17.4直角三角形全等的判定基礎達標練題型一利用HL證明三角形全等題型二HL與全等三角形的性質(zhì)綜合應用題型三添加條件使直角三角形全等題型四確定全等直角三角形的對數(shù)題型五靈活選用判定方法證明直角三角形全等題型六全等直角三角形的應用題型七尺規(guī)作直角三角形能力提升題題型一與直角三角形全等有關的幾何多結論問題題型二全等直角三角形的綜合問題基礎達標練題型一利用HL證明三角形全等1．如圖，能直接用“”判定的條件是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了全等三角形的判定．利用證明，即可解答．【詳解】解：在和中，，，故選：A．2．如圖，在與中，于點E，于點D，，，則可判定的理由是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查全等三角形判定．根據(jù)題意利用判定即可得到本題答案．【詳解】證明：∵，，∴，在和中，，∴．故選：C．3．如圖所示，在中，，是延長線上一點，點E在上，且．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了等腰三角形的判定，直角三角形全等的判定：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．先判斷為等腰直角三角形得到，然后根據(jù)“”證明．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，在和中，，∴．4．如圖，點在線段上，，，，，求證：．【答案】證明見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定，先證明，再根據(jù)直角三角形的全等判定定理“”證明即可，掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．【詳解】證明：∵，，∴，∵，∴，即，在和中，，∴．5．如圖，在中，是的中點，，，垂足分別是，，且．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了證明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．根據(jù)已知條件直接利用證明即可求解．【詳解】證明∶，，．是的中點，．在與中，6．如圖，已知A、F、B、D在同一直線上，且，，，與相交于點O．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，先根據(jù)得出，再根據(jù)可證．【詳解】證明：，，即，，在和中，，．題型二HL與全等三角形的性質(zhì)綜合應用7．如圖，，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩個銳角互余，先根據(jù)證明得，進而可求出的度數(shù)．【詳解】解：在和中，∴，∴，∴．故選C．8．如圖，在四邊形中，，，且，，則線段的長為（）A． B．4 C．3 D．【答案】C【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，得到是解答本題的關鍵．連接，證明，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴，在和中，，∴，∴，故選：C．9．如圖，在中，，于點，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，外角性質(zhì)，等邊對等角，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．在上取．連接，在和中，，．證明即可求解【詳解】解：如圖，在上?。B接，在和中，，∴，∴，，又∵∴，即，∴，∵，∴，∵，且，∴，∴∴，故選：A．10．已知和按如圖所示的位置放置，已知，，且，．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，先根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)列式計算得，結合，，，證明，則，即可作答．【詳解】解：∵，，∴∵，∴，∵，，∴，∴，即，故選：B．11．如圖，在中，，是的平分線，于E，F(xiàn)在上，，，．則長度是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，證明和，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，結合圖形計算，得到答案，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．【詳解】解：∵是的平分線，，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴故選：B．12．如圖，平分，若，則的面積為（

