第23章圖形的相似（高效培優(yōu)單元測(cè)試·提升卷）（考試時(shí)間：100分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．以下列長(zhǎng)度（同一單位）為長(zhǎng)的四條線段中，不成比例的是（）A.3，8，15，40 B.5，6，5，6C. D.，，，【答案】C【解析】【分析】本題考查線段成比例判斷．根據(jù)題意逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段乘積，則四條線段成比例，∴A選項(xiàng)：，故本選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：，故本選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，故本選項(xiàng)不正確；D選項(xiàng)：，故本選項(xiàng)正確；故選：C．2．已知，則代數(shù)式的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)比例性質(zhì)即可求解，解題的關(guān)鍵是正確理解比例的性質(zhì)．【詳解】解：∵，∴設(shè)，（），∴，故選：．3．一個(gè)三角形用放大鏡放大后不變的是（）A.各邊長(zhǎng) B.周長(zhǎng) C.面積 D.各內(nèi)角的度數(shù)【答案】D【解析】【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：由題意得：用放大鏡看到的三角形與原三角形是相似的關(guān)系，用放大鏡看到的三角形與原三角形相比較，周長(zhǎng)、面積、每條邊的長(zhǎng)度均增大了，但每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)保持不變．故選：D．4．如圖，直線，直線、與、、分別交于點(diǎn)、、，、、，若，，，則的長(zhǎng)為（）．A.7 B. C.8 D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用平行線等分線線段定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例定理得到比例式求出的長(zhǎng)，再根據(jù)線段的和差計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，即，解得∶，∴．故選B．5．《墨經(jīng)》中有：“景到，在午有端，與景長(zhǎng)，說(shuō)在端”，大約在兩千四百年前，墨子和他的學(xué)生做的世界上第1個(gè)小孔成像的實(shí)驗(yàn).如圖所示的實(shí)驗(yàn)中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是（）．A. B.4 C. D.5【答案】A【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，“相似三角形對(duì)應(yīng)高線的比等于相似比”，據(jù)此即可求解．【詳解】解：設(shè)蠟燭火焰的高度是，由相似三角形的性質(zhì)得，解得．即蠟燭火焰的高度是．故選：A6．如圖，在四邊形中，，則添加下列條件后，不能判定和相似的是（）A.平分 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可以根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊比相等且相應(yīng)的夾角相等或兩組對(duì)角相等來(lái)證明兩個(gè)三角形相似．【詳解】解：A、由平分可得，結(jié)合，可以證明，故此選項(xiàng)不符合題意；B、由，結(jié)合，可以證明，故此選項(xiàng)不符合題意；C、由，結(jié)合，不可以證明，故此選項(xiàng)符合題意；D、由，結(jié)合，可以證明，故此選項(xiàng)不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．7．如圖，把一張矩形紙片沿著和邊的中點(diǎn)連線對(duì)折，要使矩形正好與原矩形相似，則原矩形長(zhǎng)與寬的比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，正確分清對(duì)應(yīng)邊，以及正確解方程是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等，設(shè)出原來(lái)矩形的長(zhǎng)與寬，就可得到一個(gè)方程，解方程即可求得．【詳解】根據(jù)題意可知，矩形與矩形相似，，設(shè),，則，，即，，，原矩形長(zhǎng)與寬的比為，故選：C．8．如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與圖中相似的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查相似三角形的定義和判定，勾股定理

；根據(jù)相似三角形的定義：如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，或者對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．結(jié)合題目，計(jì)算出的三邊長(zhǎng)度，并求出三邊之比．最后分別計(jì)算選項(xiàng)A、B、C、D中陰影部分三角形的三邊之比，判斷它們是否與相似即可．【詳解】解：由勾股定理得：，，，，A、三邊之比為，圖中的三角形陰影部分與不相似；B、三邊之比為，圖中的三角形陰影部分與相似；C、三邊之比為，圖中的三角形陰影部分與不相似；D、三邊之比為，圖中的三角形陰影部分與不相似．故選：9．如圖，AD是△ABC的一條中線，G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作EF∥BC，交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若BC＝6，則EG的長(zhǎng)為（）A.2 B.3 C.3.5 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)AD是中線，得到，由G為△ABC的重心，可以得到，有EF∥BC，可以證明△AEG∽△ABD，得到，由此求解即可.【詳解】解：∵AD是中線，∴，∵G為△ABC重心，∴，∵EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，∴，∴，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，重心的性質(zhì)，三角形的中線，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解。10．如圖，在中，，，，過(guò)點(diǎn)A作直線，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作，連結(jié)使．