第10章數(shù)的開方一、平方根與算術(shù)平方根1.平方根的定義：如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根。正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。2.算術(shù)平方根的定義：正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根。算術(shù)平方根具有非負性，即算術(shù)平方根的結(jié)果總是非負的。零的算術(shù)平方根是零；負數(shù)沒有算術(shù)平方根。3.開平方：求一個非負數(shù)的平方根的運算，叫做開平方。二、立方根與開立方1.立方根的定義：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根。正數(shù)的立方根是正數(shù)；負數(shù)的立方根是負數(shù)；零的立方根是零。立方根具有唯一性。2.開立方：求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方。三、實數(shù)與數(shù)軸1.實數(shù)的定義：有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。2.數(shù)軸上的點：數(shù)軸上的每一點必定表示一個實數(shù)；反過來，每一個實數(shù)（有理數(shù)或無理數(shù)）都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。3.無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。四、運算與性質(zhì)1.平方根與算術(shù)平方根的運算：會利用平方運算求平方根，會用數(shù)學符號“±√”表示平方根，用“√”表示算術(shù)平方根。能用計算器求一個數(shù)的平方根或算術(shù)平方根。2.立方根的運算：會用立方運算求立方根，會用數(shù)學符號“?”表示立方根。能用計算器求一個數(shù)的立方根。3.實數(shù)的大小比較：有理數(shù)的所有運算法則及運算律均適用于實數(shù)的運算。對于無理數(shù)的大小比較，通常可以取它們的近似值來進行。一、平方根與立方根的概念混淆1.平方根的理解：易錯點在于對平方根有兩個值（一個正數(shù)和一個負數(shù)）的理解不清，特別是當題目只要求算術(shù)平方根時，容易誤寫為兩個值。2.立方根的理解：立方根只有一個值，但學生在計算時容易受平方根的影響，錯誤地認為立方根也有正負兩個值。二、被開方數(shù)的取值范圍不清1.平方根的被開方數(shù)必須為非負數(shù)，學生在處理實際問題時，容易忽視這一點，對負數(shù)開平方。2.立方根的被開方數(shù)可以為任意實數(shù)，但學生在計算時，有時會因為對平方根的理解慣性，錯誤地認為立方根的被開方數(shù)也必須為非負數(shù)。三、開方運算與平方、立方運算的關(guān)系不清1.開平方與平方是互為逆運算，但學生在解題時，容易忽視這一點，特別是在解方程時，容易忘記對平方根的結(jié)果進行平方檢驗。2.開立方與立方也是互為逆運算，但學生在處理實際問題時，容易將開立方與平方根混淆，導致計算錯誤。四、無理數(shù)的處理不當1.無理數(shù)的表示：學生在表示無理數(shù)時，容易因為對根號的理解不清，導致表示錯誤。2.無理數(shù)的大小比較：無理數(shù)的大小比較通常需要通過取近似值來進行，但學生在比較時，容易忽視這一點，直接進行比較，導致錯誤。五、計算器的使用不當1.學生在使用計算器求平方根和立方根時，容易因為操作不當或理解不清，導致計算結(jié)果錯誤。2.特別是在處理復雜運算時，學生容易忽視計算器的精度限制，導致計算結(jié)果不準確。題型01平方根的概念1.下列說法中，錯誤的是（

）A．5是25的算術(shù)平方根 B．的平方根是C．0的平方根與算術(shù)平方根都是0 D．的平方根是【答案】D【分析】本題主要考查平方根，算術(shù)平方根的性質(zhì)及計算方法，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的性質(zhì)，逐一分析選項．【詳解】解：A.25的算術(shù)平方根是5，正確．B.，9的平方根是，正確．C.0的平方根和算術(shù)平方根均為0，正確．D.，16的平方根是，但選項僅指出，錯誤．故選：D．2.下列說法中正確的有（

