第3章圖形的初步認(rèn)識1.線段、射線、直線正確理解直線、射線、線段的概念以及它們的區(qū)別：名稱圖形表示方法端點(diǎn)長度直線直線AB(或BA)直線l無端點(diǎn)射線射線OM1個(gè)無法度量線段線段AB(或BA)線段l可度量長度AOB圖1經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。（AOB圖1b圖2b圖2線段公理:兩點(diǎn)間最短;兩點(diǎn)間線段的長度叫做.比較線段長短的兩種方法:1圖3β圖4①圓規(guī)截取比較法1圖3β圖4用刻度尺可以畫出線段的中點(diǎn),線段的和、差、倍、分;用圓規(guī)可以畫出線段的和、差、倍.3角的度量與表示角:有的兩條射線組成的圖形叫做角;這個(gè)公共端點(diǎn)叫做;這兩條射線叫做.角的表示法：角的符號為“∠”終邊始邊圖5①用三個(gè)字母表示，如圖1終邊始邊圖5②用一個(gè)字母表示，如圖2所示∠b③用一個(gè)數(shù)字表示，如圖3所示∠1④用希臘字母表示，如圖4所示∠β4.角度數(shù)的換算：1°=，1′=角也可以看成是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。如圖5所示：一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時(shí)，所成的角叫做。如圖6所示：終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它又和始邊重合時(shí)，所成的角叫做。如圖7所示：周角圖周角圖7平角圖65.從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)。6.的補(bǔ)角相等，等角的相等7.經(jīng)過直線外一點(diǎn)，與這條直線平行。8.如果平行，那么這兩條直線互相平行。9.互相垂直的兩條直線的交點(diǎn)叫做。10.平面內(nèi)，過一點(diǎn)垂直。11.如圖8所示，過點(diǎn)C作直線AB的垂線，垂足為O點(diǎn)，線段CO的長度叫做點(diǎn)。圖圖8CABO一、圖形概念辨析易錯點(diǎn)易錯點(diǎn)1：立體圖形與平面圖形混淆典型錯誤：誤認(rèn)為圓柱的側(cè)面展開圖（長方形）是立體圖形；將長方體的一個(gè)面（長方形）等同于長方體本身。注意事項(xiàng)：立體圖形具有三維空間特征（長、寬、高），而平面圖形僅存在于二維平面?？赏ㄟ^觀察圖形是否具有“厚度”區(qū)分，如長方體是立體圖形，其每個(gè)面是平面圖形。易錯點(diǎn)2：直線、射線、線段特征混淆典型錯誤：用“射線AB”表示從B向A方向延伸的線；認(rèn)為直線可以度量長度。注意事項(xiàng)：直線無端點(diǎn)、向兩端無限延伸，不可度量；射線有一個(gè)端點(diǎn)，延伸方向由端點(diǎn)與命名順序決定（如“射線AB”從A向B延伸）；線段有兩個(gè)端點(diǎn)，可測量長度。命名時(shí)需注意射線的方向性。二、圖形度量計(jì)算易錯點(diǎn)易錯點(diǎn)3：度分秒換算錯誤典型錯誤：計(jì)算30.5°轉(zhuǎn)化為度分形式時(shí)，誤寫成30°50'（正確應(yīng)為30°注意事項(xiàng)：度分秒進(jìn)率為60（1°=60'，1'=60″），大單位轉(zhuǎn)小單位需乘60，小單位轉(zhuǎn)大單位需除以易錯點(diǎn)4：角平分線應(yīng)用錯誤典型錯誤：已知OC平分∠AOB，∠AOB=80°，求∠AOC時(shí)，錯寫成注意事項(xiàng)：角平分線將角平分為兩個(gè)相等的角，計(jì)算時(shí)需準(zhǔn)確運(yùn)用“半角”關(guān)系，如∠AOC=1三、圖形關(guān)系推理易錯點(diǎn)易錯點(diǎn)5：余角與補(bǔ)角概念混淆典型錯誤：將互余兩角之和誤記為180°；已知∠α=30°，求其補(bǔ)角時(shí)，錯算為60注意事項(xiàng)：互余兩角之和為90°，互補(bǔ)兩角之和為180易錯點(diǎn)6：立體圖形展開圖對應(yīng)錯誤典型錯誤：將正方體展開圖中相隔較遠(yuǎn)的面誤認(rèn)為相鄰面；折疊長方體展開圖時(shí)，混淆長、寬、高的對應(yīng)邊。注意事項(xiàng)：熟記常見立體圖形的典型展開圖特征（如正方體“1-4-1”?“2-3-1”等結(jié)構(gòu)），折疊時(shí)通過標(biāo)注頂點(diǎn)或邊的名稱輔助對應(yīng)。四、實(shí)際應(yīng)用易錯點(diǎn)易錯點(diǎn)7：幾何模型與實(shí)際問題脫節(jié)典型錯誤：用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決選址問題時(shí)，忽略地形限制；計(jì)算建筑物高度時(shí)，未考慮測量工具的誤差。注意事項(xiàng)：實(shí)際應(yīng)用需結(jié)合具體場景，驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的可行性；注意測量數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性與誤差范圍，必要時(shí)進(jìn)行多次測量取平均值。易錯點(diǎn)8：邏輯推理表述不規(guī)范典型錯誤：證明“對頂角相等”時(shí)，僅描述“看起來相等”；使用幾何語言時(shí)，省略關(guān)鍵條件（如未說明“因?yàn)锳B與CD相交于點(diǎn)O”就直接得出對頂角關(guān)系）。注意事項(xiàng)：幾何推理需基于定義、定理進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)，用規(guī)范語言（“因?yàn)椤浴保┍硎?，確保條件完整、邏輯連貫。題型01直線、射線、線段的相關(guān)概念1．（24-25七年級上·吉林·期末）下列說法正確的是（