當(dāng)最短時(shí)，則的長(zhǎng)度為（）A. B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】在點(diǎn)A的右側(cè)取一點(diǎn)G，使得，連結(jié)，，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，推得都是定值，點(diǎn)F在射線上運(yùn)動(dòng)，從而得到當(dāng)時(shí)，最短，并畫(huà)出圖形，再通過(guò)設(shè)未知數(shù)列方程，逐步求得和的長(zhǎng)，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】解：如圖1，在點(diǎn)A的右側(cè)取一點(diǎn)G，使得，連結(jié)，，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，直線，，，，，，，，，，，，，，，，，，，和都是定值，點(diǎn)F在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，最短（如圖2所示），延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)N，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，解得，，，，，，，，，，解得，當(dāng)最短時(shí)，則的長(zhǎng)度為4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何最值問(wèn)題，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，探究線段最短時(shí)的幾何圖形是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共6小題，每小題4分，共24分．）11．如圖，已知，，如果，那么的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】5【解析】【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．由平行線分線段成比例定理可得，進(jìn)而可得，根據(jù)即可求得的長(zhǎng)．【詳解】解：，，，又，解得：，故答案為：5．12.如圖，在中，，垂足為D，，則的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵掌握識(shí)別基本圖形．先由勾股定理求解，再證明求出，最后由線段和差求解即可．【詳解】解：∵，，∴在中，，，∴，∵，∴∴，∴，∴，∴，故答案為：．13.已知線段b是線段a和線段c的比例中項(xiàng)，若，，則b的值是______．【答案】【解析】【分析】此題考查了比例中項(xiàng)的定義，利用平方根的含義解方程，化為最簡(jiǎn)二次根式，如果作為比例線段的內(nèi)項(xiàng)是兩條相同的線段，即或或，那么線段b叫做線段a、c的比例中項(xiàng).根據(jù)比例中項(xiàng)的定義即可求解.【詳解】解：∵線段b是線段a和線段c的比例中項(xiàng)，，，∴，∴，∵，∴，故答案為：．14．如圖，，且，，則△ABC與△ADB的相似比為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．先求出的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出的長(zhǎng)，再求出與的比即可．【詳解】解：，，，，，即，，，與的相似比為，故答案為：．15．如圖，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，AE：BE=1：2，AD，CE交于點(diǎn)F，則AD：FD=___________【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)D作，交AB于點(diǎn)G，由得，再結(jié)合得，即可求出結(jié)果．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作，交AB于點(diǎn)G，∵，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平行線分線段成比例的性質(zhì)，構(gòu)造平行線進(jìn)行求解．16．如圖，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊和上，，交于點(diǎn)作交于點(diǎn)H．則下面結(jié)論①；②；③；④當(dāng)時(shí)，平分．正確的是__________；【答案】①②③④【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，求出判斷①，證明判斷②，根據(jù)角的和差關(guān)系，求出判斷③，求出，判斷④．詳解】解：∵正方形，∴，∵，∴，∴，∴，故①正確；∴，∵，∴，∵，∴，∴，故②正確；∵，，∴，故③正確；∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∵，∴，又∵，即：，∴平分；故④正確；故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的判斷等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共9小題，共86分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17．（本題8分）已知線段a，b，c滿足，且．（1）求線段a，b，c的長(zhǎng)；（2）若線段k是線段a，b的比例中項(xiàng)，求線段k的長(zhǎng)．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】本題考查了比例線段．（1）設(shè)，然后用k表示出a、b、c，再代入求解得到k，即可得到a、b、c的值；（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列式得到，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解，即可求出線段k的長(zhǎng)．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，則，，，又∵，∴，解得，∴，，；【小問(wèn)2詳解】解：∵線段k是線段a，b的比例中項(xiàng)，∴，解得或（舍去），∴線段．（本題8分）如圖，在中，，是的中點(diǎn)，在上，且，連接、，求證：．【答案】詳見(jiàn)解析【解析】【分析】本題主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到，，結(jié)合相似三角形的判定方法即可求證．【詳解】證明：是的中點(diǎn)，，又，，，，．19．（本題8分）如圖，在中，，，垂足為D．（1）證明：；（2）已知，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）的長(zhǎng)為【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意得，和，則，即可證明；由（1）知，則，代入求解即可．【小問(wèn)1詳解】證明：∵，∴，∵，∴，，∴，即；【小問(wèn)2詳解】解：∵，∴，∵，，∴，整理，得，解得或（不合題意，舍去），∴的長(zhǎng)為．20．（本題8分）如圖，點(diǎn)C，D在線段上，是等邊三角形，，（1）請(qǐng)你說(shuō)明；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）120°【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由相似三角形的性質(zhì)得，由等邊三角形的性質(zhì)得，即可得證；（2）由相似三角形的性質(zhì)得，等邊三角形的性質(zhì)得，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可求解．【小問(wèn)1詳解】證明：，，，是等邊三角形，，；【小問(wèn)2詳解】解：，，是等邊三角形，，，，．21．（本題8分）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)．（1）請(qǐng)用尺規(guī)在邊上求作點(diǎn)，使得（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）2.5【解析】【分析】（1）作的垂直平分線交于E，點(diǎn)E即為所作的點(diǎn)；（2）證明，所以，再由，不難求得的值．