第24章解直角三角形知識點(diǎn)一測量◎合理的選擇測量方法測量就是我們用所學(xué)過的知識解決生活和工作中的實(shí)際問題。在選擇方法時，一定要先弄清實(shí)際問題的條件，再選擇切實(shí)、可行的測量方法，在測量問題中，一般包括測量角度和長度?！蛘莆諟y量的各種原理以及測量的一般步驟在測量的過程中，有些數(shù)據(jù)是可以直接測量得到的，如跳高的高度，跳遠(yuǎn)的距離都可以直接用刻度尺直接測量出結(jié)果，但也有些長度無法直接量出。方法一：構(gòu)造可以測量的與原三角形相似的小三角形。利用對應(yīng)線段成比例的性質(zhì)計算出所求線段的長。方法二：利用比例尺在紙上畫一個與實(shí)物三角形相似的小三角形，通過直尺測量出所求線段在紙上的長度，再利用相似比計算出實(shí)際長度。方法三：條件允許的話，還可以構(gòu)造一個和原三角形全等的三角形來測量后可直接得出?！驕y量時應(yīng)注意的問題☆在測量時要注意測量的方法必須是切實(shí)可行的，盡量操作簡單。☆要考慮環(huán)境、氣候、人的視力等多方面的因素。☆注意單位要統(tǒng)一。☆在具體測量時，要注意選擇測量方法。測量方法要切實(shí)可行，測量結(jié)果要準(zhǔn)確，盡量減小誤差。知識點(diǎn)二直角三角形的性質(zhì)☆直角三角形兩個銳角互余.☆直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.☆在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.◎勾股（弦）定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.即.勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理.知識點(diǎn)三銳角三角函數(shù)◎銳角三角函數(shù)的概念銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．（其中：0＜∠A＜90°）定義表達(dá)式圖形正弦余弦正切◎銳角三角函數(shù)的關(guān)系在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時，有以下兩種關(guān)系：☆同角三角函數(shù)的關(guān)系：sin2A+cos2A=1．tanA=sinA☆互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：sinA=cosB,sinB=cosA,QUOTEtanA?tanB◎銳角三角函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)前提：0°＜∠A＜90°sinA隨∠A的增大而增大cosA隨∠A的增大而減小tanA隨∠A的增大而增大知識點(diǎn)四三角函數(shù)值的計算◎特殊角的三角函數(shù)值α三角函數(shù)α三角函數(shù)30°45°60°sin123cos321tan313記憶口訣：一二三，三二一，三九二十七◎用計算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)值的計算一般是：先按“”（或“”“”），再按數(shù)字鍵輸入三角函數(shù)值，最后按“”鍵便顯示結(jié)果．知識點(diǎn)五解直角三角形◎解直角三角形的概念一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．◎解直角三角形的依據(jù)設(shè)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有：☆邊之間的關(guān)系：a2+b☆銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.☆邊角之間的關(guān)系：sinA=αc，cosA=bc，☆，為斜邊上的高.◎解直角三角形的四種基本類型①已知斜邊和一直角邊；②已知兩直角邊；③已知斜邊和一銳角；④已知一直角邊和一銳角．其解法步驟列表如下：已知類型已知條件解法步驟圖示兩邊斜邊c、一直角邊（如a）（1）b=c（2）由sinA=ac（3）∠B=90°-∠ARt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，兩直角邊（a，b）（1）c=a（2）由tanA=ab（3）∠B=90°-∠A一邊一角斜邊c、一銳角（如∠A）（1）∠B=90°-∠A；（2）由sinA=ac（3）由cosA=b一直角邊、一銳角（如a、∠A）（1）∠B=90°-∠A；（2）由tanA=ab（3）由sinA=a知識點(diǎn)六解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用◎利用解直角三角形解決實(shí)際問題的步驟☆將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，即畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題；☆根據(jù)問題中的條件，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等解直角三角形；☆得到數(shù)學(xué)問題的答案；☆得到實(shí)際問題的答案．◎仰角與俯角在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角．如圖．◎坡角與坡度坡面的垂直高度和水平寬度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示為，坡面與水平面的夾角記作，叫做坡角，則．坡度越大，坡面就越陡．如圖．◎方向角（或方位角）方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)為北（南）偏東（西）多少度．如圖．易錯點(diǎn)一：混淆三角函數(shù)定義與使用條件在解直角三角形時，學(xué)生容易混淆正弦、余弦、正切函數(shù)的定義，或在不滿足直角三角形條件的情況下錯誤使用這些函數(shù)。必須牢記三角函數(shù)僅適用于直角三角形，且需要明確角的對邊、鄰邊和斜邊關(guān)系。例題、已知在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，求sinA、cosA和tanA的值。常見錯誤：錯誤地將∠A的對邊當(dāng)作AB，鄰邊當(dāng)作BC，得出sinA=，cosA=，tanA=。正確解法：首先確定直角三角形的邊角關(guān)系：

