《等腰三角形（第三課時）》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定；2.運用等腰三角形的判定和性質(zhì)解決簡單的綜合問題；3.運用尺規(guī)作圖解決等腰三角形中的作圖問題.教學(xué)重點：理解和運用等腰三角形的判定與性質(zhì).教學(xué)難點：等腰三角形的判定和性質(zhì)綜合運用，尺規(guī)作圖的運用.教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動3分鐘復(fù)習(xí)鞏固1．定義：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形．2．性質(zhì):（1）等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”)；格式：如圖,在△ABC中,∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等邊對等角).（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.格式：如圖,在△ABC中,∵AB=AC,∠1=∠2（已知），∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.∵AB=AC,BD=CD（已知），∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.∵AB=AC,AD⊥BC（已知），∴BD=CD,∠1=∠2（等腰三角形三線合一）.3.判定:如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”).格式：∵在△ABC中，∠B=∠C,∴AB=AC.18分鐘綜合應(yīng)用.例1.如圖，DB=DC，∠ABD=∠ACD，求證：AB=AC.證明：如圖，連接BC，∵DB=DC，∴∠DBC=∠DCB.又∵∠ABD=∠ACD，∴∠DBC+∠ABD=∠DCB+∠ACD，即∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.本題有兩條邊相等，證明另外兩條邊相等。先使用等腰三角形的性質(zhì)，后使用等腰三角形的判定。兩個三角形△ABC和△DBC都是等腰三角形，通過作輔助線BC把二者相聯(lián)系。練習(xí)：如圖，在△ABC中，AB=AC，在AC上取點P，過點P作EF⊥BC，交BA的延長線于點E，垂足為點F.求證：AE=AP.證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵EF⊥BC，∴∠E=90°-∠B,∠CPF=90°-∠C.∴∠E=∠CPF，∵∠APE=∠CPF,∴∠APE=∠E.∴AE=AP.例2.在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，E、F分別是邊AB、AC上的點．EF∥BC．（1）說明△AEF是等腰三角形；（2）說明△DEF是等腰三角形．解：（1）∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰三角形．（2）∵AD是等腰△ABC的底邊上的高，∴AD也是∠BAC的平分線．∵△AEF是等腰三角形，∴AG是底邊EF上的高和中線，∴AD⊥EF，GE＝GF．∴AD是線段EF的垂直平分線，∴DE＝DF，所以△DEF是等腰三角形．要說明一個三角形是等腰三角形，就是要說明這個三角形中有兩條邊相等．我們可以說明這個三角形有兩個內(nèi)角相等或它的一個頂點在它對邊的垂直平分線上，通過底邊垂直平分線說明得到兩腰想等，在上節(jié)課的作圖題中使用過．本題既考查了等腰三角形的性質(zhì)，也考查了等腰三角形的判定．本題也可以改造的更特殊些，將等腰三角形的頂點A沿EF折疊，使其與垂足D重合。練習(xí).如圖所示，把一張長方形的紙沿對角線折疊，則重合部分是等腰三角形嗎？為什么？解：重合部分是等腰三角形.理由如下:根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AF=CD=AB，∠F=∠D=90°.又∠FHA=∠DHC，∴△FAH≌△DCH(AAS)，可得CH=AH，∴重合部分是等腰三角形.方法二：根據(jù)軸對稱性質(zhì)∠FCA=∠BCA，∵AD∥BC，∴∠HAC=∠BCA，∴∠FCA=∠HAC，∴AE=CE.例3.已知等腰三角形的底邊長a=4cm，腰上的高h(yuǎn)=3cm，請畫出符合條件的等腰三角形.分析：（1）畫草圖（2）分析草圖由給出的條件根據(jù)全等三角形判定定理HL可以唯一確定△ABD.得到要求的等腰三角形的底邊（兩個底角頂點）;畫這個等腰三角形的頂角頂點——作底邊的垂直平分線.作法：（1）作線段AD=3cm，過點D作直線EF⊥AD于點D.（2）在直線EF上找一點B使得AB=4cm（以A為圓心，4cm為半徑畫弧交EF于點B）.（3）作AB的垂直平分線MN交直線EF于點C.連AC.則△ABC即為所求.解決畫圖問題的一般步驟：（1）畫草圖.（2）分析草圖——找確定的三角形.△ABD（HL）→頂角頂點C（3）按順序畫圖練習(xí)：某小區(qū)要修建一個等腰三角形的花壇，要求其底邊長為4m，腰長為3m，請畫出花壇的設(shè)計圖（比例尺為1:100）.作法：（1）作線段AB=4cm.（2）分別以A、B為圓心，3cm為半徑畫弧，兩弧交于點C.連AC、BC.則△ABC即為所求.3分鐘課堂小結(jié)1．確定等腰三角形的依據(jù)（1）定義：兩邊相等的三角形是等腰三角形；（2）兩個角相等的三角形是等腰三角形．注意以下兩種情形：（1）當(dāng)圖形中有角平分線和平行線時常常有等腰三角形；（2）當(dāng)圖中出現(xiàn)線段的垂直平分線時常常有等腰三角形.2.注意性質(zhì)和判定的轉(zhuǎn)換。3.解決畫圖問題的一般步驟：（1）畫草圖.（2）分析草圖（3）按順序畫圖課后作業(yè)1.如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F,過點F作DE∥BC,分別交AB,AC于點D,E.若BD+CE=6,則線段DE的長為(D)A.9 B.8C.7 D.62.如圖，AB=AC，E為CA延長線上一點，作ED⊥BC于D，交AB于點F，求證：△AEF為等腰三角形.證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵ED⊥BC，∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFD=90°.∴∠E=∠BFD.又∵∠AFE=∠BFD，∴∠E=∠AFE.∴AE=AF.∴△AEF為等腰三角形.3.已知等腰三角形的腰長a=4cm，腰上的高h(yuǎn)=3cm，請畫出符合條件的等腰三角形.作法：（1）作線段AD=3cm，過點D作直線EF⊥AD于點D.（2）在直線EF上找一點B使得AB=4cm（以A為圓心，4cm為半徑畫弧交EF于點B）.(3)在直線EF上截取BC=BC’=4cm（以B為圓心，4cm為半徑畫弧交EF于點C,C’兩點）.連AC，AC’.知能演練提升一、能力提升1.下列說法正確的是()A.等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合B.頂角相等的兩個等腰三角形全等C.等腰三角形一邊不可以是另一邊的2倍D.等腰三角形的兩個底角相等2.如圖,在△ABC中,AB=AC,過點A作AD∥BC.若∠1=50°,則∠CAD的大小為()A.50° B.65° C.80° D.60°3.如圖,已知等腰三角形ABC,AB=AC.若以點B為圓心,BC長為半徑畫弧,交腰AC于點E,則下列結(jié)論一定正確的是()A.AE=EC B.AE=BEC.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE4.如圖,AB=AC,AB的垂直平分線MN交AC于點D,若∠C=65°,則∠DBC的度數(shù)是()A.25° B.20° C.30° D.15°5.如圖,直線l1∥l2,以直線l1上的點A為圓心、適當(dāng)長為半徑畫弧,分別交直線l1,l2于點B,C,連接AC,BC.若∠ABC=67°,則∠1的度數(shù)為.

