第24章解直角三角形知識點一測量◎合理的選擇測量方法測量就是我們用所學(xué)過的知識解決生活和工作中的實際問題。在選擇方法時，一定要先弄清實際問題的條件，再選擇切實、可行的測量方法，在測量問題中，一般包括測量角度和長度?！蛘莆諟y量的各種原理以及測量的一般步驟在測量的過程中，有些數(shù)據(jù)是可以直接測量得到的，如跳高的高度，跳遠的距離都可以直接用刻度尺直接測量出結(jié)果，但也有些長度無法直接量出。方法一：構(gòu)造可以測量的與原三角形相似的小三角形。利用對應(yīng)線段成比例的性質(zhì)計算出所求線段的長。方法二：利用比例尺在紙上畫一個與實物三角形相似的小三角形，通過直尺測量出所求線段在紙上的長度，再利用相似比計算出實際長度。方法三：條件允許的話，還可以構(gòu)造一個和原三角形全等的三角形來測量后可直接得出。◎測量時應(yīng)注意的問題☆在測量時要注意測量的方法必須是切實可行的，盡量操作簡單?！钜紤]環(huán)境、氣候、人的視力等多方面的因素?！钭⒁鈫挝灰y(tǒng)一。☆在具體測量時，要注意選擇測量方法。測量方法要切實可行，測量結(jié)果要準確，盡量減小誤差。知識點二直角三角形的性質(zhì)☆直角三角形兩個銳角互余.☆直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.☆在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.◎勾股（弦）定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.即.勾股定理在西方文獻中又稱為畢達哥拉斯定理.知識點三銳角三角函數(shù)◎銳角三角函數(shù)的概念銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．（其中：0＜∠A＜90°）定義表達式圖形正弦余弦正切◎銳角三角函數(shù)的關(guān)系在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時，有以下兩種關(guān)系：☆同角三角函數(shù)的關(guān)系：sin2A+cos2A=1．tanA=sinA☆互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：sinA=cosB,sinB=cosA,QUOTEtanA?tanB◎銳角三角函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)前提：0°＜∠A＜90°sinA隨∠A的增大而增大cosA隨∠A的增大而減小tanA隨∠A的增大而增大知識點四三角函數(shù)值的計算◎特殊角的三角函數(shù)值α三角函數(shù)α三角函數(shù)30°45°60°sin123cos321tan313記憶口訣：一二三，三二一，三九二十七◎用計算器進行有關(guān)三角函數(shù)值的計算一般是：先按“”（或“”“”），再按數(shù)字鍵輸入三角函數(shù)值，最后按“”鍵便顯示結(jié)果．知識點五解直角三角形◎解直角三角形的概念一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．◎解直角三角形的依據(jù)設(shè)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有：☆邊之間的關(guān)系：a2☆銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.☆邊角之間的關(guān)系：sinA=αc，cosA=bc，☆，為斜邊上的高.◎解直角三角形的四種基本類型①已知斜邊和一直角邊；②已知兩直角邊；③已知斜邊和一銳角；④已知一直角邊和一銳角．其解法步驟列表如下：已知類型已知條件解法步驟圖示兩邊斜邊c、一直角邊（如a）（1）b=c（2）由sinA=ac（3）∠B=90°?∠ARt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，兩直角邊（a，b）（1）c=a（2）由tanA=ab（3）∠B=90°?∠A一邊一角斜邊c、一銳角（如∠A）（1）∠B=90°?∠A；（2）由sinA=ac（3）由cosA=b一直角邊、一銳角（如a、∠A）（1）∠B=90°?∠A；（2）由tanA=ab（3）由sinA=a知識點六解直角三角形的實際應(yīng)用◎利用解直角三角形解決實際問題的步驟☆將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，即畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題；☆根據(jù)問題中的條件，適當選用銳角三角函數(shù)等解直角三角形；☆得到數(shù)學(xué)問題的答案；☆得到實際問題的答案．◎仰角與俯角在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角．如圖．◎坡角與坡度坡面的垂直高度和水平寬度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示為，坡面與水平面的夾角記作，叫做坡角，則．坡度越大，坡面就越陡．如圖．◎方向角（或方位角）方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達為北（南）偏東（西）多少度．如圖．易錯點一：混淆三角函數(shù)定義與使用條件在解直角三角形時，學(xué)生容易混淆正弦、余弦、正切函數(shù)的定義，或在不滿足直角三角形條件的情況下錯誤使用這些函數(shù)。必須牢記三角函數(shù)僅適用于直角三角形，且需要明確角的對邊、鄰邊和斜邊關(guān)系。例題、已知在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，求sinA、cosA和tanA的值。常見錯誤：錯誤地將∠A的對邊當作AB，鄰邊當作BC，得出sinA=，cosA=，tanA=。正確解法：首先確定直角三角形的邊角關(guān)系：