-斜邊AC===13

-∠A的對邊是BC=12

-∠A的鄰邊是AB=5

因此：

sinA=對邊/斜邊=

cosA=鄰邊/斜邊=

tanA=對邊/鄰邊=易錯點(diǎn)二：特殊角三角函數(shù)值記憶混淆對于30°、45°、60°等特殊角的三角函數(shù)值，學(xué)生容易記憶混淆或忘記推導(dǎo)方法，導(dǎo)致計算錯誤。需要理解這些特殊值的幾何來源，而非簡單死記硬背。例題、計算2sin30°+3cos60°-tan45°的值。常見錯誤：錯誤記憶三角函數(shù)值，如認(rèn)為sin30°=，cos60°=，tan45°=等。正確解法：準(zhǔn)確記憶特殊角三角函數(shù)值：

-sin30°=,cos60°=,tan45°=1

因此：

2×+3×-1=1+1.5-1=1.5易錯點(diǎn)三：實(shí)際問題中角度理解錯誤在解決實(shí)際問題時，學(xué)生容易混淆仰角、俯角、方位角等概念，或錯誤地將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。例題、從一棟樓的底部測得頂部仰角為30°，向前走20米后測得仰角為45°，求樓高。常見錯誤：錯誤地認(rèn)為兩個測量點(diǎn)與樓底構(gòu)成直角三角形，直接使用tan函數(shù)求解。正確解法：設(shè)樓高為h，第一次測量點(diǎn)距樓底為x，則：

tan30°=

tan45°=

解得：h==≈27.32米易錯點(diǎn)四：忽略解的合理性檢驗(yàn)在解直角三角形時，學(xué)生容易忽略三角函數(shù)值的范圍限制，或求出不符合實(shí)際情況的解。例題、已知sinα=1.2，求α的度數(shù)。常見錯誤：直接使用計算器求arcsin1.2，得出錯誤結(jié)果。正確解法：正弦函數(shù)的值域?yàn)閇-1,1]，sinα=1.2超出了這個范圍，因此無解。需要指出題目條件錯誤。易錯點(diǎn)五：銳角三角函數(shù)值與角度對應(yīng)關(guān)系錯誤在解直角三角形時，學(xué)生容易混淆不同銳角對應(yīng)的三角函數(shù)值，特別是當(dāng)題目中涉及兩個銳角時，錯誤地將一個角的三角函數(shù)值用于另一個角。例題、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求sinA和cosB的值。常見錯誤：錯誤地認(rèn)為sinA=，cosB=，得出sinA=cosB的結(jié)論，但沒有理解其本質(zhì)原因。正確解法：首先計算斜邊AB===5

-sinA=對邊/斜邊==

-cosB=鄰邊/斜邊==

正確結(jié)論：在直角三角形中，∠A+∠B=90°，因此sinA=cosB，這是正確的，但必須理解這是因?yàn)椤螦的對邊(BC)恰好是∠B的鄰邊。易錯點(diǎn)六：解應(yīng)用題時忽略實(shí)際意義和單位在解決實(shí)際應(yīng)用問題時，學(xué)生容易只關(guān)注數(shù)值計算而忽略答案的實(shí)際意義，或者忘記單位換算，導(dǎo)致最終答案不符合實(shí)際情況。例題、一架梯子靠在墻上，梯子與地面的夾角為75°，梯子長度為5米，求梯子頂端距離地面的高度。（結(jié)果精確到0.1米）常見錯誤：直接計算5×sin75°≈4.83，然后回答高度為4.83米，忽略了題目要求的精確度，也沒有考慮實(shí)際情境中梯子的安全性。正確解法：高度h=5×sin75°≈5×0.9659≈4.8295米

