第第頁浙江省金華十校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．直線：x?2y+3=0與直線：2x+ay?2=0互相平行，則a=（）A．1 B．4 C．?4 D．?12．已知等差數(shù)列an中，a3+A．24 B．36 C．48 D．543．如果函數(shù)y=x在x=2處的導(dǎo)數(shù)為1，那么limA．1 B．12 C．13 4．過點(diǎn)P?1,2且與直線x+2y+3=0A．x?2y+5=0 B．x+2y?3=0 C．2x?y+4=0 D．2x?y=05．圓C：x2+yA．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．相交 D．外切6．已知v為直線l的方向向量，n1,n2分別為平面A．v∥n1C．n1∥n7．法國天文學(xué)家喬凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，發(fā)現(xiàn)了平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，并稱為卡西尼卵形線（CassiniOval）小張同學(xué)受到啟發(fā)，提出類似疑問，若平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)所成向量的數(shù)量積為定值，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么呢？設(shè)定點(diǎn)M和N，動(dòng)點(diǎn)為H，若MH?NH=2A．直線 B．圓 C．橢圓 D．拋物線8．已知直線l:y=kx+mk≠±1與雙曲線x2?y2=1有唯一公共點(diǎn)M，過點(diǎn)M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于Ax,0A．51?4 B．51+4 C．51?2二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分．9．下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的（）A．ex'=ex B．1x10．已知等差數(shù)列an的公差為?3，若a7>0，aA．18 B．19 C．20 D．2111．已知拋物線Γ:x2=2py的準(zhǔn)線方程為y=?1，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)AxA．拋物線的方程為：xB．AFC．當(dāng)直線AB過焦點(diǎn)時(shí)，三角形OAB面積的最小值為1D．若AB=32y12．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，是一個(gè)八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，某玩具廠商制作一個(gè)這種形狀棱長為6cm，重量為360A．將玩具放到一個(gè)正方體包裝盒內(nèi)，包裝盒棱長最小為62B．將玩具放到一個(gè)球形包裝盒內(nèi)，包裝盒的半徑最小為42C．將玩具以正三角形所在面為底面放置，該玩具的高度為310D．將玩具放至水中，其會(huì)飄浮在水面上.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．曲線fx=12x14．任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)m=6，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過8個(gè)步驟變成1（簡稱8步“雹程），數(shù)列an滿足冰雹猜想，其遞推關(guān)系為：a1=m（m為正整數(shù)），an+1=1215．如圖，在四面體ABCD中，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA上的點(diǎn)，且AEEB=AHHD=CFFB=CGGD=116．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為53,F為橢圓四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．在一次招聘會(huì)上，兩家公司開出的工資標(biāo)準(zhǔn)分別為：公司A：第一年月工資3000元，以后每年的月工資比上一年的月工資增加300元：公司B：第一年月工資3720元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增5%（1）若此人選擇在一家公司連續(xù)工作n年，第n年的月工資是分別為多少？（2）若此人選擇在一家公司連續(xù)工作10年，則從哪家公司得到的報(bào)酬較多？（1.051018．如圖，已知圓柱下底面圓的直徑AB=6，點(diǎn)C是下底面圓周上異于A,B的動(dòng)點(diǎn)，圓柱的兩條母線CD=BE=3．（1）求證：平面ACD⊥平面BCDE；（2）求四棱錐A?BCDE體積的最大值．19．已知以點(diǎn)A?1,2為圓心的圓與直線l1:x+2y?13=0相切，過點(diǎn)B2,3斜率為k的直線l2（1）求圓A的方程；（2）當(dāng)MN=219時(shí)，求直線20．如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面是菱形，AB=2,∠BAD=60°，對角線AC,BD交于點(diǎn)O,PO⊥平面ABCD，平面α是過直線AB的一個(gè)平面，與棱PC,PD交于點(diǎn)E,F，且PE=1（1）求證：EF//CD；（2）若平面α交PO于點(diǎn)T，求PTPO（3）若二面角E?AB?C的大小為45°，求PO的長．21．已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且（1）求數(shù)列an（2）設(shè)bn=an+42n（3）若數(shù)列cn滿足c122．已知F為拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為E的準(zhǔn)線l上一點(diǎn)，直線MF的斜率為?1,△OFM的面積為116．已知P3,1,Q2,1，設(shè)過點(diǎn)P的動(dòng)直線與拋物線E交于A、B（1）求拋物線E的方程；（2）當(dāng)直線AB與CD的斜率均存在時(shí)，討論直線CD是否恒過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)閮芍本€平行，則有1×a??2解得a=?4，經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)兩直線不重合.故答案為：C.【分析】根據(jù)兩直線平行斜率相等，縱截距不相等，從而得到關(guān)于a的方程，進(jìn)而解方程結(jié)合驗(yàn)證法得出實(shí)數(shù)a的值.2．【答案】D【解析】【解答】解：由題意可知，S12故答案為：D.【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，從而得出S123．【答案】A【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=x在x=2根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知limΔ故答案為：A.【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和函數(shù)求極限的關(guān)系，從而得出limΔ4．【答案】C【解析】【解答】解：由題意，設(shè)直線方程為：2x?y+m=0，因?yàn)樵撝本€過點(diǎn)P?1,2所以2×?1?2+m=0，解得所以，所求直線方程為：2x?y+4=0.故答案為：C.【分析】由題意，設(shè)直線方程為：2x?y+m=0，將點(diǎn)P?1,2代入得出m的值，從而得出過點(diǎn)P?1,2且與直線5．【答案】D【解析】【解答】解：由題意可得，圓C：x?12+y?22=r2圓D:x2+y2則兩圓圓心距為5<故兩圓可能內(nèi)含，內(nèi)切，相交，不可能外切，外離.故答案為：D.【分析】由題意可得兩圓半徑和圓心坐標(biāo)，再由圓心距與兩圓半徑間關(guān)系，從而判斷出兩圓的位置關(guān)系.6．【答案】B【解析】【解答】解：由題意可得，

