第13章勾股定理(高效培優(yōu)單元測試·強(qiáng)化卷)(考試時(shí)間:100分鐘，試卷滿分:120分)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的）1．（本題3分）如圖，直線，垂足為，線段，，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫弧，交直線于點(diǎn)．則的長為（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根【分析】本題主要考查了勾股定理，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)半徑相等可得出，最后利用線段的和差關(guān)系即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∵以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫弧，交直線于點(diǎn)．∴，∴，故選：D．2．（本題3分）如圖，在中，，以的三邊為邊向外作三個(gè)正方形，、、分別表示這三個(gè)正方形的面積，若，，則長為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】以直角三角形三邊為邊長的圖形面積【分析】本題主要考查了勾股定理，根據(jù)勾股定理得，再代入數(shù)值即可.【詳解】解：在中，，∵，∴，解得.故選：B.3．（本題3分）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．12，15，18 B．12，35，36C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】勾股樹（數(shù)）問題【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義，熟練掌握勾股數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股數(shù)是滿足較小的兩個(gè)數(shù)的平方和等于最大的數(shù)的平方的一組正整數(shù)，據(jù)此逐項(xiàng)分析即可作答．【詳解】解：A、，則不是勾股數(shù)；B、，則不是勾股數(shù)；C、，，不是正整數(shù)，則不是勾股數(shù)；D、，則是勾股數(shù)．故選：D．4．（本題3分）下列條件能判定為直角三角形的是（

）A．，， B．C．，， D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題考查勾股定理逆定理，三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)勾股定理逆定理，以及有一個(gè)角是直角的三角形為直角三角形，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，不是直角三角形，不符合題意；B、由題意，，是鈍角三角形，不是直角三角形，不符合題意；C、，不是直角三角形，不符合題意；D、，則，故，則為直角三角形，符合題意；故選D．5．（本題3分）我們稱網(wǎng)格線的交點(diǎn)為格點(diǎn)．如圖，在6行×5列的長方形網(wǎng)格中有兩個(gè)格點(diǎn)A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個(gè)格點(diǎn)C，使得是等腰直角三角形，則滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】格點(diǎn)圖中畫等腰三角形、在網(wǎng)格中判斷直角三角形、勾股定理與網(wǎng)格問題【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①為等腰直角三角形底邊；②為等腰直角三角形其中的一條腰．【詳解】解：①為等腰直角三角形底邊時(shí)，符合條件的格點(diǎn)有2個(gè)：、；②為等腰直角三角形其中的一條腰時(shí)，符合條件的格點(diǎn)有2個(gè)：、．如圖所示，共有4個(gè)格點(diǎn)滿足．6．（本題3分）如圖，正方形的邊長為1，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，……按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、以直角三角形三邊為邊長的圖形面積【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．結(jié)合勾股定理找到規(guī)律，即可解題．【詳解】解：∵正方形的邊長為1，∴，∵是等腰直角三角形，∴，解得，∴，同理：，∴按照此規(guī)律繼續(xù)下去，．故選：B．7．（本題3分）已知中，，求證：，下面寫出運(yùn)用反證法證明這個(gè)命題的四個(gè)步驟：①∴，這與三角形內(nèi)角和為矛盾②因此假設(shè)不成立，∴③假設(shè)在中，④由，得，即這四個(gè)步驟正確的順序應(yīng)是（