根據(jù)題目要求精確到0.1米，得h≈4.8米

同時應(yīng)該指出，在實(shí)際應(yīng)用中，梯子與地面的夾角75°偏大，可能不夠穩(wěn)定，建議調(diào)整到更安全的65°-70°范圍內(nèi)。總結(jié)反思通過對以上易錯點(diǎn)的分析，可以看解直角三角形的常見錯誤主要集中在概念理解和實(shí)際應(yīng)用上。為避免這些錯誤：(1)牢記三角函數(shù)僅適用于直角三角形；

(2)準(zhǔn)確記憶特殊角的三角函數(shù)值，理解其幾何意義；

(3)正確理解實(shí)際問題中的角度概念，準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型；

(4)注意三角函數(shù)的值域范圍，檢驗(yàn)解的合理性；

(5)明確不同銳角的三角函數(shù)對應(yīng)關(guān)系；

(6)解決實(shí)際問題時注意答案的實(shí)際意義和單位要求。

重難點(diǎn)1：銳角三角函數(shù)定義與計算涉及知識點(diǎn)：◎正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)的定義◎特殊角的三角函數(shù)值（30°、45°、60°）◎三角函數(shù)值的取值范圍◎同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2α+cos2α=1,tanα=sinα?cosα解題技巧：◎先將方程熟記特殊角的三角函數(shù)值◎利用直角三角形邊角關(guān)系計算三角函數(shù)值◎應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換例題精選例題1：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為點(diǎn)A．tanA=BCAC B．sinA=【答案】A【分析】本題考查三角函數(shù)的定義，掌握相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．利用三角函數(shù)定義逐項判斷即可．【詳解】A、在Rt△ABC中，B、在Rt△ABD中，C、在Rt△ABD中，D、在Rt△ABC中，故選：A．例題2：在Rt△ABC中，∠A=30°，tanA【答案】60°【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切．根據(jù)正切的定義得到∠【詳解】解：在Rt△ABC中，則∠C∵∠A∴∠B故答案為：60°．例題3：閱讀、理解、應(yīng)用我們學(xué)習(xí)過銳角的正弦余弦和正切三種三角函數(shù)，即在圖1所示的直角三角形ABC，∠A是銳角，sinA=∠A的對邊設(shè)有一個角α0°≤α≤360°，我們以它的頂點(diǎn)作為原點(diǎn)，以它的始邊作為x軸的正半軸Ox，建立直角坐標(biāo)系（圖2），在角α的終邊OQ上任取一點(diǎn)P，它的橫坐標(biāo)是x，縱坐標(biāo)是y，終邊OQ可以看作是將射線Ox繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)α°后所得到的，P和原點(diǎn)O0，0的距離為r=x2+y2（r總是正的）然后把角α的三角函數(shù)規(guī)定為：sinα=yr，cosα=xr，tan(1)若α=90°，則sinα(2)已知∠α是鈍角，則下列說法正確的是①0<sinα<1；②sin2α+(3)證明：若角α是銳角，則sin180°-(4)若270°<α<360°，若角α的終邊在直線y=-【答案】(1)1(2)①②(3)見解析(4)-【分析】本題主要考查了三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、兩點(diǎn)間距離公式等知識點(diǎn)，理解三角函數(shù)的定義成為解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)正弦函數(shù)在坐標(biāo)系內(nèi)的定義求解即可；（2）由題意可得x<0，y>0，進(jìn)而得到r=（3）設(shè)銳角∠α終邊上一點(diǎn)Px,y，r=x2+y2，則（4）先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求得α=300°，進(jìn)而得到α2=150°，再設(shè)150°的終邊上一點(diǎn)P-x【詳解】（1）解：當(dāng)α=90°時，點(diǎn)P在y軸的正半軸上，即P0,∴r=∴sinα故答案為：1．（2）解：①∵∠α是鈍角，則∠∴x<0∵r=∴0<sinα=sin2α+sinα+cossinα?tan故答案為：①②．