）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】A【分析】求解，如圖，記的交點為，過作于，證明，，可得，，結合，求解，，，設，利用勾股定理求解，再進一步求解即可．【詳解】解：∵，∴，如圖，記的交點為，過作于，∵，平分，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設，∴，解得：，∴，∴．故選：A【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，勾股定理的應用，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次根式的混合運算，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．13．如圖，在中，分別為上的高線，且，相交于點O．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)5【分析】本題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)、“等角對等邊”等知識，正確找到全等三角形的對應邊和對應角是解題的關鍵．（1）分別為上的高線，得，即可根據(jù)直角三角形全等的判定定理證明；（2）由，得，由“等角對等邊”得．【詳解】（1）證明：∵分別為上的高線，∴，∴，在和中，，∴．（2）解：，∴，∴，∴的長是5．14．如圖，在和中，．(1)求證：．(2)若，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與勾股定理，確定用定理進行證明是關鍵．（1）由題意可知和為直角三角形，根據(jù)定理證明即可；（2）由可知，在中，根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)線段的和差計算即可．【詳解】（1）證明：∵，∴和為直角三角形，在和中，，∴．（2）解：∵，，∴，在中，，∵，，∴，∴．15.如圖，已知B、C、D三點在同一條直線上，，，，、的角平分線交于點F．求：的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，添加合適的輔助線利用三角形內(nèi)角和為是解決本題的關鍵．先證明，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，再由同旁內(nèi)角可得，即可得，由此可解．【詳解】解：連接，如圖，，在與中，，，，，，，，、的角平分線交于點，，，，，，，，，，．16．如圖，在中，，于D，上有一點F，滿足．(1)求證；(2)，點E為的中點，，求的長．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）證明是等腰直角三角形，求得，再利用證明即可推出；（2）先求得，利用直角三角形的性質(zhì)求得，再利用斜邊中線的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：于D，，，是等腰直角三角形，，在和中，，，；（2）解：，，，，，點E為的中點，．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)．掌握上述性質(zhì)是解題的關鍵．17．如圖，已知在四邊形中，平分．求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關鍵是作出輔助線構造全等三角形，同時注意線段間的和差關系的運用．（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到；可得，則，所以；（2）已知，，可得，則得，最后證得即可．【詳解】（1）證明∶如圖，過C作，交的延長線于F點，平分，．，，，．，．．，．（2）證明∶已知，．，，．，，．．，，．題型三添加條件使直角三角形全等18．如圖，已知，，若用“”判定，還需補充一個條件，可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解題關鍵．根據(jù)斜邊和一條直角邊分別對應相等的兩個直角三角形全等求解即可．【詳解】解：由題意可知，，即兩直角三角形斜邊相等，若用“”判定和全等，則還需一組直角邊相等，即或，只有B選項符合.故選：B．19．如圖，，垂足分別是E，F(xiàn)，且，若利用“”證明，則需添加的條件是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了直角三角形全等的判定，熟練掌握知識點是解題的關鍵．分析已知條件為兩直角邊對應相等，根據(jù)“”為直角邊和斜邊對應相等，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，且這兩條線段為直角邊，若利用“”證明，則添加的條件應為斜邊對應相等，∴需添加的條件是，故選：B．20．如圖，，，，要根據(jù)“”證明，則還需要添加一個條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了用“”證明三角形全等，掌握相關知識是解決問題的關鍵．由已知條件可知，兩三角形是直角三角形，且有一條直角邊相等，若用“”證明全等，需再有斜邊對應相等，據(jù)此可解答．