）A．直線與直線不是同一條直線 B．射線與射線是同一條射線C．延長線段和延長線段的含義一樣 D．經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線2．（24-25七年級上·山東濰坊·期末）如圖，下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)在射線上 B．點(diǎn)在直線上C．點(diǎn)是直線的一個(gè)端點(diǎn) D．射線和射線表示同一條射線3．（24-25七年級上·河北唐山·期末）如圖，直線l被直尺覆蓋一部分，下面選項(xiàng)中哪條射線是直線l的一部分（

）A．a(chǎn) B．b C．c D．d4．（24-25七年級上·安徽亳州·期末）如圖，下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)在線段上 B．點(diǎn)是直線的一個(gè)端點(diǎn)C．圖中共有3條線段 D．射線和射線是同一條射線5．（24-25七年級上·陜西寶雞·期末）如圖，下列說法正確的是（

）A．圖中有直線1條，射線3條，線段2條B．射線還可以表示為射線C．點(diǎn)在直線外，直線經(jīng)過點(diǎn)D．圖中線段，則點(diǎn)是線段的中點(diǎn)題型02點(diǎn)與線的位置關(guān)系6．（2025·河北廊坊·一模）如圖，為下列某條直線上的一點(diǎn)，利用直尺判斷，該直線為（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線7．（24-25七年級上·重慶渝中·期末）如圖，直線與直線相交于點(diǎn)，下列說法錯誤的是（

）A．點(diǎn)在直線外 B．點(diǎn)在直線上C．點(diǎn)在線段的反向延長線上 D．直線與線段相交于點(diǎn)8．（24-25七年級上·北京西城·期末）如圖，已知點(diǎn)P與直線l，用適當(dāng)?shù)恼Z句表述圖中點(diǎn)P與直線l的關(guān)系：．9．（24-25七年級上·北京朝陽·期末）如圖，下列表述點(diǎn)與直線關(guān)系的語句：①點(diǎn)A在直線外；②直線m和n相交于點(diǎn)C；③點(diǎn)B既在直線l上又在直線m上．其中正確的是（直接填寫序號）．10．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）下列幾何圖形與相應(yīng)語言描述相符的是（

）A．如圖1所示，點(diǎn)C在線段上B．如圖2所示，射線經(jīng)過點(diǎn)AC．如圖3所示，延長線段到點(diǎn)CD．如圖4所示，圖中共有4條射線題型03直線相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題11．（24-25七年級下·全國·假期作業(yè)）一平面內(nèi)，3條直線兩兩相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；4條直線兩兩相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)；5條直線兩兩相交，最多有10個(gè)交點(diǎn)；…；那么，10條直線兩兩相交，最多有個(gè)交點(diǎn)．12．（24-25七年級下·福建三明·期中）在同一平面內(nèi)，以下結(jié)論正確的是（

