第23章圖形的相似知識(shí)點(diǎn)一成比例線段◎線段的比：在同一長(zhǎng)度單位下，量得的兩條線段長(zhǎng)度的比叫做這兩條線段的比.◎比例線段的概念：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，則我們就說這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.注意：在判斷線段是否成比例線段時(shí)，將線段從小到大排列，若前面兩條線段的比值等于后面兩條線段的比值，則這四條線段就是比例線段.知識(shí)點(diǎn)二比例的相關(guān)性質(zhì)◎比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)．兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)．◎比例中項(xiàng)：在ab=cd中，如果b＝c，即ab=bd那么b2＝ad，這時(shí)我們把b叫作a【拓展】①合比性質(zhì)：，②分比性質(zhì)：，③合分比性質(zhì)：QUOTEQUOTE④等比性質(zhì)：如果◎黃金分割：把線段分成兩條線段，且使是的比例中項(xiàng)，即，叫做把線段黃金分割，點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)，其中≈0.618．即.簡(jiǎn)記為：.知識(shí)點(diǎn)三平行線分線段成比例◎平分線分線段成比例的內(nèi)容：如圖，若兩條線段被一組平行線所截，所得到的線段對(duì)應(yīng)成比例.即：；，等...◎推論1：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.◎推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.知識(shí)點(diǎn)四相似圖形◎相似圖形的概念：我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形.或若兩個(gè)多邊形的邊數(shù)相同，角對(duì)應(yīng)相等，邊對(duì)應(yīng)成比例，則這兩個(gè)多邊形是相似多邊形。相等的角是對(duì)應(yīng)角，成比例的邊是對(duì)應(yīng)邊.【注意】當(dāng)用符號(hào)“∽”表示兩個(gè)多邊形相似時(shí)，要把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上.◎相似多邊形的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)邊的比是相似圖形的相似比.②相似多邊形的周長(zhǎng)的比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平方.知識(shí)點(diǎn)五相似三角形的定義與性質(zhì)◎相似三角形的定義：如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.用符號(hào)“∽”來表示.若△ABC相似于△DEF，A對(duì)應(yīng)D，B對(duì)應(yīng)E，C對(duì)應(yīng)F.則表示為△ABC∽△EDF.對(duì)應(yīng)邊的比叫做這兩個(gè)三角形的相似比.◎相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.②相似三角形（多邊形）的周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比.③相似三角形的面積的比等于相似比的平方.知識(shí)點(diǎn)六相似三角形的判定◎判定兩個(gè)三角形相似的預(yù)備定理平行于三角形其中一邊的直線與另兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線相交，所得到的三角形與原三角形相似.圖1圖2如圖1：△AOE∽△ABC；如圖2，△AOB∽△COD◎相似三角形的判定定理1：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似：若兩個(gè)三角形三邊的比相等，則這兩個(gè)三角形相似.◎相似三角形的判定定理2：兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且這兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角相等的兩個(gè)三角形相似.◎相似三角形的判定定理3：兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形相似.◎相似三角形的判定定理4：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似.知識(shí)點(diǎn)七中位線◎中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.幾何語言：在△ABC中，∵D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線.◎性質(zhì)定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半.幾何語言：∵D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，且DE=12BC知識(shí)點(diǎn)八位似圖形◎位似多邊形：兩個(gè)相似多邊形，如果它們對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線相交于一點(diǎn)，我們就把這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心．