第十三章勾股定理重難點檢測卷注意事項：本試卷滿分100分，考試時間120分鐘，試題共23題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題2分，共20分）1．（24-25八年級上·陜西西安·期中）下面各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．，2，7 B．2，6，8 C．3，4，5 D．5，8，10【答案】C【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)是滿足勾股定理的一組正整數(shù)，據(jù)此逐項分析即可作答．【詳解】解：A、不是正整數(shù)，故不符合題意；B、，故不符合題意；C、，故符合題意；D、，故不符合題意；故選：C．2．（24-25八年級上·山西運城·期中）五根木棒（單位：cm）的長度分別為5，9，12，15，17，從其中選出三根，將它們首尾相接擺成三角形，其中能擺成直角三角形的是（

）A．5，9，12 B．5，12，15 C．9，12，15 D．12，15，17【答案】C【分析】本題主要考查勾股定理逆定理，熟練掌握勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)勾股定理逆定理進行排除選項．【詳解】解：A、，故不能構(gòu)成直角三角形；B、，故不能構(gòu)成直角三角形；C、，故能構(gòu)成直角三角形；D、，故不能構(gòu)成直角三角形；故選：C．3．（2024八年級上·全國·專題練習(xí)）用反證法證明：“若，則中至少有一個為0．”應(yīng)假設(shè)（

）A．都不為0 B．只有一個為0C．至少有一個為0 D．都為0【答案】A【分析】本題考查了反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟；反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，可據(jù)此進行解答．【詳解】解：反證法的第一步是假設(shè)結(jié)論的反面成立，即假設(shè)結(jié)論不成立的情況．在這個問題中，結(jié)論是“a，b中至少有一個為0”，其反面就是“a，b都不為0”．故選：A．4．（24-25八年級上·山東泰安·期中）如圖，，且，則線段的長為（

）A． B． C．4 D．3【答案】C【分析】本題主要考查了勾股定理，先利用勾股定理求出，進而可求出，據(jù)此可求出的長．【詳解】解：在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴或（舍去），故選：C．5．（24-25八年級上·山西晉中·期中）如圖，數(shù)軸上的點，表示的實數(shù)分別是，，于點，且的長度為個單位長度，連接AB．若以點為圓心，AB長為半徑畫弧交數(shù)軸于點，則點所表示的實數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查實數(shù)與數(shù)軸及勾股定理．根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系解答即可【詳解】解：在直角三角形中，．∴點表示的數(shù)為．故選：B．6．（24-25八年級上·山東煙臺·期中）有一個邊長為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形（圖①），其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形；再經(jīng)過一次“生長”后，變成了如圖②．如果繼續(xù)“生長”下去，他將變得“枝繁葉茂”，請你計算出“生長”了10次后形成的圖形中所有正方形的面積之和為（

）A．11 B．55 C．66 D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么．【詳解】解：如圖，由題意得，正方形A的面積為1，由勾股定理得，正方形B的面積正方形C的面積=1，∴“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3，“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4，……∴“生長”了10次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為11，故選：A．7．（24-25八年級上·山東煙臺·期中）如圖，在中，，，．如果、分別為、上的動點，那么的最小值是（

）A．4.8 B．9.6 C．10 D．10.8【答案】B【分析】本題考查了軸對稱—最短路線問題，涉及軸對稱的性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理，三角形的面積，運用了等積變換的思想．掌握對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．作點關(guān)于的對稱點，作點，交于點，則，所以，即的最小值為．【詳解】解：作點關(guān)于的對稱點，作點，交于點，連接，∴，∴，即的最小值為，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，即的最小值為．故選：B．8．（24-25八年級上·重慶南岸·期中）把正方形沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為，再過點B折疊紙片，使點A落在上的點F處，折痕為．若長為4，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理，由折疊的性質(zhì)可得，，，，，由勾股定理可求的長，進而可求的長，再利用勾股定理可求的長．【詳解】解：由折疊可知：，，，，，∴，∴，∵，∴，∴，故選：C．9．（24-25八年級上·福建三明·期中）如圖，在底面周長約為6米且?guī)в袑訉踊丨h(huán)不斷的云朵石柱上，有一條雕龍從柱底沿立柱表面均勻地盤繞2圈到達柱頂正上方（從點到點，為的中點），每根華表刻有雕龍的部分的柱身高約16米，則雕刻在石柱上的巨龍的長度至少為（

）A．10米 B．12米 C．16米 D．20米【答案】D【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用—最短距離問題，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意把圓柱體的側(cè)面展開，根據(jù)勾股定理求出每圈龍的長度，最后乘2即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意，把圓柱體的側(cè)面展開后是長方形，如圖所示，雕龍把大長方形均分為2個小長方形，則雕刻在石柱上的巨龍的最短長度為2個小長方形的對角線的和，∵底面周長約為6米，柱身高約16米，∴米，米，∴米，∴雕刻在石柱上的巨龍至少為米，故選：D．10．（24-25八年級上·北京·期中）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅弦圖，后人稱其為“趙爽弦圖”．弦圖由四個全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形，然后分別過較長直角邊的中點作垂線，圍成面積為S的小正方形．已知為較長的直角邊，若，則正方形的面積為（