）①7條直線最多有21個(gè)交點(diǎn)；②7條兩兩不平行的直線，其中任2條直線的所有交角中，至少有一個(gè)角小于；③存在7條直線（任意3條都不共點(diǎn)），其中每條直線都恰與另3條直線相交．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③13．（24-25七年級下·山東聊城·期中）在同一平面內(nèi)，我們把n條直線中任一條直線都和其余的直線相交叫做直線兩兩相交．兩條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)；三條直線兩兩相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；四條直線兩兩相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)…按照此規(guī)律，12條直線兩兩相交，最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．66 B．78 C．156 D．14314．（24-25七年級上·山東濟(jì)寧·期末）在同一平面內(nèi)，我們把條直線中任一條直線都和其余的直線相交叫做直線兩兩相交．兩條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)；三條直線兩兩相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；四條直線兩兩相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)．．．按照此規(guī)律，條直線兩兩相交，最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．15．（24-25七年級上·廣東韶關(guān)·期末）如圖所示，兩條直線兩兩相交有1個(gè)交點(diǎn)，三條直線兩兩相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，八條直線兩兩相交最多有個(gè)交點(diǎn)．題型04線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算16．（24-25七年級下·云南昆明·開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)M、N分別是線段的中點(diǎn)．(1)若，求線段的長度；(2)若，其他條件不變，請猜想線段的長度，并說明理由；17．（24-25七年級上·天津?qū)幒印て谀┤鐖D，已知C為線段的中點(diǎn)，D在線段上．若，，則．18．（24-25七年級上·陜西咸陽·階段練習(xí)）追本溯源：題（1）來自課本中的嘗試·思考，請你完成解答，提煉方法并完成題（2）．（1）在直線上順次取三點(diǎn)，使得，．如果是線段的中點(diǎn)，那么線段和的長度分別是多少？方法應(yīng)用（2）①已知是線段上一點(diǎn)，，，是的中點(diǎn)，則___________；②如圖，是線段上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，求的長．19．（24-25七年級上·河北滄州·期中）已知，點(diǎn)A、B、C在同一直線上，且，，點(diǎn)E、F分別是線段、的中點(diǎn)，求線段的長．20．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）如圖，點(diǎn)B是線段上一點(diǎn)，且，．點(diǎn)O是線段的中點(diǎn)．(1)圖中共有______條線段；(2)求線段的長．題型05線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算21．（24-25七年級上·福建龍巖·期末）如圖M是線段的中點(diǎn)，，點(diǎn)C是上的一點(diǎn)，且滿足，則線段的長度是．22．（24-25七年級上·江西南昌·期末）已知線段，是線段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）．(1)若，，求的長；(2)在（1）的條件下，若且點(diǎn)在直線上，，求的長度．23．（24-25七年級上·山西呂梁·期末）如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且，．(1)求線段的長度．(2)若點(diǎn)在線段上，且點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，求線段的長度．24．（24-25七年級上·貴州遵義·期末）如圖，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，．(1)求BC的長；(2)在射線AB上有一點(diǎn)M，，求線段CM的長．25．（24-25七年級上·廣東惠州·期末）如圖，已知線段，點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，延長線段到點(diǎn)D，使．(1)求線段的長．(2)點(diǎn)E是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，求線段的長．題型06與線段有關(guān)的動點(diǎn)問題26．（2025·河北唐山·二模）如圖，電子屏幕上有一條直線，在直線上有A，B，C，D四點(diǎn)，四點(diǎn)之中相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等，光點(diǎn)P沿著直線從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)D，當(dāng)光點(diǎn)P到A，B，C，D四點(diǎn)中至少兩點(diǎn)的距離相等時(shí)，光點(diǎn)P就會發(fā)出紅光，則光點(diǎn)P發(fā)出紅光的次數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．627．（24-25七年級上·湖南懷化·期末）已知：如圖1，M是定長線段上一定點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以、的速度沿直線向左運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示（C在線段上，D在線段上）．