◎位似圖形的性質(zhì)：（1）兩個(gè)位似圖形一定是相似形；（2）對(duì)應(yīng)圖形的所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)；（3）對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一直線）；（4）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比．◎畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；④順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形.知識(shí)點(diǎn)九圖形與坐標(biāo)◎坐標(biāo)確定位置：①行列定位法:用行數(shù)、列數(shù)表示位置.在這種方法中，常把平面分成若干行和若干列，然后利用行數(shù)和列數(shù)表示平面上的位置;②經(jīng)緯定位法:通過地球上的經(jīng)度和緯度可以確定一個(gè)地點(diǎn)在地球上的位置.③用方向角、距離確定位置◎圖形的變換與坐標(biāo)：名稱規(guī)律平移變換橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)加上（或減去）平移的單位長(zhǎng)度軸對(duì)稱變換以x軸為對(duì)稱軸，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)以y軸為對(duì)稱軸，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)旋轉(zhuǎn)變換一個(gè)圖形繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，則旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)位似變換當(dāng)以原點(diǎn)為位似中心時(shí)，變換前后兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之比的絕對(duì)值等于相似比易錯(cuò)點(diǎn)一：相似三角形判定時(shí)忽略對(duì)應(yīng)關(guān)系或角的條件在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，必須確保對(duì)應(yīng)角相等或?qū)?yīng)邊成比例，且對(duì)應(yīng)關(guān)系正確。學(xué)生容易僅憑邊成比例就判定相似，而不檢查角是否相等，或者錯(cuò)誤地使用非判定條件（如SSA）。例題：已知在和中，,,,,,。判斷與是否相似。常見錯(cuò)誤：直接計(jì)算,,，認(rèn)為三邊成比例，因此相似。正確解法：首先確認(rèn)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。假設(shè)A對(duì)應(yīng)D,B對(duì)應(yīng)E,C對(duì)應(yīng)F，則,,，三邊成比例，根據(jù)SSS相似準(zhǔn)則，。但需注意，如果對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)不正確，則邊不成比例，因此判定相似時(shí)必須明確對(duì)應(yīng)關(guān)系。易錯(cuò)點(diǎn)二：混淆相似比與面積比、周長(zhǎng)比相似圖形的面積比是相似比的平方，周長(zhǎng)比等于相似比。學(xué)生容易將面積比誤認(rèn)為與相似比相同，或在計(jì)算時(shí)忽略平方關(guān)系。例題：兩個(gè)相似三角形的相似比為，那么它們的面積比是多少？常見錯(cuò)誤：直接回答3:5。正確解法：面積比是相似比的平方，即，所以面積比為9:25。易錯(cuò)點(diǎn)三：應(yīng)用平行線分線段成比例定理時(shí)找錯(cuò)對(duì)應(yīng)線段在利用平行線分線段成比例定理或其推論時(shí)，學(xué)生容易將對(duì)應(yīng)線段混淆，導(dǎo)致比例式列錯(cuò)。必須確保所比的線段都來自被同一條直線所截得的線段，并且比例式要遵循嚴(yán)格的對(duì)應(yīng)關(guān)系。例題：如圖，在中，，，，，求的長(zhǎng)度。常見錯(cuò)誤：錯(cuò)誤地列出比例式，即。正確解法：根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論（A型圖），對(duì)應(yīng)線段成比例的正確關(guān)系是：，其中，所以有：，解得：。易錯(cuò)點(diǎn)四：忽略直角三角形相似的特定判定方法（HL）在判定兩個(gè)直角三角形相似時(shí)，除了使用一般三角形相似的判定定理外，還有一個(gè)專屬于直角三角形的判定定理：如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似（HL）。學(xué)生容易忘記這個(gè)定理，或者錯(cuò)誤地應(yīng)用一般三角形的SAS定理。例題：已知在和中，，且。求證：。常見錯(cuò)誤：直接說"因?yàn)閮蛇叧杀壤見A角相等，所以相似"。但這里給出的邊AB和DE是斜邊，AC和DF是直角邊，夾角∠C和∠F是直角。這個(gè)條件組合不屬于一般三角形SAS相似的范疇。正確解法：∵∠C=∠F=90°，且（即斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例），∴（根據(jù)直角三角形相似的HL判定定理）。