-斜邊AC===13

-∠A的對邊是BC=12

-∠A的鄰邊是AB=5

因此：

sinA=對邊/斜邊=

cosA=鄰邊/斜邊=

tanA=對邊/鄰邊=易錯點二：特殊角三角函數(shù)值記憶混淆對于30°、45°、60°等特殊角的三角函數(shù)值，學(xué)生容易記憶混淆或忘記推導(dǎo)方法，導(dǎo)致計算錯誤。需要理解這些特殊值的幾何來源，而非簡單死記硬背。例題、計算2sin30°+3cos60°-tan45°的值。常見錯誤：錯誤記憶三角函數(shù)值，如認為sin30°=，cos60°=，tan45°=等。正確解法：準確記憶特殊角三角函數(shù)值：

-sin30°=,cos60°=,tan45°=1

因此：

2×+3×-1=1+1.5-1=1.5易錯點三：實際問題中角度理解錯誤在解決實際問題時，學(xué)生容易混淆仰角、俯角、方位角等概念，或錯誤地將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。例題、從一棟樓的底部測得頂部仰角為30°，向前走20米后測得仰角為45°，求樓高。常見錯誤：錯誤地認為兩個測量點與樓底構(gòu)成直角三角形，直接使用tan函數(shù)求解。正確解法：設(shè)樓高為h，第一次測量點距樓底為x，則：

tan30°=

tan45°=

解得：h==≈27.32米易錯點四：忽略解的合理性檢驗在解直角三角形時，學(xué)生容易忽略三角函數(shù)值的范圍限制，或求出不符合實際情況的解。例題、已知sinα=1.2，求α的度數(shù)。常見錯誤：直接使用計算器求arcsin1.2，得出錯誤結(jié)果。正確解法：正弦函數(shù)的值域為[-1,1]，sinα=1.2超出了這個范圍，因此無解。需要指出題目條件錯誤。易錯點五：銳角三角函數(shù)值與角度對應(yīng)關(guān)系錯誤在解直角三角形時，學(xué)生容易混淆不同銳角對應(yīng)的三角函數(shù)值，特別是當題目中涉及兩個銳角時，錯誤地將一個角的三角函數(shù)值用于另一個角。例題、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求sinA和cosB的值。常見錯誤：錯誤地認為sinA=，cosB=，得出sinA=cosB的結(jié)論，但沒有理解其本質(zhì)原因。正確解法：首先計算斜邊AB===5

-sinA=對邊/斜邊==

-cosB=鄰邊/斜邊==

正確結(jié)論：在直角三角形中，∠A+∠B=90°，因此sinA=cosB，這是正確的，但必須理解這是因為∠A的對邊(BC)恰好是∠B的鄰邊。易錯點六：解應(yīng)用題時忽略實際意義和單位在解決實際應(yīng)用問題時，學(xué)生容易只關(guān)注數(shù)值計算而忽略答案的實際意義，或者忘記單位換算，導(dǎo)致最終答案不符合實際情況。例題、一架梯子靠在墻上，梯子與地面的夾角為75°，梯子長度為5米，求梯子頂端距離地面的高度。（結(jié)果精確到0.1米）常見錯誤：直接計算5×sin75°≈4.83，然后回答高度為4.83米，忽略了題目要求的精確度，也沒有考慮實際情境中梯子的安全性。正確解法：高度h=5×sin75°≈5×0.9659≈4.8295米

根據(jù)題目要求精確到0.1米，得h≈4.8米

同時應(yīng)該指出，在實際應(yīng)用中，梯子與地面的夾角75°偏大，可能不夠穩(wěn)定，建議調(diào)整到更安全的65°-70°范圍內(nèi)?？偨Y(jié)反思通過對以上易錯點的分析，可以看解直角三角形的常見錯誤主要集中在概念理解和實際應(yīng)用上。為避免這些錯誤：(1)牢記三角函數(shù)僅適用于直角三角形；