圖1

圖2(1)若，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了，求的值；(2)若點(diǎn)C、D運(yùn)動時(shí)，總有，直接填空：_______；(3)在（2）的條件下，N是直線上一點(diǎn)，且，求的值．28．（22-23七年級上·江西九江·期末）已知點(diǎn)M是線段上一點(diǎn)，若，點(diǎn)N是直線上的一動點(diǎn)，且，則．29．（24-25七年級下·湖南衡陽·期中）如圖，已知線段，，半徑，當(dāng)點(diǎn)在的上方，且時(shí)，點(diǎn)繞著點(diǎn)以每秒的速度在圓周上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周后停止，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)沿線段向點(diǎn)運(yùn)動，若點(diǎn)、兩點(diǎn)能相遇，則點(diǎn)的運(yùn)動速度為．30．（24-25七年級上·湖北孝感·期末）如圖線段，動點(diǎn)從出發(fā)，以2個(gè)單位長度／秒的速度沿射線運(yùn)動，為中點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時(shí)，①出發(fā)多少秒后，？②試說明為定值；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段延長線上運(yùn)動時(shí)，設(shè)為的中點(diǎn)，有下列兩個(gè)結(jié)論：①長度不變；②的值不變．選出一個(gè)正確的結(jié)論，并求其值；題型07兩點(diǎn)之間線段最短31．（2025·四川遂寧·中考真題）如圖，圓柱的底面直徑為，高為，一只螞蟻在點(diǎn)C處，沿圓柱的側(cè)面爬到點(diǎn)B處，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿剪開，在側(cè)面展開圖上畫出螞蟻爬行的最短路線，正確的是（

）A． B． C． D．32．（2025七年級下·河南鄭州·專題練習(xí)）“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩．由此引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”．將軍在點(diǎn)A處，現(xiàn)在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營B處，問：將軍怎么走能使得路程最短？將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即：在直線l上選取一點(diǎn)P，使得最?。旅嫠姆N解決方案中，符合要求的是（

）A． B．C． D．33．（24-25七年級下·江蘇南京·期中）如圖，甲、乙均從處去往處．甲選擇圖中的路線①，即依次途徑，，，最終到達(dá)；乙選擇圖中的路線②，即途徑，最終到達(dá)．圖中的，，，，，均在格點(diǎn)上，且從一處到下一處均按直線行走，則兩條路線中較長的是（

）A．① B．② C．一樣長 D．無法確定34．（24-25七年級上·河北石家莊·期末）圖中圓為草坪，線段和為小路，經(jīng)常有路人踩踏草坪走路線，路人選擇路線的原因可以用數(shù)學(xué)知識解釋為．35．（2025·河北·一模）如圖，這是嘉嘉繪制的從地到地的路線圖，這兩地之間的最短距離為，從上到下分別為路線，，，，其中某條路線所標(biāo)的數(shù)據(jù)錯誤，則數(shù)據(jù)錯誤的是（

）A．路線 B．路線 C．路線 D．路線題型08角的相關(guān)概念36．（24-25七年級上·廣東深圳·期末）深圳市數(shù)碼產(chǎn)品購置補(bǔ)貼活動期間，小山爸爸在坪山商場購入了一臺“三折疊”手機(jī)，小山測量“三折疊”手機(jī)打開角度如下圖．此時(shí)“三折疊”手機(jī)的打開角度是（

）A． B． C． D．37．（24-25七年級上·河北邯鄲·期末）如圖，下列說法中不正確的是（

）

A．與是同一個(gè)角B．也可以用表示C．D．可以看作射線繞著它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至而形成的圖形，也可看作由有公共端點(diǎn)O的兩條射線組成的圖形38．（24-25七年級上·河北保定·期末）如圖，的邊經(jīng)過的點(diǎn)是（

）

A． B．B C． D．39．（24-25七年級上·貴州遵義·期末）如圖，下列說法不正確的是（

）A．和是同一個(gè)角 B．也可以用表示C．圖中有三個(gè)角 D．和是同一個(gè)角40．（24-25七年級上·河南信陽·期末）如圖，在銳角的內(nèi)部依次作射線、和，則圖中共有個(gè)銳角．題型09與方向角有關(guān)的計(jì)算41．（24-25七年級下·山西運(yùn)城·期中）為推進(jìn)城鄉(xiāng)融合發(fā)展，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)要修建一條鄉(xiāng)村公路，如圖所示，公路從地沿著北偏東方向到地，再從地沿著南偏東方向到地，然后從地到地．已知的方向與的方向一致，則公路從地到地修建的方向?yàn)椋?/p>