）．

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用、列代數(shù)式等知識點，弄清線段間的關(guān)系成為解題的關(guān)鍵．如圖，在圖中標(biāo)出P、Q，設(shè)，則，再運用勾股定理可得，即正方形的面積為、，再結(jié)合可得；再根據(jù)題意可得，再將、代入即可解答．【詳解】解：如圖，在圖中標(biāo)出P、Q，

設(shè)，則，∴，∴正方形的面積為．∵，，∴，即，∵小正方形為S，∴，∴正方形的面積為．故選D．填空題（5小題，每小題2分，共10分）11．（上海市浦東新區(qū)第四教育署2022—2023學(xué)年上學(xué)期八年級期末數(shù)學(xué)考試卷）若直角三角形中有兩邊長分別為6和8，那么斜邊長為．【答案】8或10【分析】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了分類討論思想，直角三角形中斜邊為最長邊，無法確定邊長為8的邊是否為斜邊，所以要討論：邊長為8的邊為斜邊；邊長為8的邊為直角邊．【詳解】解：當(dāng)邊長為8的邊為斜邊時，該直角三角形中斜邊長為8；當(dāng)邊長為8的邊為直角邊時，則根據(jù)勾股定理得斜邊長為．故該直角三角形斜邊長為8或10．故答案為：8或10．12．（24-25八年級上·山東泰安·期中）如圖，在中，．若，則正方形和正方形的面積差為．【答案】4【分析】本題考查勾股定理與面積，解題關(guān)鍵是將勾股定理和正方形的面積公式進行靈活的結(jié)合和應(yīng)用．由勾股定理可得出答案．【詳解】解：，，，正方形和正方形的面積差為．故答案為：4．13．（24-25八年級上·廣東揭陽·階段練習(xí)）如圖，在一個長為，寬為的長方形未板上，放著一根長方體木塊，木塊較長的棱和木板的寬平行且棱長大于，木塊從正面看是邊長為的正方形，一只螞蟻從點出發(fā)到達邊中點需要走的最短路程為．