【小問(wèn)1詳解】解：作垂直平分線交于點(diǎn)E．點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)．【小問(wèn)2詳解】解；連接，由（1）知．，平分，，，，又，．．，，．．．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，角平分線定義及等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確理解相關(guān)定義和定理是解本題的關(guān)鍵．22．（本題10分）一塊材料的形狀是等腰△ABC，底邊BC=120cm，高AD=120cm．（1）若把這塊材料加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上（如圖1），則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為多少？（2）若把這塊材料加工成正方體零件（如圖2，陰影部分為正方體展開(kāi)圖），則正方體的表面積為多少？【答案】（1）這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為60cm；（2）正方體的表面積為3456cm2【解析】【分析】（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，證明△AEH∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)得到，然后代值求出x值即可；（2）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為acm，同樣證明△AMN∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)得到，然后代值求出a值即可．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，∵四邊形EFGH是正方形，∴EH∥BC，EF=EH=xcm，又AD⊥BC，∴∠AEH=∠ABC，∠AHE=∠ACB，AD⊥EH，DK=EF=xcm，∴△AEH∽△ABC，∴，∵BC=120cm，AD=120cm，∴，解得：x=60，答：方形的邊長(zhǎng)為60cm；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為acm，由題意知：MN∥BC，AP⊥MN，MN=a，PD=4a，∴△AMN∽△ABC，∴，即，解得：a=24∴正方體的表面積為6×242=3456cm2．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用舉例，涉及正方形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、正方體的展開(kāi)圖和表面積等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．23．（本題10分）如圖，中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，連接．（1）是否存在某一時(shí)刻，使的面積是面積的？若存在求出相應(yīng)的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）存在．理由見(jiàn)解析（2）存在或或時(shí)，使是等腰三角形．理由見(jiàn)解析【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等，解題的關(guān)鍵是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線．（1）過(guò)P作，由得，再代入相關(guān)的數(shù)據(jù)即可求得t的值，再進(jìn)行判斷即可．（2）分三種情況討論，利用等腰三角形與相似三角形的性質(zhì)即可求得t值．【小問(wèn)1詳解】解：過(guò)P作，因，則．∴，∴，又，∴．∴．又．根據(jù)題意，若存在某一時(shí)刻t，使，則有：．解得：（另一解因不滿足，故舍去），∴存在這樣的，使的面積是面積的．【小問(wèn)2詳解】解：若要使是等腰三角形，分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，解得：．②當(dāng)時(shí)，過(guò)P作，垂足為點(diǎn)H（參考上圖），則，由知，，即，解得：．③當(dāng)時(shí)，自點(diǎn)M作，則，由得，∴，即，解得：．綜合以上三種情況可知，存在或或時(shí)，使是等腰三角形．24．（本題13分）黃金分割比是生活中比較多見(jiàn)的一種長(zhǎng)度比值，它能給人許多美感和科學(xué)性，我們初中階段學(xué)過(guò)的許多幾何圖形也有著類似的邊長(zhǎng)比例關(guān)系．例如我們熟悉的頂角是36°的等腰三角形，其底與腰之比就為黃金分割比，底角平分線與腰的交點(diǎn)為黃金分割點(diǎn)．（1）如圖1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的角平分線CD交腰AB于點(diǎn)D，請(qǐng)你證明點(diǎn)D是腰AB的黃金分割點(diǎn)；（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，若，則請(qǐng)你求出∠A的度數(shù)；（3）如圖3，如果在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB上的高，∠A、∠B、∠ACB的對(duì)邊分別為a，b，c．若點(diǎn)D是AB的黃金分割點(diǎn)，那么該直角三角形的三邊a，b，c之間是什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）108°；（3）該直角三角形的三邊a，b，c之間應(yīng)滿足，見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，求出∠ABC=∠ACB=72°，再根據(jù)CD是∠ACB的角平分線，求出∠ACD=∠BCD=36°，所以△BCD和△ABC是相似的兩個(gè)等腰三角形，并且AD=BC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式整理即可證明；（2）在BC邊上截取BD=AB，連接AD，再根據(jù)“AB=AC，分別求出與的值都是，所以△ACD∽△ACB，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等和三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，利用三角形內(nèi)角和定理列式即可求出∠A的度數(shù)；（3）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例分別求出AD、BD的長(zhǎng)，再根據(jù)AB=AD+BD代入整理即可得到a、b、c之間的關(guān)系．【詳解】解：（1）證明：∵在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，又CD是∠ACB的角平分線，∴∠ACD＝∠BCD＝36°，∴∠A＝∠DCA，∠BDC＝72°，∴AD＝CD＝BC，在△BCD和△BAC中，∠B＝∠B，∠BCD＝∠A，∴△BCD∽△BAC，∴，∴BC2＝AB?BD又BC＝AD，∴AD2＝AB?BD，∴D是AB的黃金分割點(diǎn)；（2）在底邊BC上截取BD＝AB，連接AD，∵，AB＝AC，，，，，又∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA，∴設(shè)∠CAB＝∠CDA＝x，∴∠BAD＝∠BDA＝2x，∴x+