★6.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線l與AC所在的直線相交所得到的銳角為50°,則∠B的度數(shù)是.

7.如圖,點D在△ABC的邊AB上,且DC=DA=DB.求證:△ABC是直角三角形.二、創(chuàng)新應(yīng)用★8.數(shù)學(xué)課上,張老師舉了下面的例題:例1在等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度數(shù).(答案:35°)例2在等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度數(shù).(答案:40°,70°或100°)張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式,小敏編了如下一道題:變式在等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度數(shù).(1)請你解答以上的變式題.(2)解(1)后,小敏發(fā)現(xiàn),∠A的度數(shù)不同,得到∠B的度數(shù)的個數(shù)也可能不同.如果在等腰三角形ABC中,設(shè)∠A=x°,當(dāng)∠B有三個不同的度數(shù)時,請你探索x的取值范圍.

知能演練·提升一、能力提升1.D2.B3.C4.D∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=65°,∴∠A=180°-∠ABC-∠C=50°.∵M(jìn)N垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD=50°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°.5.46°6.70°或20°分兩種情況,如圖. 7.證明∵DC=DA,∴∠A=∠ACD.∵DC=DB,∴∠B=∠BCD.∵∠A+∠ACD+∠BCD+∠B=180°,∴∠ACD+∠BCD=90°,即∠ACB=90°.∴△ABC是直角三角形.二、創(chuàng)新應(yīng)用8.解(1)當(dāng)∠A為頂角時,∠B=50°;當(dāng)∠A為底角時,若∠B為頂角,則∠B=20°,若∠B為