v∥n1故答案為：B.【分析】由直線方向向量與平面法向量的位置關(guān)系，從而判斷出直線與平面的位置關(guān)系、兩平面的位置關(guān)系，則判斷出各選項(xiàng)，進(jìn)而找出正確的選項(xiàng).7．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)MN=2c，以線段MN的中點(diǎn)O為平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，MN為x建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

則M?c,0,N設(shè)Hx,y，則MH即x2+y2=2+故答案為：B.【分析】利用已知條件，建立平面直角坐標(biāo)系，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而求得點(diǎn)H的軌跡方程，再由圓的定義，從而得到動(dòng)點(diǎn)H的軌跡.8．【答案】A【解析】【解答】解：由已知條件，聯(lián)立y=kx+mx2?由題意得出Δ=2km2解得xM所以，過點(diǎn)M且與l垂直的直線方程為y=?1在該直線方程中分別令y=0,x=0，依次解得A?2mk所以xP即點(diǎn)P在雙曲線x24?若P在右支上面，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C22,0為x24所以PC+等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，其中點(diǎn)E為線段QD與雙曲線右支的焦點(diǎn)，若P在左支上面，如圖所示：所以PC+當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合等號(hào)成立，其中點(diǎn)F為線段QD與雙曲線左支的焦點(diǎn)，綜上所述，點(diǎn)Px,y到C22故答案為：A.【分析】利用已知條件，聯(lián)立兩直線方程得出交點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用兩直線垂直斜率之積等于-1，從而得出過點(diǎn)M且與l垂直的直線方程，進(jìn)而得出直線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，則得出點(diǎn)P在雙曲線x24?y24=19．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：對于A，ex對于B，1x對于C，ln2x對于D，xe故答案為：ACD.【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式、基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式，從而判斷各選項(xiàng)，進(jìn)而找出導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的選項(xiàng).10．【答案】B,C【解析】【解答】解：由題意，得a7=a故答案為：BC.【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立不等式組，從而解不等式組得出首項(xiàng)a1的取值范圍，進(jìn)而得出首項(xiàng)a11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對于A，拋物線Γ:x2=2py的準(zhǔn)線方程為y=?1，所以?p2=?1對于B，因?yàn)辄c(diǎn)Ax1,對于C，由題意可知，拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,1，顯然過焦點(diǎn)的直線AB斜率存在，如圖所示：不妨取直線AB的方程為y=kx+1，且x1聯(lián)立拋物線方程x2=4y，得所以x1所以y1+y點(diǎn)O0,0到直線y=kx+1的距離為d=所以三角形OAB面積為S=12AB即三角形OAB面積的最小值為2，故C錯(cuò)誤；對于D，顯然直線AB斜率存在，不妨取直線AB的方程為y=kx+t，且x1聯(lián)立拋物線方程x2=4y，得所以x1所以y1AB=因?yàn)锳B=所以32解得k2+t=即t=2k2+3因?yàn)閏os=y當(dāng)且僅當(dāng)y1=y此時(shí)t=2k2+3=3>0或t=?