易錯(cuò)點(diǎn)五：相似實(shí)際應(yīng)用問題中未能正確建立數(shù)學(xué)模型將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相似三角形模型時(shí)，學(xué)生容易找錯(cuò)對(duì)應(yīng)關(guān)系，或者混淆實(shí)物高度與影長(zhǎng)等概念，導(dǎo)致列出的比例式錯(cuò)誤。解決此類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)別出圖形中的相似三角形，并明確它們的對(duì)應(yīng)邊。例題：小亮想測(cè)量一座古塔的高度。他站在離古塔底部一定距離的地方，將一塊平面鏡放在地面上他前方一點(diǎn)處，然后他看著鏡子慢慢后退，直到在鏡中恰好能看到塔頂?shù)南?。已知小亮的眼睛離地面高1.6米，鏡子到塔底的距離為25米，小亮到鏡子的距離為2米，求古塔的高度。常見錯(cuò)誤：誤以為人的身高與塔高之比等于人到鏡子的距離與鏡子到塔的距離之比，即。正確解法：根據(jù)光的反射定律，可以證明圖中的兩個(gè)直角三角形是相似的。設(shè)古塔高為h米。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊成比例：人的眼睛離地高度/古塔高度=人到鏡子的距離/鏡子到塔底的距離，即，解得：。答：古塔的高度是20米。關(guān)鍵點(diǎn)：正確找出相似三角形，并建立"豎直邊/豎直邊=水平邊/水平邊"的正確比例關(guān)系?？偨Y(jié)反思通過對(duì)以上易錯(cuò)點(diǎn)的分析，可以發(fā)現(xiàn)圖形的相似的常見錯(cuò)誤主要集中在概念理解和實(shí)際應(yīng)用上。為避免這些錯(cuò)誤：(1)始終牢記相似三角形判定的前提條件，注意對(duì)應(yīng)關(guān)系；(2)區(qū)分清楚相似比與面積比、周長(zhǎng)比的關(guān)系，面積比是相似比的平方；(3)應(yīng)用平行線分線段成比例定理時(shí)，確保對(duì)應(yīng)線段正確；(4)牢記直角三角形相似的特定判定方法（HL）；(5)解決實(shí)際問題時(shí)，正確建立相似模型，注意對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系。(6)建議建立錯(cuò)題本，定期復(fù)習(xí)這些典型易錯(cuò)題。重難點(diǎn)1：比例線段與比例性質(zhì)涉及知識(shí)點(diǎn)：◎比例的基本性質(zhì)：若a:b=c:d，則ad=bc◎平行線分線段成比例定理◎黃金分割及其應(yīng)用解題技巧：◎先將方程利用比例性質(zhì)進(jìn)行線段長(zhǎng)度的計(jì)算◎通過設(shè)未知數(shù)建立方程求解比例問題◎運(yùn)用平行線分線段成比例定理解決幾何問題◎黃金分割點(diǎn)的確定與應(yīng)用例題精選例題1：下列各組不同長(zhǎng)度的線段是成比例線段的是（

）A．3cm，6cm，7cm，9C．3cm,9cm【答案】C【分析】本題主要考查線段成比例，熟練掌握線段成比例是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)“若線段a、b、c、d，且滿足a:b=【詳解】解：A、3:6≠7:9，所以這四條線段不成比例，故不符合題意；B、因?yàn)?.6dm=6cmC、因?yàn)?.8dm=18cmD、1:2≠3:4，所以這四條線段不成比例，故不符合題意；故選C．例題2：如圖，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BCAC>BC，若ACAB=BCAC，則稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比5-12≈0.618叫做黃金比，即AC=5-12AB．易知線段AB有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)．現(xiàn)有如圖所示的樂器，樂器上的一根弦AB=80cm【答案】80【分析】本題考查了黃金分割，解題關(guān)鍵是掌握黃金分割并能運(yùn)用求解．根據(jù)黃金分割的定義分別求得AC，BD，再利用CD=【詳解】解：∵點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，AB=80∴AC=∵點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，∴BD=∴CD∴支撐點(diǎn)C，D之間的距離為故答案為：805例題3：如圖，AD∥BE∥CF，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)．已知AB=1，BC【答案】1.2【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成立定理可得ABBC【詳解】解：∵AD∥∴ABBC∵AB=1，BC=3，∴13∴DE=1.2故答案為：1.2．重難點(diǎn)2：相似三角形的判定涉及知識(shí)點(diǎn)：◎相似三角形的定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例◎相似三角形的判定定理：★兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似(AA)★兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似(SAS)★三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似(SSS)◎常見相似模型：A字型、X字型、母子型等◎直角三角形相似的判定：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例解題技巧：◎根據(jù)已知條件選擇合適的判定方法◎?qū)ふ夜步?