）A．東偏北 B．北偏東C．南偏東 D．北偏西42．（2025·河北邯鄲·二模）如圖，已知從點(diǎn)看點(diǎn)，仰角為，嘉淇做一個(gè)數(shù)學(xué)游戲，把由仰角描述換成用方向角來描述，則點(diǎn)位于點(diǎn)的（

）A．南偏西方向上 B．南偏西方向上C．北偏東方向上 D．北偏東方向上43．（2025·河南信陽·二模）為了提高學(xué)生體質(zhì)，2025年新學(xué)期國家出臺了“中小學(xué)課間延長至15分，每天1節(jié)體育課”政策，孩子們有了更多時(shí)間進(jìn)行體育鍛煉．如圖，有一次大課間，A、B兩處均有學(xué)生在練跳繩，為了減少練跳繩時(shí)相互干擾，小紅同學(xué)就拿著跳繩走到了的平分線上的處，則處相對觀測點(diǎn)的方向?yàn)椋?/p>

）A．南偏東 B．東偏南 C．南偏東 D．東偏南44．（24-25七年級下·四川南充·期中）如圖，一物體靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力的方向豎直向下，支持力的方向與斜面垂直，摩擦力的方向與斜面平行．若摩擦力與重力G方向的夾角，則斜面的坡角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．45．（2025·河北邯鄲·一模）甲、乙、丙三家的位置如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．丙家在甲家北偏西方向 B．甲家在丙家南偏東方向C．甲家在乙家南偏西方向 D．丙家在乙家北偏東方向題型10角的單位與角度制46．（24-25七年級上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）．47．（24-25七年級上·河北唐山·期末）若，，，則有（

）A． B．C． D．48．（24-25七年級上·江西贛州·期末）計(jì)算：．49．（24-25七年級上·四川瀘州·期末）計(jì)算：．50．（24-25七年級上·河北邯鄲·期中）已知，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．以上均不正確題型11角的度數(shù)大小比較51．（2025·湖南張家界·二模）已知，，則（填“”，“”或“”）．52．（24-25七年級上·甘肅蘭州·期末）已知，，則和的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法判斷53．（24-25七年級上·陜西安康·期末）比較大?。海ㄌ睢啊薄啊被颉啊保?4．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）已知則的大小關(guān)系是．55．（24-25七年級上·山西太原·階段練習(xí)）如圖，的度數(shù)可能為（

）A． B． C． D．題型12三角板中角度計(jì)算問題56．（24-25六年級下·山東煙臺·期中）如圖所示，將一副三角板的直角頂點(diǎn)O重合疊放在一起．(1)如圖1若，則；若，則；(2)如圖2若，則；(3)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖1說明理由．57．（24-25七年級下·海南省直轄縣級單位·期中）綜合與實(shí)踐學(xué)習(xí)完《平行線的證明》，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，李凱和張芳將一副透明三角板中的兩個(gè)直角三角尺的直角頂點(diǎn)按如圖所示的方式疊放在一起，其中，，．(1)操作判斷若，則______；若，則______；(2)性質(zhì)探究由（1）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；58．（24-25七年級上·甘肅張掖·階段練習(xí)）如圖所示，把一副三角板疊放在一起，則59．（24-25八年級上·廣東惠州·期中）如圖，將一個(gè)三角板角的頂點(diǎn)與另一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)重合，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．60．（24-25七年級上·吉林·期末）如圖，將一個(gè)直角三角板的角的頂點(diǎn)與另一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)重合若，則．題型13幾何圖形中角度計(jì)算問題61．（24-25七年級下·安徽合肥·期末）已知，，以O(shè)為頂點(diǎn)作射線，使，若設(shè)，則的值有可能為：①；②；③；④．以上結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)62．（24-25七年級下·安徽淮北·期末）如圖，直線相交于點(diǎn)，，平分，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．63．（24-25七年級下·福建廈門·期中）如圖，直線相交于點(diǎn)O，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C