概率、統(tǒng)計(jì)

1.理解等概率模型及其概率計(jì)算公式，會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件發(fā)生的概率.

2.會(huì)用互斥事件的概率加法公式求互斥事件的概率，區(qū)分對(duì)立事件與互斥事件.

3.能夠利用獨(dú)立事件的概念去解決相互獨(dú)立事件概率問題.

數(shù)學(xué)目標(biāo)

4.掌握總體與樣本的概念.會(huì)用樣本估計(jì)總體，能對(duì)樣本觀測(cè)值進(jìn)行整理和分析；

5.掌握抽樣技術(shù)中的隨機(jī)抽樣，系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的方法，并能夠很好的進(jìn)行區(qū)分和利用.

6.能夠很好的把基本統(tǒng)計(jì)方法運(yùn)用到日常生活中.

1.能夠很好的利用獨(dú)立事件的概念去解決題目.

2.會(huì)用互斥事件的概率加法公式求互斥事件的概率,區(qū)分對(duì)立事件與互斥事件.

重點(diǎn)

3.熟練各種抽樣方法.

4.總體均值，總體方差，總體標(biāo)準(zhǔn)差，總體均值的點(diǎn)估計(jì)值，總體標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)值.

1.能夠很好的把概率、基本統(tǒng)計(jì)方法運(yùn)用到口常生活中.

雁點(diǎn)2.抽樣方法的熟練掌握并精準(zhǔn)利用.

3.991計(jì)算器的熟練操作。

(-)概率

工知識(shí)梳理

一、概率初步：

1.國機(jī)事件的概率:一般地,在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率‘總是接近于某個(gè)常數(shù),在它附

n

近擺動(dòng),這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率,記作P(A).

2.等可能事件的概率:如果一次試驗(yàn)由n個(gè)基本事件組成，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等,那么每一個(gè)

基本事件的概率都是L,如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有加個(gè),那么事件4的概率為P(A)=~.

nn

3.如果事件/、B互斥，那么事件4+B發(fā)生(即/I、B中有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于事件4B分別發(fā)生的概率

和，即P(A+B)=P(A)+P(B),

對(duì)立事件的概率和等于1:P(A)+P(A)=P(A+A)=I.

4.相互獨(dú)立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響,這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立

事件.

兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即PC4-B)=P(/I)-P(B).

考點(diǎn)一、基本事件數(shù)和古典概型的概率

/例題精講

【例1】（1）在浙江省新高考選考科目報(bào)名中，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)均已選擇物理、化學(xué)作為選考科目，

現(xiàn)要從生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這五門課程中選擇一門作為選考科目，則不同的選報(bào)方案有

種（用數(shù)字作答）；若每位同學(xué)選報(bào)這五門學(xué)科中的任意?門是等可能的，則這四位同學(xué)恰好同時(shí)選報(bào)了其

中的兩門課程的概率為.

（2）對(duì)數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)史上的重大事件，它可以改進(jìn)數(shù)字的計(jì)算方法、提高計(jì)算速度和準(zhǔn)確度.己知

M={1,3},N={1,3,5,7,9},若從集合M，N中各任取一個(gè)數(shù)刀，）'，則bg3（肛）為整數(shù)的概率為（）

【例2】某?！傲柙票被@球隊(duì)的成員來自學(xué)校高一、高二共10個(gè)班的12位同學(xué)，其中高一（3）班、高

二（3）各出2人，其余班級(jí)各出1人，這12人中要選6人為主力隊(duì)員，則這6人來自不同的班級(jí)的概率

為

【例3】給出四個(gè)函數(shù)：①y=cosx；②），=/；③y=2Z④>=唾廣，從其中任選2個(gè)，則事件4：

“所選2個(gè)函數(shù)圖象有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)”的概率是.