（3）解：設(shè)銳角∠α終邊上一點(diǎn)Px,y，∵180°-α的終邊與∠α的終邊關(guān)于y軸對稱，取對應(yīng)點(diǎn)∴sin180°-α∴sin180°-（4）解：∵角α的終邊在直線y=-3x∴α=300°∴α2∵150°與30°關(guān)于y軸對稱，∴設(shè)150°的終邊上一點(diǎn)P-x,y對應(yīng)∵tan30°=∴tanα重難點(diǎn)2：解直角三角形基本方法涉及知識點(diǎn)：◎兩角對應(yīng)相等直角三角形邊角關(guān)系◎勾股定理：a2+b2=c2◎三角函數(shù)關(guān)系：sinA=a÷c,cosA=b÷c,tanA=a÷b◎直角三角形內(nèi)角和為180°解題技巧：◎根據(jù)已知條已知兩邊求第三邊（勾股定理）◎已知一邊一角求其他邊和角◎合理選擇三角函數(shù)關(guān)系式◎注意單位的統(tǒng)一例題精選例題1：如圖，在△ABC中，AB=AC，tanB=3,【答案】30【分析】通過作等腰三角形的高，將其轉(zhuǎn)化為直角三角形，利用三角函數(shù)和勾股定理求出高，進(jìn)而求出面積．【詳解】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)∵AB=∴BD=∵BC=2∴BD=在Rt△ABD中，∴AD=3∴S△故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形，解題關(guān)鍵是通過作高將等腰三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，利用三角函數(shù)求出高的長度．例題2：在Rt△ABC中，∠C=90°，(1)已知a=6,(2)已知a=24,【答案】(1)c(2)b【分析】（1）（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)、勾股定理求解即可；【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，∴∠∴∠B∴c（2）解：在Rt△ABC中，∴∴∠A=45【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，掌握銳角三角函數(shù)、勾股定理是解題的關(guān)鍵．例題3：如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°,cosC=(1)BC=______，AB=(2)過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，補(bǔ)全圖形，并求【答案】(1)10；6(2)見解析，5【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義和勾股定理，結(jié)合已知的cosC和AC的長度，求出BC和AB（2）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到AD=DE，再利用三角形面積關(guān)系求出AD的長度，最后在直角三角形中求出【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，cosC=AC由勾股定理得AB=（2）解：補(bǔ)全圖形如圖．∵∠CAB∴DA∵DE⊥BC∴AD∵AB∴S△ABC=1∵S∴24=3解得：AD=3在Rt△ABD中，∴sin【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)、勾股定理與角平分線性質(zhì)的綜合應(yīng)用，掌握利用三角函數(shù)和勾股定理求直角三角形邊長，結(jié)合角平分線性質(zhì)和面積法求線段長度，進(jìn)而求三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．重難點(diǎn)3：仰角與俯角問題涉及知識點(diǎn)：◎仰角：視線在水平線上方時與水平線的夾角◎俯角：視線在水平線下方時與水平線的夾角◎高度測量問題◎距離測量問題解題技巧：◎準(zhǔn)確畫出圖形，標(biāo)出已知量和未知量◎利用三角函數(shù)建立方程◎注意仰角和俯角的區(qū)別◎?qū)嶋H問題中注意單位的換算例題精選例題1：如圖，老王在江邊垂釣，河堤AB的坡度為1:2.4，AB長為3.9米，甩桿之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立處的距離AE為1米，此時沿釣竿看向釣竿頂端C處，仰角∠CEF為37°釣竿兩端點(diǎn)的直線距離EC為4米，釣線與江面的夾角∠CDB=52°，則浮漂D與河堤下端B之間的距離約為（）米．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，tan37°≈A．4.6 B．3.4 C．2.3 D．