【答案】/厘米【分析】本題主要考查了勾股定理與最短路徑問題，將木塊展開，然后根據(jù)兩點之間線段最短利用勾股定理解答即可．【詳解】解：如圖，將木塊展開，

由題意，得：展開后長方形的長為，，則：螞蟻從點出發(fā)到達邊中點需要走的最短路程為；故答案為：．14．（24-25八年級上·浙江杭州·期中）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深幾何？”這道題的意思是說：有一個邊長為10尺的正方形水池，在池的正中央長著一根蘆葦，蘆葦露出水面1尺．若將蘆葦拉到池邊中點處，蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的處（如圖），則水深是尺．【答案】12【分析】本題本題考查勾股定理的應(yīng)用．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【詳解】解：設(shè)水深x尺，蘆葦尺，根據(jù)題意：，由勾股定理：，解得：，故答案為：12．15．（2024·山東淄博·一模）如圖是由兩個長方形組成的工件平面圖（單位：mm），直線l是它的對稱軸，能完全覆蓋這個平面圖形的圓面的最小半徑是mm．【答案】50【詳解】如圖,設(shè)圓心為O,連接AO，CO，∵直線l是它的對稱軸，∴CM=30，AN=40，∵CM2+OM2=AN2+ON2，∴302+OM2=402+(70?OM)2，解得：OM=40，∴OC==50，∴能完全覆蓋這個平面圖形的圓面的最小半徑是50mm.故答案為50.三、解答題（8小題，共70分）16．（24-25八年級上·陜西西安·期中）如圖，在中，，，，求的長．【答案】【分析】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)勾股定理直接進行求解【詳解】解：在中，，，，由勾股定理，得，即，解得，的長為．17．（24-25八年級上·北京·階段練習(xí)）在一棵樹的高的D處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹跑到離樹處的池塘A處，另一只爬到樹頂C后直接躍到A處，如果兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，且路程以直線計算，試求這棵樹的高度．【答案】【分析】本題主要考查了線段的和與差，勾股定理，解一元一次方程，代數(shù)式求值等知識點，利用勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)，則，，利用勾股定理可得，即，解方程即可求出這棵樹的高度．【詳解】解：如圖，由題意可得：，，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：，，這棵樹的高度是．18．（23-24八年級上·湖南·階段練習(xí)）由四條線段所構(gòu)成的圖形，是某公園的一塊空地，經(jīng)測量、．現(xiàn)計劃在該空地上種植草皮．(1)求四邊形的面積；(2)若每平方米草皮需200元，則在該空地上種植草皮共需多少元？【答案】(1)24(2)4800元【分析】此題考查了勾股定理和逆定理的應(yīng)用，（1）連接，根據(jù)勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理證得是直角三角形，，進而利用求出四邊形的面積；（2）根據(jù)面積乘以單價即可得到答案．【詳解】（1）解：連接，∵，∴，∵，∴，∴是直角三角形，，∴四邊形的面積；（2）解：在該空地上種植草皮共需（元）．19．（23-24八年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）先閱讀下列一段文字，再解答問題．已知在平面內(nèi)有兩點，其兩點間的距離公式為，同時，當(dāng)兩點所在的直線在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時，兩點間距離公式可簡化為或．(1)已知點，試求兩點間的距離；(2)已知點在平行于軸的直線上，點的橫坐標(biāo)為6，點的橫坐標(biāo)為，試求兩點間的距離；(3)應(yīng)用平面內(nèi)兩點間的距離公式，求代數(shù)式的最小值．【答案】(1)(2)8(3)8【分析】本題主要考查了兩點的距離計算公式：（1）利用兩點間距離公式計算即可；（2）根據(jù)兩點橫坐標(biāo)差的絕對值，計算即可；（3）原式表示點到和的距離之和，由兩點之間線段最短，點在以和為端點的線段上時，原式值最小，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴．（2）解：根據(jù)題意可知：點A，B在平行于x軸的直線上，∴．（3）解：∵表示點到和的距離之和，又∵兩點之間線段最短，∴點在以和為端點的線段上時，原式值最小，∴的最小值為：．20．（23-24八年級上·廣東茂名·階段練習(xí)）綜合與實踐：【問題情境】某消防隊在一次應(yīng)急演練中，消防員架起一架長的云梯，如圖，云梯斜靠在一面墻上，這時云梯底端距墻腳的距離．(1)【深入探究】消防員接到命令，按要求將云梯從頂端A下滑到位置上（云梯長度不改變），，那么它的底部B在水平方向滑動到的距離也是嗎？若是，請說明理由；若不是，請求出的長度．(2)【問題解決】在演練中，高的墻頭有求救聲，消防員需調(diào)整云梯去救援被困人員．經(jīng)驗表明，云梯靠墻擺放時，如果云梯底端離墻的距離不小于云梯長度的，則云梯和消防員相對安全．在相對安全的前提下，云梯的頂端能否到達高的墻頭去救援被困人員？【答案】(1)不是，(2)能【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用；（1）將梯子底部到墻的距離線段對應(yīng)為一個直角邊，梯子頂端到地的距離線段對應(yīng)為另一個直角邊，所以梯子頂端到地的距離為，所以梯子頂端到地為米，根據(jù)勾股定理求出，再與作差，求出的長度；（2）先求出梯子能夠到達墻面的最大高度，再與比較，即可求得．【詳解】（1）解：云梯的底部在水平方向滑動到的距離不是．理由如下：在中，．∴．在中，，∴．（2）解：若云梯底端離墻的距離剛好為云梯長度的，則能夠到達墻面的最大高度為．∵，∴，因此，云梯的頂端能到達高的墻頭去救援被困人員．21．（24-25八年級上·江蘇蘇州·期中）規(guī)律探索題：細心觀察如圖，認真分析各式，然后解答問題：；（是的面積）；；（是的面積）；；（是的面積）；(1)推算出________，________；(2)用含有（為正整數(shù)）的等式________；(3)求出的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)已知條件中和的值發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出其變化規(guī)律，即可求出答案；（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出的規(guī)律求出答案即可；（3）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出的規(guī)律，求出，，，，，，，再代入所求代數(shù)式，然后利用分母有理化進行計算即可．【詳解】（1）解：，（是的面積），，（是的面積），，（是的面積），，，（是的面積），，，故答案為：，；（2）解：，（是的面積），，（是的面積），，（是的面積），，，（是的面積），，（是的面積），故答案為：；（3）解：由（1）可知：，，，，，，，．【點睛】本題主要考查了勾股定理，三角形的面積公式，數(shù)字類規(guī)律探索，求一個數(shù)的算術(shù)平方根，實數(shù)的混合運算等知識點，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出其一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．22．（23-24八年級上·四川達州·階段練習(xí)）如圖所示，A、B兩塊試驗田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過點C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進行修筑．（1）請判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明．【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由見解析；（2）（2）甲方案所修的水渠較短；理由見解析【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；（2）由△ABC的面積求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）甲方案所修的水渠較短；理由如下：∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的面積＝AB?CH＝AC?BC，∴CH＝（m），∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），∴AC+BC＜CH+AH+BH，∴甲方案所修的水渠較短．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理、三角形面積的計算；熟練掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理證出△ABC是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．23．（23-24八年級上·山東威?！て谥校╅喿x理解：【問題情境】教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