(2)準確記憶特殊角的三角函數(shù)值，理解其幾何意義；

(3)正確理解實際問題中的角度概念，準確建立數(shù)學(xué)模型；

(4)注意三角函數(shù)的值域范圍，檢驗解的合理性；

(5)明確不同銳角的三角函數(shù)對應(yīng)關(guān)系；

(6)解決實際問題時注意答案的實際意義和單位要求。

重難點1：銳角三角函數(shù)定義與計算涉及知識點：◎正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)的定義◎特殊角的三角函數(shù)值（30°、45°、60°）◎三角函數(shù)值的取值范圍◎同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2α+cos2α=1,tanα=sinα?cosα解題技巧：◎先將方程熟記特殊角的三角函數(shù)值◎利用直角三角形邊角關(guān)系計算三角函數(shù)值◎應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系進行轉(zhuǎn)換例題精選例題1：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，過點B作BD⊥AC，垂足為點D，則下列結(jié)論不正確的是（

A．tanA=BCAC B．sinA=BDAB例題2：在Rt△ABC中，∠A=30°，tanA=BCAC，則例題3：閱讀、理解、應(yīng)用我們學(xué)習(xí)過銳角的正弦余弦和正切三種三角函數(shù)，即在圖1所示的直角三角形ABC，∠A是銳角，sinA=∠A的對邊斜邊，設(shè)有一個角α0°≤α≤360°，我們以它的頂點作為原點，以它的始邊作為x軸的正半軸Ox，建立直角坐標系（圖2），在角α的終邊OQ上任取一點P，它的橫坐標是x，縱坐標是y，終邊OQ可以看作是將射線Ox繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α°后所得到的，P和原點O0，0的距離為r=x2+y2（r總是正的）然后把角α的三角函數(shù)規(guī)定為：sinα=yr，cosα=xr，tanα=y(1)若α=90°，則sinα=(2)已知∠α是鈍角，則下列說法正確的是（填寫序號）．①0<sinα<1；②sin2α+co(3)證明：若角α是銳角，則sin180°?α(4)若270°<α<360°，若角α的終邊在直線y=?3x上，試求重難點2：解直角三角形基本方法涉及知識點：◎兩角對應(yīng)相等直角三角形邊角關(guān)系◎勾股定理：a2+b2=c2◎三角函數(shù)關(guān)系：sinA=a÷c,cosA=b÷c,tanA=a÷b◎直角三角形內(nèi)角和為180°解題技巧：◎根據(jù)已知條已知兩邊求第三邊（勾股定理）◎已知一邊一角求其他邊和角◎合理選擇三角函數(shù)關(guān)系式◎注意單位的統(tǒng)一例題精選例題1：如圖，在△ABC中，AB=AC，tanB=3,BC=210，則△ABC的面積為例題2：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a,b,c(1)已知a=6,b=23(2)已知a=24,c=242例題3：如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°,cosC=45,AC=8,BD平分(1)BC=______，AB=______．(2)過點D作DE⊥BC于點E，補全圖形，并求sin∠ABD重難點3：仰角與俯角問題涉及知識點：◎仰角：視線在水平線上方時與水平線的夾角◎俯角：視線在水平線下方時與水平線的夾角◎高度測量問題◎距離測量問題解題技巧：◎準確畫出圖形，標出已知量和未知量◎利用三角函數(shù)建立方程◎注意仰角和俯角的區(qū)別◎?qū)嶋H問題中注意單位的換算例題精選例題1：如圖，老王在江邊垂釣，河堤AB的坡度為1:2.4，AB長為3.9米，甩桿之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立處的距離AE為1米，此時沿釣竿看向釣竿頂端C處，仰角∠CEF為37°釣竿兩端點的直線距離EC為4米，釣線與江面的夾角∠CDB=52°，則浮漂D與河堤下端B之間的距離約為（）米．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，tan37°≈34，A．4.6 B．3.4 C．2.3 D．3.6例題2：在綜合實踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測量某河段的寬度．他們在河岸一側(cè)的瞭望臺上放飛一架無人機，如圖，無人機在河上方距水面高60m的點P處測得瞭望臺正對岸A處的俯角為50°，測得瞭望臺頂端C處的俯角為63.6°．已知瞭望臺BC高12m（圖中點A,B,C,P在同一平面內(nèi)），則此河段的寬AB約為m（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin63.6°≈910，tan例題3：如圖，大樓AN上懸掛一條幅AB，小穎在坡面D處測得條幅頂部A的仰角為30°，沿坡面向下走到坡腳E處，然后向大樓方向繼續(xù)行走10米來到C處，測得條幅的底部B的仰角為45°，此時小穎距大樓底端N處20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1:3(即tan∠DEM=1:3),且D、M、E、C、N、B、A(1)求D點距水平面EN的高度？(保留根號)(2)求條幅AB的長度？(結(jié)果精確到1米)(參考數(shù)據(jù)：3重難點4：方位角問題涉及知識點：◎方位角的定義：從正北方向順時針旋轉(zhuǎn)到目標方向線的角度◎方位角的取值范圍：0°～360°◎方位角與直角三角形的轉(zhuǎn)換◎方位角在實際問題中的應(yīng)用解題技巧：◎準確理解方位角的定義◎?qū)⒎轿唤菃栴}轉(zhuǎn)化為直角三角形問題◎注意方位角與內(nèi)角的關(guān)系◎建立坐標系解決復(fù)雜方位角問題例題精選例題1：如圖，一艘漁船以32nmile/h的速度向正北方向航行，在A處看到燈塔S在漁船的北偏東30°方向，半小時后航行到B處，看到燈塔S在漁船的北偏東60°方向．若漁船繼續(xù)向正北方向航行到燈塔S的正西方向的C處，此時燈塔S與漁船的距離CS為（