）①一個數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)；②一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；③的平方根記為；④表示的平方根．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】此題考查了算術(shù)平方根和平方根，根據(jù)算術(shù)平方根和平方根的意義分別進行判斷即可．【詳解】解：①0的算術(shù)平方根是0，故原說法錯誤；②一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，說法正確；③的平方根記為，原說法錯誤；④表示的平方根，說法正確．綜上可知正確的是②④，共2個，故選：B3.如果一個正數(shù)的平方根是與，那么的值為．【答案】【分析】本題考查了平方根，根據(jù)正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)可得，解方程即可求解，掌握平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵一個正數(shù)的平方根是與，∴，∴，故答案為：．4.若一個正數(shù)的兩個平方根是和，則這個正數(shù)是．【答案】9【分析】本題考查了平方根和相反數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是求出a的值．一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)．根據(jù)平方根的定義和相反數(shù)，得出，求出，即得．【詳解】解：∵一個正數(shù)的兩個平方根是和，∴，解得，∴．故答案為：9．5.已知一個正數(shù)的兩個不相等的平方根分別是與．(1)求的值及這個正數(shù)；(2)若，求的值．【答案】(1)的值為0，正數(shù)的值為4(2)的值為1【分析】本題考查平方根的意義及求平方根、一元一次方程的應用等知識點，掌握一個正數(shù)有兩個平方根且互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）由一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)求y值即可，求出x的值即可；（2）將代入得到關(guān)于k的方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意可知：，解得：；∴．答：求的值為0，正數(shù)的值為4（2）∵，∴，即，解得：．答：求的值為1．題型02立方根的概念1.下列結(jié)論正確的是（

）A．立方根等于本身的數(shù)只有 B．沒有立方根C．的算術(shù)平方根是 D．的算術(shù)平方根是【答案】D【分析】本題考查了算術(shù)平方根及立方根的知識，根據(jù)算術(shù)平方根及立方根的定義逐一分析即可求解，掌握算術(shù)平方根及立方根的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：立方根等于本身的數(shù)有，故錯誤；的立方根為，故錯誤；的算術(shù)平方根是，故錯誤；的算術(shù)平方根是，故正確；故選：．2.下列說法不正確的是（

）A．1的立方根是1 B．的立方根是C．的立方根是 D．125的立方根是【答案】D【分析】本題考查立方根的概念及求一個數(shù)的立方根，需根據(jù)各選項逐一判斷正誤．【詳解】解：A.1的立方根是1，故正確；B.的立方根是；故正確；C.的立方根是；故正確；D.125的立方根是；故錯誤；故選：D．3.方程的根是．【答案】【分析】本題考查了立方根的概念，根據(jù)立方根的概念即可求解，掌握立方根的概念是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．4.已知x為實數(shù)，，則的平方根為．【答案】【分析】本題主要考查平方根、立方根，熟練掌握其定義及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意得：，解出，代入，求出平方根．【詳解】解：，，解得，．故答案為．5.求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查立方根．（1）根據(jù)立方根的定義求解即可；（2）根據(jù)立方根的定義求解即可；（3）根據(jù)立方根的定義求解即可；【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．題型03算術(shù)平方根的非負性1.已知：，則的值為（

）A．0 B．4 C．12 D．16【答案】C【分析】此題考查了算術(shù)平方根非負數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值，根據(jù)算術(shù)平方根非負數(shù)的性質(zhì)，兩個非負數(shù)的和為0，則每個非負數(shù)均為0．由此可解出x和y的值，再代入計算．【詳解】∵，，∴，∴，∴．故選：C．2.若，則等于（