即cos∠AFBmin=?12故答案為：ABD.【分析】由拋物線的準(zhǔn)線，從而列方程求出參數(shù)p，進(jìn)而得出拋物線方程，即可判斷選項(xiàng)A；由拋物線定義，即可判斷選項(xiàng)B；設(shè)出直線AB方程，聯(lián)立拋物線方程，由韋達(dá)定理求弦長，再結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式得出三角形OAB的面積表達(dá)式，進(jìn)一步由基本不等式求最值，即可判斷選項(xiàng)C；設(shè)出直線AB方程，聯(lián)立拋物線方程，由韋達(dá)定理求弦長，再結(jié)合已知條件得出t=2k2+3或t=?2312．【答案】A,D【解析】【解答】解：將該幾何體放置在如圖所示的正方體中，對于A，將玩具放到一個(gè)正方體包裝盒內(nèi)，包裝盒棱長最小為圖中正方體的棱長，由題意，該幾何的棱長為AB=6cm，所以正方體的棱長為對于B，將玩具放到一個(gè)球形包裝盒內(nèi)，包裝盒的半徑最小為該幾何體外接球的半徑，根據(jù)正方體和多面體的對稱性知，該幾何體外接球直徑為正方體面對角線，

即2R=12，解得R=6，所以包裝盒的半徑最小為6cm對于C，將玩具以正三角形所在面為底面放置，該玩具的高度為兩平行平面EMQ與平面BCG的距離，證明求解過程如下：如圖所示，不妨記正方體為A2B2C2故四邊形A1D1又因?yàn)镋，Q分別為A1A2，A2B2的中點(diǎn)，所以EQ//BG，又EQ?平面BCG，BG?平面BCG，所以EQ//平面BCG，同理EM//平面BCG，又因?yàn)镋M∩EQ=E，EM，EQ?平面EMQ，

所以平面EMQ//平面BCG，設(shè)對角線A2C1分別交平面EMQ和平面BCG于點(diǎn)M因?yàn)镃1C2⊥平面A2B2連接A2C2,A故A2C2⊥MQ，又C1C2所以MQ⊥平面A1A2C2C1，

又因?yàn)锳2C1?平面A1A2C2C1，所以又因?yàn)槠矫鍱MQ//平面BCG，所以A2C1故M1N1即為平面EMQ則M1N1=A2C由題意得EA2=MA2=QA根據(jù)VE?A2解得A2M1所以M1則平面EMQ與平面BCG的距離為46，即該玩具的高度為4對于D，該幾何體的體積為V=623?8×13×故答案為：AD.【分析】利用已知條件結(jié)合補(bǔ)體法，從而求得正方體棱長，即可判斷選項(xiàng)A；利用對稱性得出球的直徑，即可判斷x下B；利用已知條件求解出兩平行平面的距離，即可判斷選項(xiàng)C；先求出幾何體的體積，再通過與水密度的大小比較，即可判斷D，從而找出說法正確的選項(xiàng).13．【答案】4【解析】【解答】解：因?yàn)閒x所以f'則f'故答案為：4.【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線的斜率.14．【答案】1和8【解析】【解答】解：因?yàn)閍n+1=1所以a3=2aa2=2aa1=2a故答案為：1和8.【分析】根據(jù)an+1=115．【答案】1【解析】【解答】解：因?yàn)锳EEB=AHHD=CFFB=CG所以AM=1故答案為：16【分析】由題意結(jié)合對應(yīng)邊成比例兩直線平行和比例關(guān)系以及平行四邊形的定義，從而得出四邊形EFGH為平行四邊形，再結(jié)合空間向量基本定理，從而以AB,AC,16．【答案】2,?2,【解析】【解答】解：過點(diǎn)F且與直線y=kx垂直的直線l為y=?1由兩直線的交點(diǎn)Mc1+k因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓C上，則1?k221+k22c2a2+4k21+k2故答案為：2,?2,1【分析】利用已知條件，求出點(diǎn)F關(guān)于直線y=kx的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再代入到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程中，則由橢圓的離心率公式建立直線斜率的方程，從而解方程得出直線斜率的取值，即得出斜率k的取值構(gòu)成的集合.17．【答案】（1）解：選擇在公司A連續(xù)工作n年，第一年月工資3000元，