【詳解】解：如圖，，，，要根據(jù)“”證明，需再有斜邊對應相等，即．故選：D．21．如圖，有一直角三角形，，，，一條線段，、兩點分別在上和過點且垂直于的射線上運動，問點運動到上什么位置時才能和全等？【答案】當運動到或點與重合時，才能和全等【分析】本題主要考查直角三角形全等的判定方法，可以根據(jù)不同的對應關系進行分類解答．首先根據(jù)直角三角形全等的判定方法，結合三角形的對應邊的不確定性，可知需分和兩種情況，結合全等的性質(zhì)，可以得到點運動的位置．【詳解】解：根據(jù)三角形全等的判定方法可知：當運動到時，∵在與中，，∴，當與點重合時，，∵在與中，，∴，答：當運動到或點與重合時，才能和全等．題型四確定全等直角三角形的對數(shù)22．如圖，中，，于D，于E，和交于點O，的延長線交于F，則圖中全等直角三角形的對數(shù)為（）A．3對 B．4對 C．5對 D．6對【答案】D【分析】本題考查的是全等三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：、、．做題時要由易到難，不重不漏．，，，，，，利用全等三角形的判定可證明，做題時，要結合已知條件與三角形全等的判定方法逐個驗證．【詳解】解：，，，，，；，，，，；，，，；，；，，，，，，綜上，共有6對全等直角三角形，故選：D．23．如圖，線段被垂直平分，連接則圖中全等的三角形一共有幾組（）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【答案】C【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得，根據(jù)“邊邊邊”證明，再根據(jù)“斜邊直角邊”得，同理可得，則答案可證.【詳解】解：∵線段被垂直平分，∴，在和中，，∴；在和中，，∴；同理可得.綜上所述，圖中有3對全等的三角形．故選：C．24．如圖①，，，點在上，且．(1)求證：．(2)如圖②，連接，設交于點，過點作于點，在不添加輔助線的前提下，直接寫出圖②中的4對全等三角形[（1）中已證明過的除外]．【答案】(1)證明見解析；(2)對全等三角形分別為，，，，證明見解析．【分析】本題考查全等三角形的判定定理和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．（1）由題意可證，然后根據(jù)定理可證，進而可得；（2）由圖可知，對全等三角形分別為，，，，然后根據(jù)定理、定理、定理、定理依次證明即可．【詳解】（1）證明：，，即，在和中，，，；（2）圖②中的對全等三角形分別為，，，，證明如下：，，，，在和中，，，，在和中，，，在和中，，，，，在和中，，．綜上所述，圖②中的對全等三角形為，，，．題型五靈活選用判定方法證明直角三角形全等25．在和中，，有如下幾個條件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的條件的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定定理，根據(jù)全等三角形的判定定理逐項分析即可得解，熟練掌握全等三角形的判定定理是解此題的關鍵．【詳解】解：如圖：①在和中，，∴，故本選項正確；②在和中，，∴，故本選項正確；③在和中，，∴，故本選項正確；④∵，，，，∴，在和中，，∴，故本選項正確；∴能判定的條件為：①②③④，答案：D．26．如圖，在中，，添加下列條件后，仍不能判斷的（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查全等三角形的判定，根據(jù)全等三角形的判定定理逐項判斷即可．【詳解】解：在中，，，在和中，，，添加后，根據(jù)可判定，故A選項不合題意；添加后，根據(jù)可判定，故B選項不合題意；添加后，根據(jù)可判定，故C選項不合題意；添加后，不能判定，故D選項符合題意；故選：D．27．如圖，在四邊形中，，垂足分別是、．求證：．以下是排亂的證明過程；①；②；③；④在和中證明步驟正確的順序是（

）A．③②④① B．③①④② C．①②③④ D．①③④②【答案】B【分析】本題考查全等三角形的判定，根據(jù)垂直定義得出，再根據(jù)判定三角形全等即可．【詳解】解：，，在和中，，，故順序為③①④②，故選：B．28．如圖，在中，，垂足為，點在上，，，，分別是，的中點．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)定理是解題的關鍵．（）由垂直的定義得到，再由判定方法即可證明；（）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，，由等腰三角形的性質(zhì)得到，，等量代換得到，即可得到結論．【詳解】（1）證明：∵，∴，在與中，，∴；（2）解：∵，∴，∵、分別是、的中點，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴．29．如圖，，，，垂足分別為點，，且．證明：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關鍵．