）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】用反證法證明命題、等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理的證明【分析】本題考查反證法，解題的關(guān)鍵是掌握反證法的一般步驟：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．據(jù)此進(jìn)行判斷即可．也考查了等邊對(duì)等角．【詳解】解：運(yùn)用反證法證明這個(gè)命題的四個(gè)步驟：③假設(shè)在中，，④由，得，即，①∴，這與三角形內(nèi)角和為矛盾，②因此假設(shè)不成立，∴，∴這四個(gè)步驟正確的順序應(yīng)是③④①②．故選：D．8．（本題3分）如圖，一只螞蟻沿著邊長為的正方體表面從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過個(gè)側(cè)面爬到點(diǎn)，則它爬行的最短路徑是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了勾股定理與最短路徑問題，先將正方體展開，然后找出最短路線，利用勾股定理直接計(jì)算即可，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：將正方體展開，右邊與后面的正方形與前面正方形放在一個(gè)面上，展開圖如圖所示，此時(shí)最短，∴，故選：．9．（本題3分）如圖，公路上A、B兩點(diǎn)相距，C、D為兩村莊，已知，，于A，于B，現(xiàn)要在上建一個(gè)服務(wù)站E，使得C、D兩村莊到E站的距離相等，則的長是（

）．A．4 B．5 C．6 D．2【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】選址使到兩地距離相等(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵；設(shè)，則，由勾股定理得：，，再根據(jù)，得到，然后即可求解；【詳解】解：設(shè)，則，由勾股定理得：在中，，在中，，由題意可知：，∴，解得：，∴的長是，∴，故選：C；10．（本題3分）如圖，是一個(gè)長方體的盒子，長，寬，高分別為，，，現(xiàn)將一根長為的筷子插入到盒子的底部，則筷子露在盒外的部分的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】解決水杯中筷子問題(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了長方體中勾股定理的運(yùn)用，解答此題的關(guān)鍵是要找出筷子最長和最短時(shí)在盒中所處的位置，然后計(jì)算求解．根據(jù)題中已知條件，首先要考慮筷子放進(jìn)盒里垂直于底面時(shí)露在盒外的長度最長為；最短時(shí)與底面對(duì)角線和高正好組成直角三角形，用勾股定理解答，進(jìn)而求出露在盒外的長度最短．【詳解】解：①當(dāng)筷子放進(jìn)盒子垂直于底面時(shí)露在盒外的長度最長，最長為；②露出部分最短時(shí)與底面對(duì)角線和高正好組成直角三角形，底面對(duì)角線長為，高為，由勾股定理可得盒里面的筷子長為，則露在盒外的長度最短為；故選：B．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分18分）11．（本題3分）你認(rèn)為以下四種圖形能用來證明勾股定理的圖形有．（填序號(hào)）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的證明方法【分析】本題考查勾股定理的證明，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．根據(jù)圖①可以得到，然后化簡即可；根據(jù)圖②，無法確定、、的關(guān)系．由圖可得，，然后化簡即可；由圖可得，，然后化簡即可．【詳解】解：由圖①可得，，化簡，得：，故圖①可以證明勾股定理；根據(jù)圖②中的條件，無法證明勾股定理；由圖可得，，化簡，得：，故圖可以證明勾股定理；由圖可得，，化簡，得：，故圖可以證明勾股定理；故答案為：．12．（本題3分）如圖，四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，若，，，則．【答案】38【知識(shí)點(diǎn)】利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）【分析】本題主要考查了勾股定理，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．先利用勾股定理求出、、、，再說明，最后代入數(shù)據(jù)即可解答．【詳解】解：∵四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，，∴在中，；在中，；在中，；在中，；∴．故答案為：38．13．（本題3分）如圖，中，，，，把沿折疊，使邊與重合，點(diǎn)B落在邊上的處，則折痕等于．【答案】45【知識(shí)點(diǎn)】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形、勾股定理與折疊問題【分析】本題考查勾股定理的逆定理、勾股定理、翻折不變性等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．首先證明，設(shè)，在中，利用勾股定理求出x，再在中利用勾股定理表示出即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，∴，∵是由翻折而來，∴，，．設(shè)，在中，∵，，，∴，解得，∴．故答案為：45．14．（本題3分）如圖①叫做一個(gè)基本的“勾股樹”，也叫做第一代勾股樹．讓圖①中兩個(gè)小正方形各自長出一個(gè)新的勾股樹（如圖②），叫做第二代勾股樹．從第二代勾股樹出發(fā)，又可以長出第三代勾股樹（如圖③）．這樣一生二、二生四、四生八，繼續(xù)生長下去，則第六代勾股樹圖形中正方形的個(gè)數(shù)為．【答案】127【知識(shí)點(diǎn)】圖形類規(guī)律探索、勾股樹（數(shù)）問題【分析】本題考查圖形的規(guī)律．