以后每年的月工資比上一年的月工資增加300元，則他第n年的月工資是：3000+(n?1)×300=300n+2700（元）n∈選擇在公司B連續(xù)工作n年，第一年月工資3720元，

以后每年的月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增5%則他第n年的月工資3720×(1+0.05)n?1（元）（2）解：若此人選擇在一家公司連續(xù)工作10年，

則分別為：公司A：

12×=12×3000×10+12×300×1+9×9212×3720×1+1.051因?yàn)?35680>522000，故從公司B得到的報(bào)酬較多.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而分別求出在公司A、B第n年的月工資.（2）分別利用等差數(shù)列求和公式、等比數(shù)列求和公式，從而分別求出在公司A、公司B得到的報(bào)酬，再結(jié)合比較法判斷出從公司B得到的報(bào)酬較多.（1）選擇在公司A連續(xù)工作n年，第一年月工資3000元，以后每年的月工資比上一年的月工資增加300元，則他第n年的月工資是：3000+(n?1)×300=300n+2700（元）n∈N*選擇在公司B連續(xù)工作n年，第一年月工資3720元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增5%則他第n年的月工資3720×(1+0.05)n?1（元）（2）若此人選擇在一家公司連續(xù)工作10年，則在公司A、公司B得到的報(bào)酬分別為：公司A：12×=12×3000×10+12×300×1+9公司B：12×3720×1+因?yàn)?35680>522000，故從公司B得到的報(bào)酬較多.18．【答案】（1）證明：如圖所示，

∵DC為圓柱的母線，∴DC⊥平面ABC，又因?yàn)锳C?平面ABC,∴DC⊥AC①，∵AB是下底面圓的直徑，∴AC⊥BC②，∵①②和BC∩DC=C,DC?平面BCDE，BC?平面BCDE，∴AC⊥平面BCDE，

又因?yàn)锳C?平面ACD,∴平面ACD⊥平面BCDE．（2）解：在Rt△ABC中，

設(shè)AC=x,BC=y，則x2+y2=36，V=13y?CD?x=【解析】【分析】（1）根據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征得出線面垂直，再由線面垂直的定義證出線線垂直，再根據(jù)圓的直徑對應(yīng)的圓周角為直角的性質(zhì)證出線線垂直，則由線線垂直證出線面垂直，從而根據(jù)線面垂直證出面面垂直，即證出平面ACD⊥平面BCDE.（2）利用已知條件和勾股定理以及四棱錐的體積公式，再利用基本不等式求最值的方法，從而得出四棱錐A?BCDE體積的最大值．（1）∵DC為圓柱的母線，∴DC⊥平面ABC，又AC?平面ABC,∴DC⊥AC．①∵AB是下底面圓的直徑，∴AC⊥BC．②∵①②及BC∩DC=C,DC?平面BCDE，BC?平面BCDE，∴AC⊥平面BCDE，又AC?平面ACD,∴平面ACD⊥平面BCDE．（2）在Rt△ABC中，設(shè)AC=x,BC=y，則xV=1當(dāng)且僅當(dāng)x=y=32故VA?BCDE19．【答案】（1）解：設(shè)圓A的半徑為r，∵圓A與直線l1∴r=?1+4?13所以，圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2（2）解：設(shè)直線l2的方程為y=kx?2+3設(shè)點(diǎn)Q是MN的中點(diǎn)，連接AQ,AM，