（1）利用可證明，則，再由線段的和差關系可證明結論；（2）利用證明，則．【詳解】（1）證明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴；（2）證明：∵，，∴，在和中，，∴，∴．題型六全等直角三角形的應用30．南陽光武大橋，建于2012年，南陽農(nóng)運會的應景之作，四塔高聳，斜拉鐵索，南陽首創(chuàng)，主要承擔市區(qū)到南陽機場的交通任務，被稱為“南陽之門”．其側面示意圖如圖所示，其中，現(xiàn)添加以下條件，仍不能判定的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查全等三角形的判定．熟練掌握全等三角形的判定方法，并能結合已知條件選取合適的方法是解題關鍵．根據(jù)已知條件可得，，結合全等三角形的判定方法依次對各個選項判斷．【詳解】解：∵，∴，∵，∴若添加，無法證明，A選項符合題意；若添加，可根據(jù)證明，B選項不符合題意；若添加，可根據(jù)證明，C選項不符合題意；若添加，可根據(jù)證明，D選項不符合題意；故選：A．31．如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面墻的兩側，已知左邊滑梯的高度與右邊滑梯水平方向的寬度相等，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．先證明，推出，通過，得到，從而得出答案．【詳解】解：由題意可知，，，，在和中，，，，，，．故選：C．32．如圖，四邊形紙片中，．過點A作，垂足為點E．若，則該紙片的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角度關系以及直角三角形的面積計算等知識，通過構造輔助線和利用全等三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．過點作，交延長線于，連接，由可證，可得，，由可證得，可得，，可求的長，由面積關系可求解．【詳解】解：過點作，交延長線于，連接，，，，在和中，，，又，，，，，該紙片的面積．33．如圖，有兩個長度相同的滑梯（即），左邊滑梯的高度與右邊滑梯水平方向的長度相等，若，求的度數(shù)．【答案】65°【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．證明，得到，即可得到．【詳解】解：在和中，，，，．34．某中學八年級學生到野外開展數(shù)學綜合實踐活動，在營地看到一個不規(guī)則的建筑物，為測量該建筑物兩端A、B間的距離，同學們給出了以下建議：(1)甲同學的方案如下：先在平地上取一個可直接到達A、B的點O，連接、，并分別延長至點C，延長至點D，使，最后測出的長即為A、B間的距離，請你說明該方案可行的理由；(2)乙同學的方案如下：如圖②，先確定直線，過點B作直線，在直線上找可以直接到達點A的一點D，連接，作，交直線于點C，最后測量出的長即為A、B間的距離，請你說明該方案可行的理由．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的應用，熟練掌握全等三角形判定定理是解決問題的關鍵．（1）通過證明即可得出結論；（2）先判斷出與均為直角三角形，再利用證明全等即可得出結論．【詳解】（1）解：在和中，，,，故甲同學的方案可行；（2）解：，垂直平分，與均為直角三角形，在和中，，，，故乙同學的方案可行．35．臂架泵車（如圖1）是一種用于建筑工程中混凝土輸送和澆筑的特種工程車輛．圖2是其輸送原理平面圖，為輸送臂，可分別繞點旋轉，已知點到建筑物的水平距離為24米，點到地面的距離為16米，米，米，，點到的距離米．(1)的長度為____________米；(2)求出料口到地面的距離．【答案】(1)24(2)米【分析】本題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，利用勾股定理求邊長是解題的關鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得解；（2）證明即可得解．【詳解】（1）解：，（米），（米），故答案為：24．（2）解：，，，，，米，到地面的距離為（米）．題型七尺規(guī)作直角三角形36．如圖①，已知，小聰想作一個，使得，其作圖步驟如圖②所示，下列說法錯誤的是（）A．第一步作圖：在直線l上取一點E，以點E為圓心，長為半徑作弧，與直線l交于點FB．小聰作圖判定的依據(jù)是C．第二步作圖是過點E作直線l的垂線D．小聰作圖判定的依據(jù)是【答案】B【分析】本題考查了基本尺規(guī)作圖，全等三角形的判定．第一步作，第二步作，第三步作，判定的依據(jù)是，據(jù)此求解即可．【詳解】解：A、第一步作圖是作，選項的作圖步驟正確，故選項正確，不符合題意；B、根據(jù)作圖可以發(fā)現(xiàn)，，，證明依據(jù)是，選項錯誤，符合題意；C、第二步作圖是過點E作直線l的垂線，選項正確，不符合題意；D、小聰作圖判定的依據(jù)是，選項正確，不符合題意；故選：B．．題型一與直角三角形全等有關的幾何多結論問題37．如圖，，且，能保證成立的條件有（