根據(jù)前三代的正方形的個(gè)數(shù)分別為3、7、15可得第n代有個(gè)正方形，據(jù)此即可解答．【詳解】解：第一代有3個(gè)正方形，第二代有7個(gè)正方形，第三代有15個(gè)正方形，第n代有個(gè)正方形，故第六代有（個(gè)）正方形，故答案為：127．15．（本題3分）如圖，一根竹竿長2.5米，斜靠在豎直的墻上，竹竿底端離墻0.7米，若竹竿底端向左滑動(dòng)0.8米，那么竹竿頂端下滑．米．【答案】0.4【知識(shí)點(diǎn)】求梯子滑落高度(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意列出已知數(shù)據(jù)，并利用勾股定理求解．由題意得，，，在中，，在中，，即可求出頂端下移的距離．【詳解】解：如圖，由題意得，，，，在中，，在中，，則頂端下移的距離米．三、解答題（本大題共8小題，滿分75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（本題8分）利用網(wǎng)格作圖．(1)在圖①中找一點(diǎn)P，使P到和距離相等且；(2)在圖②中，作出的角平分線．【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、三線合一、勾股定理與網(wǎng)格問題【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)可知，作的角平分線與線段的垂直平分線的交點(diǎn)即為所求；（2）先利用勾股定理求得的長度，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，取格點(diǎn)T，使，連接，取的中點(diǎn)J，作射線交于點(diǎn)D，線段即為所求．【詳解】（1）解：如圖①中，的角平分線與線段的垂直平分線的交點(diǎn)即為所求，（2）解：如圖②所示，取格點(diǎn)T，使，連接，取的中點(diǎn)J，作射線交于點(diǎn)D，線段即為所求，∵，∴，∴為等腰三角形，又∵點(diǎn)J為的中點(diǎn)，∴平分，即為的角平分線．【點(diǎn)睛】本題考查作圖——應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，角平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用以上知識(shí)點(diǎn)，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．17．（本題8分）幾何模型：條件：如圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．問題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使的值最?。椒ǎ鹤鼽c(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接交l于點(diǎn)P，則的值最?。ú槐刈C明）．模型應(yīng)用：(1)如圖1，正方形的邊長為2，E為的中點(diǎn)，P是上一動(dòng)點(diǎn)．連接，由正方形對(duì)稱性可知，B與D關(guān)于直線對(duì)稱．連接交于P，則的最小值是；(2)在等邊三角形中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，是高，在AD上找一點(diǎn)P，使的最小值為(3)如圖2，，P是內(nèi)一點(diǎn)，，Q、R分別是上的動(dòng)點(diǎn)，求周長的最小值．（提示：分別作點(diǎn)P關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)，連接）【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)、用勾股定理解三角形、根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線和熟知軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，則可推出當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值為的長；利用勾股定理求出的長即可得到答案；（2）連接，可證明垂直平分，得到，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值為的長；利用勾股定理求出的長即可得到答案；（3）分別作點(diǎn)P關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，可推出當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)的周長有最小值，最小值為線段的長；證明，再利用勾股定理求出的長即可得到答案．【詳解】（1）解：∵B與D關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值為的長；∵為的中點(diǎn)，∴，在中，，∴，∴的最小值為；（2）解：如圖所示，連接，∵是等邊三角形，是高，∴垂直平分，∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值為的長；∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∴，∴的最小值為；（3）解：如圖所示，分別作點(diǎn)P關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，∴，，，∴的周長，∴當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)的周長有最小值，最小值為線段的長；∵，∴，∴的周長的最小值為．