）A．－1 B．1 C． D．【答案】A【分析】此題考查了算術(shù)平方根和平方的非負性，代數(shù)式求值，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，若兩個非負數(shù)之和為0，則每個非負數(shù)均為0．由此可解出x和y的值，再代入計算即可．【詳解】∵∴，．∴，，∴，∴．∴．故選：A．3.已知實數(shù)、滿足，則代數(shù)式的值為；【答案】1【分析】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值，掌握非負數(shù)的性質(zhì)的應用是解題關(guān)鍵．根據(jù)絕對值的非負性，算術(shù)平方根的非負性，求出x、y的值，再代入計算即可．【詳解】解：，，，，，，故答案為：1．4.若，則的值是．【答案】【分析】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值，根據(jù)絕對值、完全平方及二次根式的非負性可得，，，求出的值再代入代數(shù)式計算即可求解，掌握幾個非負數(shù)的和為時，這幾個非負數(shù)都為是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，，且，，，，，，，，故答案為：．5.若與互為相反數(shù)，試解關(guān)于x的方程．【答案】【分析】本題考查了絕對值和算術(shù)平方根的非負數(shù)，相反數(shù)的定義，運用平方根解方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先理解題意得，算出，再代入，整理得，再運用平方根解方程，即可作答．【詳解】解：∵與互為相反數(shù)，∴，∵，∴，即，∴，把代入，得，即，∴，∴題型04開方運算1.下列計算正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查算術(shù)平方根的計算，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵，需注意平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別．根據(jù)算術(shù)平方根的定義化簡即可得出答案．【詳解】解：A、，故本選項錯誤，不符合題意；B、，故本選項正確，符合題意；C、，故本選項錯誤，不符合題意；D、，故本選項錯誤，不符合題意；故選：D2.下列各式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查平方根、算術(shù)平方根及立方根的概念，根據(jù)定義逐一判斷即可，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，故選項不符合題意；B、，故選項不符合題意；C、，正確，故選項符合題意；D、，故選項不符合題意；故選：C．3.方程的解是．【答案】【分析】本題考查立方根，根據(jù)立方根的定義求解即可．【詳解】解：∵，∴方程的解是，故答案為：．4.計算：，，．【答案】【分析】分別根據(jù)立方根、絕對值、平方根的定義來計算這三個式子．本題主要考查了立方根、絕對值、平方根的定義，熟練掌握各定義的含義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，即故答案為：，，．5.求下列各式中的值：(1)；(2)．【答案】(1)或(2)【分析】本題考查利用平方根和立方根解方程，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵；（1）利用平方根解方程即可；（2）利用立方根解方程即可．【詳解】（1）解：，∴，∴或；（2），∴，∴．題型05無理數(shù)的表示1.如圖，在數(shù)軸上表示實數(shù)的點可能是（