、?duì)頂角等相等角◎利用平行線構(gòu)造相似三角形◎識(shí)別常見的相似模型例題精選例題1：如圖，當(dāng)x的值為多少時(shí)，△ABCA．20 B．27 C．36 D．45【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)根據(jù)題意當(dāng)ABA1B【詳解】解：根據(jù)題意可知，當(dāng)ABA1B由圖可知，AB=15，A1B1=27，BC=25，∴1527∴x=36故選：C．例題2：平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，OE∥AB，則與A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定，由OE∥AB得到∠BOE=∠BDC，∠BEO=∠BCD即可得到【詳解】∵OE∴∠BOE=∠∴△∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠ABD=∠∴∠ABD=∠∴△∴與△BOE相似的三角形有2故選：A．例題3：如圖，在△ABC和△DEC中，CD?BC=【答案】見解析【分析】本題主要考查相似三角形的判定，由已知條件得出∠DCE=∠ACB【詳解】證明：∵∠BCE∴∠BCE∴∠DCE又CD?則CDCA∴△ABC重難點(diǎn)3：相似三角形的性質(zhì)涉及知識(shí)點(diǎn)：◎相似三角形對(duì)應(yīng)角相等◎相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例◎相似三角形對(duì)應(yīng)高、中線、角平分線的比等于相似比◎相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比◎相似三角形面積的比等于相似比的平方解題技巧：◎利用相似比求線段長(zhǎng)度◎利用面積比解決面積問題◎相似三角形性質(zhì)與勾股定理的綜合應(yīng)用◎建立比例關(guān)系求解幾何問題例題精選例題1：如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，△ADE∽△ABC，且相似比為3:5，則A．916 B．94 C．925【答案】A【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的面積比等于相似比的平方；由相似比為3:5，可求出S△ADE【詳解】解：∵△ADE∽△ABC∴S△∴S△故選：A.例題2：如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線之比是2:3，并且這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)之和是65cm，那么較大的三角形周長(zhǎng)是【答案】39【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)．掌握相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比是解題的關(guān)鍵．由兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線之比＝相似比＝相似三角形的周長(zhǎng)比，即可求得這兩個(gè)三角形周長(zhǎng)比為：2:3，又由周長(zhǎng)之和是65cm【詳解】∵兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線之比是2:3，∴這兩個(gè)三角形周長(zhǎng)比為：2:3．∵周長(zhǎng)之和是65cm∴這兩個(gè)三角形周長(zhǎng)分別為：65×25∴較大的三角形周長(zhǎng)是39cm故答案為：39cm例題3：已知△ABC∽△DEF，若∠B=40°，∠D【答案】80【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，得∠E【詳解】∵△ABC∴∠B∵∠B∴∠E∵∠D∴∠F故答案為：80．重難點(diǎn)4：相似三角形的應(yīng)用涉及知識(shí)點(diǎn)：◎利用相似三角形測(cè)量高度◎利用相似三角形測(cè)量距離◎相似三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用◎相似三角形與平面直角坐標(biāo)系的結(jié)合解題技巧：◎建立相似模型解決實(shí)際問題◎利用影子測(cè)量物體高度◎坐標(biāo)幾何中的相似問題例題精選例題1：如圖所示，在小孔成像實(shí)驗(yàn)中，光線經(jīng)過小孔O，物體AB在幕布上形成倒立的實(shí)像CD（點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是C、D）．若物體AB的高為5cm，小孔O到地面距離OE為2cm，則實(shí)像CD的高度為【答案】103/【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)．易證明△COE∽△CAB，△BOE∽△BDC，從而得到CEBC=OEAB，BEBC【詳解】解：∵AB⊥BC，∴OE∥∴△COE∽△CAB，∴CECB=OE∴CEBC+BEBC∴OEAB∵AB=5cm∴25+故答案為：103例題2：如圖，點(diǎn)光源O射出的光線沿直線傳播，將膠片上的建筑物圖片AB投影到與膠片平行的屏幕上，形成影像CD．已知AB=0.3dm，點(diǎn)光源到膠片的距離OE長(zhǎng)為6dm，CD長(zhǎng)為4.3dm，則膠片與屏幕的距離EF【答案】80【分析】本題考查中心投影，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明△OAB∽△OCD，推出AB【詳解】解：∵AB∥∴△OAB∵OF⊥∴OF⊥∴ABCD∴0.34.3∴EF＝故答案為：80．