18．（本題8分）已知在中，D是的中點(diǎn)，，垂足為D，交于點(diǎn)E，且．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求的長．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形、用勾股定理解三角形、線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求解線段長度，選擇直角三角形借助勾股定理構(gòu)造方程．（1）連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段到中，利用勾股定理的逆定理可求度數(shù)；（2）設(shè)，則可用表示，在中利用勾股定理得到關(guān)于的方程求解值．【詳解】（1）解：連接，是的中點(diǎn)，，，，，∴是直角三角形，；（2）解：在中，．所以．設(shè)，則在中，，所以．，，在中，，∴，解得．即．19．（本題8分）如圖，在河流的一側(cè)有一村莊C，河邊有兩個(gè)取水點(diǎn)A、B，村莊修建了道路和，其中由于某種原因，道路不再通行，村莊為了方便村民取水，決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)、H、B在一條直線上，并修建道路經(jīng)測量：百米，百米，百米．(1)判斷是否為從村莊C到河邊的最近道路，并說明理由；(2)求新修的道路比原來的道路短了多少百米？結(jié)果保留兩位小數(shù)【答案】(1)是，理由見解析(2)新路比原路少百米【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用、用勾股定理解三角形、垂線段最短【分析】本題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短即可求解；（2）設(shè)百米，百米，在中，根據(jù)勾股定理可得，由此即可求解．【詳解】（1）解：是，理由如下：百米，百米，百米，，，，是直角三角形，，是為從村莊C到河邊的最近路；（2）解：設(shè)百米，，百米，百米，在中，，即，解得，，百米，新路比原路少百米．20．（本題8分）如圖，在中，，點(diǎn)，，分別在，，上，且，．(1)求證：是等腰三角形；(2)用反證法證明不可能是直角三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識(shí)點(diǎn)】用反證法證明命題、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，證明≌是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，可知，再利用證明≌，得，即可證明結(jié)論；（2）假設(shè)是等腰直角三角形，則，由知≌，則，可可得到，則假設(shè)不成立．【詳解】（1）證明：，，又，，在與中，，≌，，是等腰三角形；（2）解：假設(shè)是等腰直角三角形，則，，由（1）可知：≌，∴，，，，不可能是等腰直角三角形．21．（本題10分）如圖1是由四片門扇連接成的折疊門，軌道裝在天花板上，圖2是示意圖．已知軌道，在推拉合頁C或E時(shí)，滾輪D，F(xiàn)在軌道上移動(dòng)，門完全關(guān)上時(shí)，門扇恰好貼合整條軌道．已知每小片門扇寬度均相等，則．剛開始門扇疊合在左邊，第一次向右拉開門扇，位置如圖2時(shí)，，此時(shí)門被關(guān)上部分的長；接著繼續(xù)向右拉門扇，位置如圖3時(shí)，，，此時(shí)門被關(guān)上部分的長，那么比長多少厘米？

【答案】22厘米【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】題綜合考查勾股定理及全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用．構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．門完全關(guān)上時(shí)，門扇恰好貼合整條軌道．已知每小片門扇寬度均相等，易得；根據(jù)，易得和是等邊三角形，那么可得和的長均為，相加即為的長度；作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，可得，那么，在中，根據(jù)，即可求得和的長度，進(jìn)而求得和的長度，相加后減去的長度即為拉伸的長度．【詳解】解：∵軌道，，∴．∵，，∴．∴和是等邊三角形．∴．∴．作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，∴，．．，．．又，∴，∴．∵，∴，∴，設(shè)為，則為．在中，，即．∴，．∴．∴，．∴比長．22．（本題10分）臺(tái)風(fēng)有極強(qiáng)破壞力，臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向由A向B移動(dòng)，C為一海港，點(diǎn)C與兩點(diǎn)A，B的距離分別為，，，經(jīng)測量，距離臺(tái)風(fēng)中心及以內(nèi)的地區(qū)會(huì)受到破壞影響．(1)海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？(2)若臺(tái)風(fēng)移動(dòng)速度為30千米／時(shí)，則臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長？【答案】(1)會(huì)