則AQ⊥MN，∵則AQ=由AQ=?k?2+3?2kk解得k=0或k=3所以，直線l2的方程為y=3或3x?4y+6=0【解析】【分析】（1）利用直線與圓相切，得出圓心到直線的距離等于半徑，從而得出所求圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)點(diǎn)Q是MN的中點(diǎn)，連接AQ,AM，則AQ⊥MN，再利用勾股定理求得AQ的值，再根據(jù)圓心到直線的距離，建立關(guān)于直線斜率的方程，從而解方程得出直線的斜率，進(jìn)而得出直線l2（1）設(shè)圓A的半徑為r，∵圓A與直線l1∴r=?1+4?13所以圓A的方程為(x+1)2（2）設(shè)直線l2的方程為y=kx?2+3設(shè)點(diǎn)Q是MN的中點(diǎn)，連接AQ,AM，則AQ⊥MN，∵則AQ=又由AQ=?k?2+3?2kk解得k=0或k=所以直線l2的方程為y=3或3x?4y+6=020．【答案】（1）證明：因?yàn)樗睦忮FP?ABCD的底面是菱形，AB//CD，

又因?yàn)锳B?平面α，CD?平面α，

則CD//平面α，因?yàn)槠矫姒痢善矫鍼CD=EF，CD?平面PCD，所以EF//CD.（2）解：因?yàn)镋,A∈平面α，E,A∈平面PAC，得平面α∩平面PAC=AE，又因?yàn)門∈PO，PO?平面PAC，則T∈平面PAC，

又因?yàn)門∈平面α，則T∈AE，即A,T,E三點(diǎn)共線，

由PO⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，則PO⊥AC，如圖所示，在△PAC中，過點(diǎn)E作PO的垂線，垂足為G，則GE//AC，設(shè)PO=t，

由PE=14PC，得PG=14則GT=15GO=15?3（3）解：過點(diǎn)O作ON⊥AB于點(diǎn)N，連接TN，由PO⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，

則TO⊥AB，又因?yàn)門O∩ON=O,TO,ON?平面TON，則AB⊥平面TON，而TN?平面TON，于是TN⊥AB，則∠TNO為二面角E?AB?C的平面角，即∠TNO=45°，在菱形ABCD中，由AB=2,∠BAD=60°，得NO=32，則由（2）得TO=35PO=【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形的結(jié)構(gòu)特征得出線線平行，利用線線平行證出線面平行，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證出線線平行，從而證出EF//CD.（2）利用平面的基本事實(shí)證出A,T,E三點(diǎn)共線，作EG⊥PO于G，再利用兩直線平行對應(yīng)邊成比例，從而推理計(jì)算得出PTPO（3）過點(diǎn)O作ON⊥AB于點(diǎn)N，連接TN，利用線面垂直的定義證出線線垂直，從而作出二面角E?AB?C的平面角，再結(jié)合菱形的結(jié)構(gòu)特征和（2）中PTPO的值，從而可得PO（1）四棱錐P?ABCD的底面是菱形，AB//CD，又AB?平面α，CD?平面α，則CD//平面α，而平面α∩平面PCD=EF，CD?平面PCD，所以EF//CD.（2）由E,A∈平面α，E,A∈平面PAC，得平面α∩平面PAC=AE，而T∈PO，PO?平面PAC，于是T∈平面PAC，又T∈平面α，則T∈AE，即A,T,E三點(diǎn)共線，由PO⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，則PO⊥AC，如圖，在△PAC中，過點(diǎn)E作PO的垂線，垂足為G，于是GE//AC，設(shè)PO=t，由PE=14PC，得PG=14從而GT=15GO=15（3）過點(diǎn)O作ON⊥AB于點(diǎn)N，連接TN，由PO⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，則TO⊥AB，而TO∩ON=O,TO,ON?平面TON，則AB⊥平面TON，而TN?平面TON，