3.6【答案】B【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——坡度、仰角問題，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，延長EA交BD于P，在Rt△APB中，AP:PB=1:2.4，設(shè)AP=k，則PB=2.4k，由勾股定理求得k=1.5，則AP=1.5米，PB=3.6米，延長EF交CD于Q，過C作CH⊥PD于H，交EQ于G，求出CG=CE·sin37°=4×【詳解】解：如圖，延長EA交BD于P，∴∠APB在Rt△APB中，∴設(shè)AP=k，則∴AP∴k2解得k=1.5∴AP=1.5米，PB∴EP=延長EF交CD于Q，過C作CH⊥PD于H，交EQ于∵EF∥∴CG⊥在Rt△CGE中，CE=4∴CG=CE·∵∠EPB∴四邊形EPHG是矩形，∴GH=EP=2.5∴CH=在Rt△CHD中，∴tan∠∴DH=∵BH=∴BD=故選：B．例題2：在綜合實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測量某河段的寬度．他們在河岸一側(cè)的瞭望臺上放飛一架無人機(jī)，如圖，無人機(jī)在河上方距水面高60m的點(diǎn)P處測得瞭望臺正對岸A處的俯角為50°，測得瞭望臺頂端C處的俯角為63.6°．已知瞭望臺BC高12m（圖中點(diǎn)A,B,C,P在同一平面內(nèi)），則此河段的寬AB約為m（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：【答案】74【分析】根據(jù)題干條件，要求AB，求出AE和BE即可，分別在兩個直角三角形中去求即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥AB，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥PE，交PE于點(diǎn)F，標(biāo)字母由題知∠NPC=∠PCF=63.6°，∠MPA=∠PAB∴PF=在Rt△PFC，tan63.6°=∴CF=24∴BE=24在Rt△APE，tan50°=∴AE=50∴AB=故答案為：74．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用—仰角、俯角問題，熟練掌握解直角三角形是解題關(guān)鍵．例題3：如圖，大樓AN上懸掛一條幅AB，小穎在坡面D處測得條幅頂部A的仰角為30°，沿坡面向下走到坡腳E處，然后向大樓方向繼續(xù)行走10米來到C處，測得條幅的底部B的仰角為45°，此時小穎距大樓底端N處20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1:3(即tan∠DEM=1:3),且D、M、E、C、N(1)求D點(diǎn)距水平面EN的高度？(保留根號)(2)求條幅AB的長度？(結(jié)果精確到1米)(參考數(shù)據(jù)：3【答案】(1)10米(2)17米【分析】此題是解直角三角形的應(yīng)用—仰角，俯角問題，主要考查了仰角、坡度的定義，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實(shí)際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵．（1）利用坡度和DE直接求出D點(diǎn)距水平面EN的高度；（2）借助（1）得出的結(jié)論，可求出DH的長，在直角三角形ADH中，可求出AH的長，進(jìn)而可求出AN的長，在直角三角形CNB中可求出BN的長，利用AB=【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)D作DG⊥MN于在Rt△DEG中，坡面DE=20∴tan∴∠DEM∴EG=103∴D點(diǎn)距水平面EN的高度為10（2）如圖，過點(diǎn)D作DH⊥AN于由（1）知，DG=10米，則EG∵DH=EG∴AH∴AN∵∠BCN∴CN∴AB答：條幅AB的長度是17米．重難點(diǎn)4：方位角問題涉及知識點(diǎn)：◎方位角的定義：從正北方向順時針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的角度◎方位角的取值范圍：0°～360°◎方位角與直角三角形的轉(zhuǎn)換◎方位角在實(shí)際問題中的應(yīng)用解題技巧：◎準(zhǔn)確理解方位角的定義◎?qū)⒎轿唤菃栴}轉(zhuǎn)化為直角三角形問題◎注意方位角與內(nèi)角的關(guān)系◎建立坐標(biāo)系解決復(fù)雜方位角問題例題精選例題1：如圖，一艘漁船以32nmile/h的速度向正北方向航行，在A處看到燈塔S在漁船的北偏東30°方向，半小時后航行到B處，看到燈塔S在漁船的北偏東60°方向．若漁船繼續(xù)向正北方向航行到燈塔S的正西方向的C處，此時燈塔S與漁船的距離CS為（