）A．點 B．點 C．點 D．點【答案】C【分析】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，無理數(shù)的大小估算，根據(jù)夾逼法可得出，且靠近4，結(jié)合數(shù)軸即可得出答案．【詳解】解：，且靠近，即，且靠近4，則在數(shù)軸上表示實數(shù)的點可能是點M，故選：C2.如圖，點表示的數(shù)為1，以點為圓心，為半徑畫弧交數(shù)軸于點，則點表示的數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查實數(shù)與數(shù)軸．根據(jù)題意得，結(jié)合點表示的數(shù)為1，點在點左側(cè)，從而得到點表示的數(shù)．【詳解】解：根據(jù)題意得，∵點表示的數(shù)為1，點在點左側(cè)，∴點表示的數(shù)為，故選：A．3.數(shù)軸上點A表示的數(shù)為，將點A沿數(shù)軸向右平移2個單位長度到達點B，則點B所表示的數(shù)．【答案】/【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，掌握數(shù)軸上點的移動規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸上點的平移規(guī)律得到點對應的數(shù)即可．【詳解】解：∵點表示的數(shù)為，將點沿數(shù)軸向右平移個單位長度到達點，∴點表示的數(shù)為．故答案為：．4.如圖，正方形的面積為，頂點在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1．現(xiàn)以點為圓心，的長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點（點在點的右側(cè)），則點表示的數(shù)為．【答案】/【分析】本題考查開平方，實數(shù)與數(shù)軸，正方形的面積，熟練掌握實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的面積公式求得邊的長，即為的長，即可得到點與原點的距離，進而得到點所表示的數(shù)．【詳解】解：由正方形面積公式得，∴（負值舍），由作圖可知，∵頂點在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1，∴點到原點的距離為，∴點表示的數(shù)為，故答案為：．5.現(xiàn)有五個實數(shù)：，，，，4．其中四個數(shù)分別對應如圖所示數(shù)軸上的點A，B，C，D(1)點A表示數(shù)___________；點B表示數(shù)___________；點D表示數(shù)___________；(2)①用圓規(guī)在數(shù)軸上精確地表示出（提示：注意觀察正方形的面積）；②將上述五個數(shù)按從小到大的順序用“”連接【答案】(1)；；(2)①見解析；②【分析】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，利用數(shù)軸比較大小，解題的關(guān)鍵是熟練掌握實數(shù)與數(shù)軸．（1）根據(jù)數(shù)軸上點的特點，結(jié)合數(shù)軸得出答案即可；（2）①根據(jù)正方形的面積，得出正方形的邊長，然后以0所表示的點為圓心，以的長為半徑畫弧，則此弧與數(shù)軸正方向的交點所表示的數(shù)為；②利用數(shù)軸上點的特點進行解答即可．【詳解】（1）解：點A表示數(shù)為；點B表示數(shù)為；點D表示數(shù)為．故答案為：；；．（2）解：①如圖，∵正方形的面積為：，∴正方形的邊長；②根據(jù)數(shù)軸可得，．題型06無理數(shù)的大小比較1.下列實數(shù)比較大小，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查實數(shù)大小比較，根據(jù)實數(shù)比較大小的法則對各選項進行逐一分析即可．【詳解】解：，故A選項錯誤；，故B選項錯誤；，則，故C選項錯誤；，則，故D選項正確；故選：D2.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查實數(shù)的大小比較，先利用夾逼法估算a，b的值，再比較大小即可．【詳解】解：∵，，∴，，即，，∴，，又，∴，故選：C．3.比較大小：（填“”“”或“”）【答案】【分析】本題主要考查了實數(shù)的大小比較，利用平方法將無理數(shù)的大小轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的大小比較成為解題的關(guān)鍵．將無理數(shù)的大小轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的大小比較即可．【詳解】解：∵，，且，∴．故答案為：4.比較大?。?；．【答案】【分析】本題主要考查了實數(shù)比較大小，根據(jù)，可得；根據(jù)可得，，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵，∴；∵，∴，∴，，∴；故答案為：；．5.比較下列各組數(shù)的大?。?1)與2；(2)與2.5；(3)與．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了實數(shù)的大小比較，能靈活運用立方根的定義進行變形是解此題的關(guān)鍵．（1）先求出，再比較即可；（2）先求出，再比較即可；（3）先求出，再比較即可．【詳解】（1）解：∵，，∴；（2）解：∵，，∴；（3）解：∵，，∴．題型07用計算器計算無理數(shù)1.用計算器求的近似值，其按鍵順序正確的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】此題主要考查了利用計算器求算術(shù)平方根和立方根，根據(jù)計算器求算術(shù)平方根和立方根的按鍵方法求解即可．【詳解】用計算器求的近似值，其按鍵順序正確的是故選：A．2.利用計算器依次按鍵如圖：則計算器顯示的結(jié)果與下列各數(shù)中最接近的一個是（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9【答案】B【分析】本題考查了計算器——平方根和立方根，由按鍵順序可知算式為，然后估算的取值，即可作答．【詳解】解：依題意，由按鍵順序可知算式為，∵，∴，∴，∴最接近的一個是0.6，故選：B3.用計算器計算（結(jié)果精確到0.01）：（1）；（2）．【答案】4.828.02【分析】本題考查了立方根的定義，熟練掌握該定義是本題解題的關(guān)鍵．立方根的定義：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根．利用立方根的定義即可得到結(jié)果．【詳解】（1）；（2）．故答案為：4.82，8.02．4.若按DY-570型科學計算器的鍵后，再依次按鍵，則顯示的結(jié)果為．【答案】【分析】本題考查了計算器，解決本題的關(guān)鍵是熟記計算器的基礎知識．【詳解】根據(jù)題意，得，故答案為：．5.用計算器求下列各式的值（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了計算器與算術(shù)平方根，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）按照題干要求，運用計算器進行計算，結(jié)果保留小數(shù)點后兩位，即可作答．（2）按照題干要求，運用計算器進行計算，結(jié)果保留小數(shù)點后兩位，即可作答．（3）按照題干要求，運用計算器進行計算，結(jié)果保留小數(shù)點后兩位，即可作答．【詳解】（1）解：依題意，；（2）解：依題意，；（3）解：依題意，．題型08平方根與立方根的綜合1.一個自然數(shù)a的算術(shù)平方根為x，那么的立方根是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了算術(shù)平方根與立方根，熟練掌握算術(shù)平方根與立方根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)算術(shù)平方根求出，再根據(jù)立方根的性質(zhì)即可得．【詳解】解：∵一個自然數(shù)的算術(shù)平方根為，∴，∴，∴的立方根是，故選：C．2.下列說法中，正確