例題3：小明決定利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量出旗桿CD的高度．如圖，已知A，B，C在同一條直線上，A，E，D也在同一條直線上，BE⊥AC，DC⊥AC，垂足分別是點(diǎn)B和點(diǎn)C，小明眼睛到地面高BE=1.5米，且AB(1)求旗桿CD的高度；(2)小明在測(cè)量時(shí)發(fā)現(xiàn)通過地面BC直線上F處的一個(gè)小水坑剛好看到旗桿頂端D，求小水坑F到小明的距離BF的長(zhǎng)．【答案】(1)旗桿CD的高度為6米(2)小水坑F到小明的距離BF的長(zhǎng)為95【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．（1）證明△ABE（2）證明△EBF【詳解】（1）解：∵BE⊥∴∠ABE∵∠A=∠∴△ABE∴AB∵AB=3∴AC∴3∴CD經(jīng)檢驗(yàn)，CD=6答：旗桿CD的高度為6米．（2）解：由題意得：∠∵BE⊥AC∴∠EBC∴△EBF∴BE∴BE即1.5∴經(jīng)檢驗(yàn)：BF=答：小水坑F到小明的距離BF的長(zhǎng)為95重難點(diǎn)5：位似圖形涉及知識(shí)點(diǎn)：◎位似圖形的定義：對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線交于一點(diǎn)，且對(duì)應(yīng)邊平行◎位似中心：對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)◎位似比：位似圖形對(duì)應(yīng)邊的比值◎位似圖形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例◎位似圖形的畫法解題技巧：◎識(shí)別位似圖形和位似中心◎根據(jù)位似比進(jìn)行相關(guān)計(jì)算◎掌握位似圖形的畫法◎位似與相似的區(qū)別與聯(lián)系例題精選例題1：方框中的兩個(gè)圖形不是位似圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了位似變換的知識(shí)，位似與相似既有聯(lián)系又有區(qū)別，相似僅要求兩個(gè)圖形形狀完全相同；而位似是在相似的基礎(chǔ)上要求對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)．【詳解】解：對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)的兩個(gè)相似多邊形叫位似圖形．據(jù)此可得A、B、C三個(gè)圖形中的兩個(gè)圖形都是位似圖形；而D的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線不能相交于一點(diǎn)，故不是位似圖形．故選：D．例題2：如圖，△ABC與△A'B'C'位似，點(diǎn)O為位似中心，若△ABC的周長(zhǎng)等于A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】本題考查了位似變換，相似三角形的性質(zhì)，由位似的性質(zhì)得出△ABC∽△A'B'C'，結(jié)合【詳解】解：∵△ABC與△∴△ABC∵△ABC的周長(zhǎng)等于△A'∴相似比為1:4，即OAO∵AO=2∴OA故選：C．例題3：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，A-4,2、B-2,6、C0,4【答案】見解析【分析】當(dāng)在第二象限時(shí)，A1-2,1本題考查了位似作圖，正確理解位似比的意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵A-4,2、B-2,6、∴當(dāng)在第二象限時(shí)，A1-2,1畫圖如下：則△A1B重難點(diǎn)6：相似多邊形涉及知識(shí)點(diǎn)：◎相似多邊形的定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例◎相似比：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比值◎相似多邊形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例◎相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比◎相似多邊形的面積比等于相似比的平方解題技巧：◎利用相似比求多邊形邊長(zhǎng)◎利用相似比求多邊形周長(zhǎng)◎利用相似比求多邊形面積◎相似多邊形與相似三角形的聯(lián)系例題精選例題1：矩形甲、乙、丙的長(zhǎng)和寬如圖所示（單位：cm），則其中是相似圖形的是（

）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．甲、乙和丙【答案】C【分析】本題考查了相似多邊形的定義，難度不大，注意對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握是關(guān)鍵．根據(jù)相似多邊形的定義：對(duì)應(yīng)角相等且對(duì)應(yīng)邊成比例，判斷三個(gè)矩形即可．【詳解】解：矩形甲的長(zhǎng)寬比為：2:3；矩形甲的長(zhǎng)寬比為：3:5；矩形甲的長(zhǎng)寬比為：2:3；故矩形甲和丙為相似圖形．故選：C．例題2：如圖，四邊形ABCD∽四邊形A'B'【答案】83°【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)以及四邊形內(nèi)角和定理，根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等以及內(nèi)角和為360°計(jì)算即可．