90°－60°＝30°.(3)過點(diǎn)D作DG⊥AB，由(2)知，△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∵∠ACF＝30°，∴AB⊥CF，∴AE＝BE，∴S△ABC＝eq\f(\r(3),4)AB2＝27eq\r(3)，∴AB＝6eq\r(3)，∴AE＝3eq\r(3)，在Rt△AEC中，CE＝eq\r(3)AE＝9，在Rt△AEO中，設(shè)EO＝x，則AO＝2x，∵AO2＝AE2＋OE2，∴(2x)2＝(3eq\r(3))2＋x2，∴x＝3，∴⊙O的半徑為6，∴CF＝12.∵S△ABD＝AB×DG×eq\f(1,2)＝6eq\r(3)×DG×eq\f(1,2)＝6eq\r(3)，∴DG＝2，過點(diǎn)D作DP⊥CF于點(diǎn)P，連接OD，∵AB⊥CF，DG⊥AB，∴CF∥DG，∴四邊形PDGE為矩形，