）A．16nmile B．18nmile C．8nmile D．83例題2：如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔45海里的A處，它沿北偏東30°方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東67°方向上的B處，此時與燈塔P的距離約為海里．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，例題3：如圖，A，B，C，D在同一平面內(nèi)，今年國慶，小明和小紅兩位同學(xué)都在某景區(qū)游玩，他們決定在游客中心C匯合，已知景點A位于景點B的正北方向，游客中心C位于景點B的正東方向，景點A位于游客中心C的西北方向6千米，景點D位于點A的北偏東(1)求CD的長度（結(jié)果保留一位小數(shù)）；(2)小明從景點A乘坐索道沿著AC方向前往游客中心C，小紅從景點B乘坐觀光車沿著BC方向前往游客中心C，若小明和小紅同時出發(fā)，索道和觀光車均保持勻速行駛，并且索道的速度是觀光車速度的22倍，上下車和上下索道的時間忽略不計，在運動過程中，當小明位于小紅的北偏東45°時，小紅與游客中心C重難點5：坡度問題涉及知識點：◎坡度的定義：坡面的鉛直高度與水平寬度的比◎坡角：坡面與水平面的夾角◎坡度與坡角的關(guān)系：坡度i=tan(坡角)◎坡度在實際工程中的應(yīng)用解題技巧：◎理解坡度的定義和表示方法◎?qū)⑵露葐栴}轉(zhuǎn)化為直角三角形問題◎利用坡度計算高度或水平距離◎注意坡度與坡角的轉(zhuǎn)換例題精選例題1：如圖，在某公路旁有一大型矩形廣告牌ABCD，小劉想測量該廣告牌的高度，她在廣告牌前的G處測得廣告牌的底部D處的仰角為α，接著小劉再沿著坡度為i=1：2.4的斜坡GH走了13米到達H處，測得廣告牌頂端A處的仰角為29°，已知廣告牌立柱EF的高度為7米，其中tanα=13A．18.2 B．16.2 C．15.2 D．13.2例題2：如圖，已知點C與某建筑物底端B相距306米（點C與點B在同一水平面上），某同學(xué)從點C出發(fā)，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡頂D處，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1:2.4，在D處測得該建筑物頂端A的俯視角為20°，則建筑物AB的高度約為（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin?20°≈0.342，cos?20°≈0.940，例題3：某大型購物中心為方便顧客地鐵換乘，準備在底層A至B1層之間安裝扶梯AC，截面圖如下圖所示．底層A與B1層平行，層高AD為9m，點A,B之間的距離為6m，∠ACD=20°（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos(1)身高1.9m的人在豎直站立的情況下搭乘扶梯，在B處______碰到頭（填“會”或“不會”）．(2)若采取中段平臺設(shè)計（如折線A?E?F?C所示），已知平臺EF∥CD，且AE段和FC段的坡度i=1:2．求平臺EF的長度．重難點6：三角函數(shù)與幾何綜合涉及知識點：◎三角形內(nèi)角和定理◎相似三角形的性質(zhì)◎四邊形性質(zhì)解題技巧：◎?qū)缀螁栴}轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題◎利用相似三角形建立比例關(guān)系◎注意幾何圖形的特殊性質(zhì)例題精選例題1：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=7，BC=9，CD=3，則四邊形ABCD的面積為（

）

A．48 B．50 C．52 D．54例題2：已知在△ABC中，∠B=90°,AB=8,BC=6，在斜邊AC上有一點G,CG=6，把△ABC繞點G按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△DEF，則旋轉(zhuǎn)后兩個三角形重疊部分（圖中陰影部分）的面積為．例