【詳解】∵四邊形ABCD∽四邊形A∴∠A∵四邊形內(nèi)角和為360°，∴α故答案為：83°．例題3：如圖，已知矩形ABCD的邊AD長(zhǎng)為8cm，邊AB長(zhǎng)為6cm，從中截去一個(gè)矩形（圖中陰影部分），如果所截矩形與原矩形相似，那么所截矩形的面積是【答案】27【分析】本題主要考查了相似多邊形，熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先求出矩形ABCD的面積，根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方即可得答案．【詳解】解：∵AD=8cm，∴S矩形∵矩形AEFB和矩形ABCD相似，∴S矩形∴S矩形故答案為：27.重難點(diǎn)7：相似與函數(shù)綜合涉及知識(shí)點(diǎn)：◎坐標(biāo)系中相似三角形的判定◎利用函數(shù)關(guān)系求相似比◎相似三角形與一次函數(shù)、反比例函數(shù)的綜合◎動(dòng)態(tài)幾何中的相似問題解題技巧：◎建立坐標(biāo)系解決相似問題◎利用函數(shù)解析式求點(diǎn)的坐標(biāo)◎結(jié)合函數(shù)圖像分析相似關(guān)系◎動(dòng)態(tài)問題中尋找不變關(guān)系例題精選例題1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A-2，0，B0，4，點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線AB對(duì)稱．將△ABC沿x軸向右平移，當(dāng)線段AB掃過的面積為A．75，85 B．95，【答案】B【分析】連接AA1、BB1，過C點(diǎn)作CE⊥x軸于E點(diǎn)，過B點(diǎn)作BD⊥CE，交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，根據(jù)A(-2，0)、B(0，4)，OA=2，OB=4，進(jìn)而得到AC=2，BC=4，再證Rt△DBC∽R(shí)t△ECA，得到BDCE=CDAE=BCAC=42=2，設(shè)AE=x，則有CD=2x，OE=AO+AE=2+x，在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE【詳解】平移后的效果如圖，連接AA1、BB1，過C點(diǎn)作CE⊥x軸于E點(diǎn)，過B點(diǎn)作BD⊥CE，交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，根據(jù)平移的性質(zhì)可知AA1=BB1，且AA即有四邊形AA∵CE⊥x軸，BD⊥CE，∴∠D=∠CEA=90°，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可知△AOB≌△ACB，∴∠ACB=∠AOB=90°，AO=AC，OB=BC，∵A(-2，0)、B(0，4)，∴OA=2，OB=4，∴AO=AC=2，OB=BC=4，∵∠ACB=90°=∠D，∴∠DCB+∠ACE=90°，∠DCB+∠DBC=90°，∴∠ACE=∠CBD，∴Rt△DBC∽R(shí)t△ECA，∴BDCE設(shè)AE=x，則有CD=2x，∴OE=AO+AE=2+x，∵∠D=∠CEA=90°=∠AOB，∴四邊形OBDE是矩形，∴BD=OE，即BD=2+x，∵BDCE∴CE=∴在Rt△ACE中，AC∴有22=(∴AE=∴OE=2+x=∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(-16根據(jù)平移的性質(zhì)可知直線AB掃過的圖形為是平行四邊形AA∴根據(jù)題意有S平行四邊形∵S平行四邊形∴4A∴AA∴可知△ABC向右平移了5個(gè)單位，∴C(-165，85)∴即-16∴C1點(diǎn)坐標(biāo)為(9故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．例題2：如圖，?ABCO的邊AB的中點(diǎn)D在y軸上，對(duì)角線AC與y軸交于點(diǎn)E，若反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)A，且四邊形BCED的面積為【答案】12【分析】根據(jù)條件找到△ADE∽△COE，求出線段之間長(zhǎng)度關(guān)系，通過設(shè)未知數(shù)形式，求出S△ADO的面積，進(jìn)而求得k的值．【詳解】解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，則△ADE∽△COE，因?yàn)镈為AB中點(diǎn)，則ADOC設(shè)AD=x，DE=y，則四邊形BCDE的面積=SBCOD-S△EOC=x+2x3y則xy=4，S△ADO=x×3y÷2=6，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)可得k=2S△ADO=12，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形性質(zhì)、相似三角形判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖像和系數(shù)等有關(guān)知識(shí)，屬于綜合題型．