）①；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查直角三角形全等的判定條件，掌握直角三角形全等的判定條件是解答本題的關鍵．根據(jù)直角三角形全等的判定條件逐個判斷即可解答．【詳解】解：根據(jù)直角三角形全等的判定條件“”，即斜邊和一條直角邊對應相等，和滿足定理“”，①∵，，∴又∵，∴條件③，不能證明故選：C．38．如圖，在中，，平分，，E，F(xiàn)為垂足，則下列四個結論：①；②；③平分；④垂直平分．其中結論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊對等角、角平分線的性質(zhì)與判定定理、垂直平分線的定義等知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵．①由角平分線的性質(zhì)可得，再結合等邊對等角可得，即①正確；②易證，可得，即②正確；③由角平分線的判定定理可判定③；④由垂直平分線的定義可知垂直平分，即④錯誤．【詳解】解：①∵平分，，E，F(xiàn)為垂足，∴，∴，即①正確；②∵，∴，∴，即②正確；③∵，，∴平分，即③正確；④∵，∴垂直平分，而不是垂直平分，即④錯誤；綜上，說法正確的個數(shù)是3個．故選C．39．如圖，在中，，將繞點順時針旋轉得到，延長分別交，于點，，連接．下列結論：；；；，其中正確的是：（

）A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)，可得，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得，判斷①；根據(jù)旋轉的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，平角的性質(zhì)，可得，判斷②；連接，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，可得，判斷③；連接，根據(jù)旋轉的性質(zhì)，可得，，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，可得是等邊三角形，，根據(jù)三角形三邊的關系，可得，進行判斷④即可．【詳解】解：由旋轉性質(zhì)可知，，旋轉角．∴，∴．∴．∴．∴，故①正確．∵，∴．∵是的延長線，∴，故②正確．如圖，連接，∵，，且由旋轉，∴是等邊三角形，即，∵，∴∵∴（）．∴，故③正確．連接，由旋轉可得：，，，，，，是等邊三角形，，，，，④錯誤．綜上，正確的是①②③．故選：．【點睛】本題考查等腰三角形，等邊三角形，全等三角形的知識，解題的關鍵是掌握旋轉的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊的關系．40．如圖，點D為的外角平分線上一點，且垂直平分交于點G，過點D作于點E，交的延長線于F，連結、，則下列結論：；；；．其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準確識圖判斷出全等的三角形是解題的關鍵．根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，逐一判斷即可得解．【詳解】解：點D為的外角平分線上一點，，，，又垂直平分交于點，，和中，，故正確；，，，，故錯誤；∵垂直平分交于點G，，，，故錯誤；點D為的外角平分線上一點，，，，，，，，，故正確；綜上所述，正確的有個，故選：B．41．已知，如圖，在中，點P在邊上，于M，于N，且，交于點Q，下列結論：①，②，③其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．① D．①②③【答案】A【分析】本題考查了三角形全等的判定、平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；解題關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．利用定理得出，進而判斷①成立；根據(jù)平行線的性質(zhì)再結合三角形內(nèi)角和及、與、的關系，判斷②成立；根據(jù)已知條件，無法通過三角形全等判定方法得出與相關的三角形全等，判斷③不成立．【詳解】∵于M，，∴，，在和中，，∴，∴，結論①正確．∵，∴．∵，∴．，，．在中，，∴，結論②正確．∵，∴．，但無法判定，進而不能確定．結論③錯誤；綜上，正確的結論是①②，故選A．42．如圖，中，、的角平分線、交于點P，下列結論：①平分；②；③若點M、N分別為點P在、上的正投影，則；④．其中正確的是（