）A．16nmile B．18nmile C．8nmile D．83【答案】D【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠ASB=∠A【詳解】解：由題意得，AB=32×12∵∠A=30°，∴∠ASB∴∠ASB∴BS=在Rt△BCS中，sin∴CS=16×故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，掌握方向角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．例題2：如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔45海里的A處，它沿北偏東30°方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東67°方向上的B處，此時與燈塔P的距離約為海里．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，【答案】75【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，【詳解】解：如圖所示標(biāo)注字母，根據(jù)題意得，∠CAP=∠EPA=60°，∴∠PAB=90°，∴∠B在Rt△PAB中，PB=即：此時與燈塔P的距離約為75海里．故答案為：75．例題3：如圖，A，B，C，D在同一平面內(nèi)，今年國慶，小明和小紅兩位同學(xué)都在某景區(qū)游玩，他們決定在游客中心C匯合，已知景點(diǎn)A位于景點(diǎn)B的正北方向，游客中心C位于景點(diǎn)B的正東方向，景點(diǎn)A位于游客中心C的西北方向6千米，景點(diǎn)D位于點(diǎn)A的北偏東(1)求CD的長度（結(jié)果保留一位小數(shù)）；(2)小明從景點(diǎn)A乘坐索道沿著AC方向前往游客中心C，小紅從景點(diǎn)B乘坐觀光車沿著BC方向前往游客中心C，若小明和小紅同時出發(fā)，索道和觀光車均保持勻速行駛，并且索道的速度是觀光車速度的22倍，上下車和上下索道的時間忽略不計，在運(yùn)動過程中，當(dāng)小明位于小紅的北偏東45°時，小紅與游客中心C【答案】(1)6.7千米(2)2.8千米【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)A作AR⊥CD于點(diǎn)R，則∠ARC=∠ARD=90°，在Rt△ARC中，（2）設(shè)BM=x，則AN=22x，可得CN=6-22x，在Rt△ABC中，可得【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)A作AR⊥CD于點(diǎn)R，則在Rt△ARC中，∴AR由題可得，∠ADR在Rt△ARD∴DR∴CD即CD的長度為6.7千米．（2）解：如圖，由題意，設(shè)BM=x，則∵AC∴CN在Rt△ABC中，∴BC∴CM在Rt△CNM中，∴CM即32解得：x=∴CM=即小紅與游客中心點(diǎn)C的距離是2.8千米．重難點(diǎn)5：坡度問題涉及知識點(diǎn)：◎坡度的定義：坡面的鉛直高度與水平寬度的比◎坡角：坡面與水平面的夾角◎坡度與坡角的關(guān)系：坡度i=tan(坡角)◎坡度在實(shí)際工程中的應(yīng)用解題技巧：◎理解坡度的定義和表示方法◎?qū)⑵露葐栴}轉(zhuǎn)化為直角三角形問題◎利用坡度計算高度或水平距離◎注意坡度與坡角的轉(zhuǎn)換例題精選例題1：如圖，在某公路旁有一大型矩形廣告牌ABCD，小劉想測量該廣告牌的高度，她在廣告牌前的G處測得廣告牌的底部D處的仰角為α，接著小劉再沿著坡度為i=1：2.4的斜坡GH走了13米到達(dá)H處，測得廣告牌頂端A處的仰角為29°，已知廣告牌立柱EF的高度為7米，其中tanα=13A．18.2 B．16.2 C．15.2 D．13.2【答案】B【分析】本題主要考查解直角三角形和勾股定理，解題的關(guān)鍵作出合理的輔助線；先解Rt△GDK得GK得長度，由坡度比設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)勾股定理算出NG，再解Rt△【詳解】解：如圖所示；延長AD交GF于K，過點(diǎn)H作HN⊥GF于N交BA延長線于點(diǎn)由題和圖可知：∠M=∠MNK=∠AKN=90°，四邊形AKNM是矩形；在Rt△GDK中，∵tan∠∴GK=21∵小劉再沿著坡度為i=1：2.4的斜坡GH走了13∴可設(shè)HN=∴x2解得：x=5∴NG=2.4∴NK=∴AM=在Rt△AMH中，∵tan∠∴0.55=MH∴MH=18.15∴MN=∴AK=∴AD=該廣告牌的高度AD為16.2米．故選：B．例題2：如圖，已知點(diǎn)C與某建筑物底端B相距306米（點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一水平面上），某同學(xué)從點(diǎn)C出發(fā)，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡頂D處，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1:2.4，在D處測得該建筑物頂端A的俯視角為20°，則建筑物AB的高度約為（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin?20°≈0.342，cos?20°≈0.940【答案】29.1【分析】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，需要用到坡度坡角、三角函數(shù)、矩形的性質(zhì)相關(guān)知識，解題可先根據(jù)斜坡的坡度求出斜坡的垂直高度和水平距離，再結(jié)合三角函數(shù)求出相關(guān)線段長度，進(jìn)而求出建筑物的高度．【詳解】作DE⊥AB于E點(diǎn)，作AF⊥DE于設(shè)DE=xm由勾股定理，得x2解得：x=±75∵x∴DE=75m，CE∴EB=∵AF∥∴∠1=∵tan?∠1=∴tan∴DF=0.364∴AB=故答案為：29.1m例題3：某大型購物中心為方便顧客地鐵換乘，準(zhǔn)備在底層A至B1層之間安裝扶梯AC，截面圖如下圖所示．底層A與B1層平行，層高AD為9m，點(diǎn)A,B之間的距離為6m，∠ACD=20°（參考數(shù)據(jù)：(1)身高1.9m的人在豎直站立的情況下搭乘扶梯，在B處______碰到頭（填“會”或“不會”）．(2)若采取中段平臺設(shè)計（如折線A-E-F-C所示），已知平臺EF∥CD，且【答案】(1)不會(2)平臺EF的長度約為7m【分析】（1）連接AB，過點(diǎn)B作GB⊥AB，交AC于點(diǎn)G，根據(jù)∠ACD=20°，底層A與B1（2）根據(jù)AD的長求出CD，再過點(diǎn)F作FM⊥CD于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥AD于點(diǎn)N,設(shè)FM=DN=xm，則AN=9-【詳解】（1）解：連接AB，過點(diǎn)B作GB⊥AB，交AC于點(diǎn)∵∠ACD=20°，底層A與∴∠BAG在Rt△BAG中，∴tan20°=∴BG=∴不會碰到頭部；故答案為：不會；（2）解：在Rt△ACD中，∴CD如圖，過點(diǎn)F作FM⊥CD于點(diǎn)過點(diǎn)E作EN⊥AD于點(diǎn)設(shè)FM=DN=∵AE段和FC段的坡度i∴CM∴CM∴EF答：平臺EF的長度約為7m【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，用到的知識點(diǎn)是坡度角，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直角三角形．重難點(diǎn)6：三角函數(shù)與幾何綜合涉及知識點(diǎn)：◎三角形內(nèi)角和定理◎相似三角形的性質(zhì)◎四邊形性質(zhì)解題技巧：◎?qū)缀螁栴}轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題◎利用相似三角形建立比例關(guān)系◎注意幾何圖形的特殊性質(zhì)例題精選例題1：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=7，BC=9，