例題3：如圖1，已知△ADE是等邊三角形，邊AD=6，點(diǎn)B、C是直線DE上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B始終在點(diǎn)D左側(cè)，點(diǎn)C始終在點(diǎn)E右側(cè)，且∠BAC=120°，設(shè)BD=x，CE(1)直接寫出y1，y(2)在圖2中畫出函數(shù)y1，y2圖像，并寫出一條(3)直接寫出y1>y2時(shí)，自變量【答案】(1)y1=(2)畫圖見解析，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x(3)0<x<【分析】（1）根據(jù)已知條件證明△ADB∽△CEA，則對(duì)應(yīng)變成比例，y1的函數(shù)解析式；設(shè)y2=kx+b（2）按畫圖象的步驟方法畫圖即可由函數(shù)圖象寫出一條y1（3）函數(shù)圖象可得自變量的取值范圍，由（2）所畫兩函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)，觀察圖象的位置關(guān)系，即可確定大??；本題主要考查了正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用圖象法解決問題．【詳解】（1）∵△ADE∴AD=AE=∵∠BAC∴∠BAD∵∠ADE∴∠B同理可得：∠BAD∴△ADB∴BDAE∵BD=x，CE=∴y1設(shè)y2將32,4和4,則y2綜上所述：y1=6（2）y1經(jīng)過的點(diǎn)有：6,1，2,3，3,2，1,6，y2經(jīng)過的點(diǎn)有：0,5.5，描點(diǎn)、連線，畫出函數(shù)y1，y如圖，y1的性質(zhì)：當(dāng)x>0時(shí)，y隨x（3）由（2）中圖象可知，y1，y2圖象交點(diǎn)為1.5,4，當(dāng)0<x<1.5或x>4時(shí)，y∴當(dāng)y1>y2時(shí)，自變量x的取值范圍為重難點(diǎn)8：相似三角形中的輔助線涉及知識(shí)點(diǎn)：◎平行線構(gòu)造相似三角形◎垂線構(gòu)造相似三角形◎中線與相似三角形◎角平分線與相似三角形解題技巧：◎過特殊點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似◎作垂線構(gòu)造直角三角形相似◎利用中線性質(zhì)構(gòu)造相似◎利用角平分線性質(zhì)構(gòu)造相似例題1：如圖，在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，將△ABD沿AD折疊得到△AED，連接EC，已知BC＝6，AD＝2，且S△CDE＝2710，則點(diǎn)A到DE的距離為．【答案】310【分析】過點(diǎn)E作EF⊥BC于F，AG⊥DE于G，AH⊥BC于H，由將△ABD沿AD折疊得到△AED，可得BD=DG,∠BDA=∠EDA，可證AH=AG，由D為BC中點(diǎn)，BC=6，可求BD=ED=DC=12BC=3，由S△CDE＝2710，可求EF=95，在Rt△【詳解】解：過點(diǎn)E作EF⊥BC于F，AG⊥DE于G，AH⊥BC于H，∵將△ABD沿AD折疊得到△AED，∴BD=∴AD為∠BDE的平分線，∵EF⊥BC于F，AG⊥DE于G，∴AH=∵D為BC中點(diǎn)，BC=6，∴BD=∵S△CDE＝2710∴SΔDCE∴EF=在Rt△EDF中，由勾股定理DF=∴FC=DC-DF=3-125在Rt△ECF中，由勾股定理EC=∵DE=DC，∴∠DEC由外角性質(zhì)，∠BDE∴∠DCE∵∠AHD∴ΔAHD∽∴ADEC=AH∴AH=∴AG=AH=故答案為：310【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，三角形面積，勾股定理，相似三角形判定與性質(zhì)，掌握折疊性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，三角形面積，勾股定理，相似三角形判定與性質(zhì)，利用輔助線畫出準(zhǔn)去圖形是解題關(guān)鍵．例題2：綜合與實(shí)踐：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是射線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，將BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，連接CE，DE觀察發(fā)現(xiàn)（1）∠BDE=______°，∠BCE遷移探究（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段AC時(shí)上，請(qǐng)判斷線段AB，CD，CE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；拓展應(yīng)用（3）若點(diǎn)D在射線AC上，直線BC和直線DE相交于點(diǎn)F，且CE=3CD，請(qǐng)直接寫出【答案】（1）60，60；（2）AB=CD+CE，理由見解析；（3【分析】1由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD=BE，∠DBE=60°，可得△BDE是等邊三角形，可求∠BDE=60°，由SAS2由全等三角形的性質(zhì)可得AD=3分點(diǎn)D在線段AD上和點(diǎn)D在線段AD的延長(zhǎng)線上兩種情況討論，通過證明△CDH∽△CAB，可得CDAC=CH【詳解】解：1∵△∴AB=BC∵將BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，∴BD=BE∴△BDE∴∠BDE∵∠ABC∴∠ABD又∵AB=BC∴△ABD≌∴∠BCE故答案為：60，60；2AB∵△ABD≌∴AD∴AB3如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，過點(diǎn)D作DH∥AB，交CB于∵CE=3CD∴AD∴AC∵DH∴△CDH∽△∴CD∴設(shè)CD=∴AD=CE∵∠ABC∴AB∵DH∴DH∴△DFH∽△∴DH∴CF∴CF∴BC