）A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③【答案】B【分析】過點P作，，，依據(jù)角平分線的性質(zhì)和判定即可判斷①；利用四邊形內(nèi)角和為從而可判斷②；借助全等三角形的性質(zhì)和判定，進行等量變換即可判斷③；利用和的外角寫出關系式進行整理即可判斷④．【詳解】解：如圖，過點P作，，，垂足分別為M、N、D，①∵平分，平分，∴，，∴，∴點P在的角平分線上，故①正確；②∵，，∴，∴，由圖可知，∴錯誤，故②錯誤；③在與中，，∴，∴，同理可得，∴，∴，故③正確；④∵平分，平分，∴，，∴，故④正確．綜上所述，①③④正確．故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，借助輔助線綜合運用角平分線的性質(zhì)和判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．43．如圖，在和中，，，，直線，交于點，連接．下列結論：①，②，③，④平分，其中正確結論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．先證明，即可證明得到，即可判斷①②；設與的交點為，在中由三角形外角的性質(zhì)可得，在中由三角形外角的性質(zhì)可得，則，即可判斷③；過點作于，于，先證明得到，即可證明得到，假設平分，則可證得到，這與矛盾，即可判斷④．【詳解】解：，，即，在和中，，，，故①正確；，故②正確；設于的交點為，在中由三角形外角的性質(zhì)可得，在中由三角形外角的性質(zhì)可得，，，故③正確；過點作于，于，，又，，，，又，，，假設平分，，，即，又，，，這與矛盾，不平分，故④錯誤，故正確的有：①②③．故選：B．題型二全等直角三角形的綜合問題44．如圖，已知平分，于E，于F，且．求證：(1)；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)9【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關鍵是得到．（1）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證，由，根據(jù)即可判定，即可得到結論；（2）根據(jù)證，即證，在（1）的基礎上可得，然后根據(jù)，即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵平分，于E，于F，∴，，∴在和中，，∴，∴；（2）解：由（1）知，則在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．∴，∴，45．已知點P為平分線上一點，于B，于C，點M，N分別是射線，上的點，且．(1)如圖，當點M在線段上，點N在線段的延長線上時，求證：；(2)在（1）的條件下，直接寫出線段，與之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）由點P為平分線上一點，，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得，又由，利用，即可判定，則可證得結論；（2）證明，得到，由（1）得到，即可證得結論．【詳解】（1）解：∵點P為平分線上一點，，，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：，理由如下：在和中，，∴，∴，∴，由（1）可知：，∴，∴．【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想與轉化思想的應用．46．如圖，的外角的平分線交邊的垂直平分線于P點，于D，于E．(1)求證：；(2)若，求的長【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握相關性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵；（1）由垂直平分線的性質(zhì)，得到，由角平分線的性質(zhì)得到，證明，即可得證；（2）證明，得到，進而得到，進行求解即可．【詳解】（1）證明：連接，

∵點P在的垂直平分線上，∴，∵是的角平分線，，∴，∵在和中，，∴，∴；（2）解：∵在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴47．如圖，在中，是過點A的直線，于D，于點E．(1)若B、C在的同側（如圖所示）且．求證：；(2)若B、C在的兩側（如圖所示），其他條件不變，與仍垂直嗎？若是請給出證明；若不是，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)，理由見解析【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用HL證明是解題的關鍵.（1）通過證明，根據(jù)全等三角形對應角相等，即可求證；（2）用和（1）相同的方法證明，根據(jù)全等三角形對應角相等，即可求證．【詳解】（1）證明：∵，，∴，在和中，∵，∴．∴∵，∴．∴．∴．（2）．理由如下：∵，，∴，在和中，∵，∴．∴，∵，∴，即，∴．48．【問題提出】我們知道；三角形全等的判定方法有：“”，如果兩個三角形有兩邊和一個角對應相等，那么這兩個三角形一定全等嗎？小明受到書本第34頁的探究活動的啟發(fā)，進行了如下探究．【初步思考】不妨設這個對應角為，然后對進行分類，可分為是直角、鈍角、銳角三種情況進行探究．【深入探究】(1)第一種情況：