A．48 B．50 C．52 D．54【答案】A【分析】連接AC，利用勾股定理求出AC，再根據(jù)SABCD【詳解】解：連接AC，如圖所示

∵∠ABC=90°，AB=7∴∵∠ADC=90°∴∴=∴四邊形ABCD的面積為48故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形面積，解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會巧妙添加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．例題2：已知在△ABC中，∠B=90°,AB=8,BC=6，在斜邊AC上有一點(diǎn)G,CG=6，把【答案】14425或【分析】本題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知DG=CG=6，∠F=∠A，∠AGF=∠FGH【詳解】解：∵∠B∴AC=由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：DG=CG=6，∠∴AG=∵tanF∴GN=GH=∴AH=∴HM=AH?∵兩個三角形重疊部分（圖中陰影部分）的面積為S∴兩個三角形重疊部分（圖中陰影部分）的面積為=1故答案為：14425例題3：四邊形ABCD中，∠DAB=120°，點(diǎn)B在CD垂直平分線上，點(diǎn)F在邊AB上，且與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對稱，若AF=3，F(xiàn)B=2【答案】13【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，過點(diǎn)B作BG⊥AC于G，BH⊥AD于H，由軸對稱的性質(zhì)可得∠DAE=∠FAE=60°，AC⊥DF，∠BAH=60°，∠ABH=30°，由直角三角形的性質(zhì)可得AH=12AB=【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作BG⊥AC于G，BH⊥，∵∠DAB=120°，點(diǎn)F與點(diǎn)D關(guān)于直線∴∠DAE=∠FAE=60°，AC⊥DF，∵AF=3，F(xiàn)B∴AB=∴AH=12∴HD=在Rt△BDH中，∵點(diǎn)B在CD垂直平分線上，∴BC=∵∠ABG∴AG=12∴CG=∴AC=∵∠AFE∴AE=∴CE=故答案為：132重難點(diǎn)7：解直角三角形的創(chuàng)新題型涉及知識點(diǎn)：◎跨學(xué)科綜合應(yīng)用◎?qū)嶋H問題建模◎創(chuàng)新思維與