【例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為正十邊形A&4…Ao的中心，A在X軸正半軸上，任取

不同的兩點(diǎn)4、Aj（其中，IWiJWlO,且iwN,/wN）,點(diǎn)尸滿足202+04+。4=0,則點(diǎn)?落

在第二象限的概率是（）

8

A.一B.—

4545

C.12

D.-

59

專鞏固訓(xùn)練

1、有5張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5從這5張卡片中隨機(jī)抽取2張，那么取出的2張卡片上的數(shù)

字之積為偶數(shù)的概率為l

2、集合A={2,3},B={1,2,3},從4,8中各任意取一個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之和等于4的概率是.

3、河南新高考方案即將實(shí)施，兩名同學(xué)要從物理、化學(xué)、生物、政治、地理、歷史六門功課中各選取三門

功課作為自己的選考科目，假設(shè)每門功課被選到的概率相等，則這兩名同學(xué)所選科目恰有一門相同的概率

為（）

4、某胸科醫(yī)院感染科有3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，現(xiàn)需要這5名醫(yī)生中任意抽取2名醫(yī)生成立一個(gè)臨時(shí)新

型冠狀病毒診治小組抽取的2名醫(yī)生恰好都是男醫(yī)生的概率.

5、某微信群中四人同時(shí)搶3個(gè)紅包（金額不同），假設(shè)每人搶到的幾率相同且每人最多搶?個(gè)，則其中甲、

乙都搶到紅包的概率為.

考點(diǎn)二、互斥事件、對(duì)立事件的概率

【例5】從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，是互斥事件的序號(hào)為

（1）至少有1個(gè)白球；都是白球；（2）至少有1個(gè)白球：至少有1個(gè)紅球；

（3）恰有1個(gè)白球；恰有2個(gè)白球；（4）至少有1個(gè)白球；都是紅球

【例6】根據(jù)某省的高考改革方案，考生應(yīng)在3門理科學(xué)科（物理、化學(xué)、生物）和3門文科學(xué)科（歷史、

政治、地理）的6門學(xué)科中選擇3門學(xué)科參加考試.根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，1位同學(xué)選擇生物的概率為（）.5,選

擇物理但不選擇生物的概率為02考生選擇各門學(xué)科是相互獨(dú)立的.

（1）求1位考生至少選擇生物、物理兩門學(xué)科中的1門的概率；

（2）某校高二段400名學(xué)生中，選擇生物但不選擇物理的人數(shù)為140,求1位考生同時(shí)選擇生物、物理兩

門學(xué)科的概率.

【例7】甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是!，乙獲勝的概率是:，則甲獲勝的概率是_____

23

⑥鞏固訓(xùn)練

1、隨機(jī)抽取10個(gè)同學(xué)中，至少有2個(gè)同學(xué)在同一月出生的概率是（默認(rèn)每月大數(shù)相同，結(jié)果

精iOJO.OOl）.

11Q

2、設(shè)事件A,B,已知f（A）=-,P（B）=-,P（^|JB）=—,貝IJA,8之間的關(guān)系一定為（）

A.兩個(gè)任意事件B.互斥事件C.非互斥事件D.對(duì)立事件

3、某戰(zhàn)士射擊一次，擊中環(huán)數(shù)大于7的概率是0.6,擊中環(huán)數(shù)是6或7或8的概率相等，且和為0.3,則該

戰(zhàn)士射擊一次擊中環(huán)數(shù)大于5的概率為.

考點(diǎn)三、相互獨(dú)立事件的概率

【例8】（1）甲、乙兩人獨(dú)立解答一道趣味題，已知他們答對(duì)的概率分別為2,則恰有一人答對(duì)的概

32

率為（）

（2）若生產(chǎn)某種零件需要經(jīng)過兩道工序，在第一、二道工序中生產(chǎn)出廢品的概率分別為0.01、0.02,每道

工序生產(chǎn)廢品相互獨(dú)立，則經(jīng)過兩道工序后得到的零件不是廢品的概率是（結(jié)果用小數(shù)表示）

【例9】某學(xué)校選拔新生補(bǔ)進(jìn)“籃球”、“電子競(jìng)技”、“國學(xué)”三個(gè)社團(tuán)，根據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，新生通過考核

詵拔講入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立.2019年某新生入學(xué)，假設(shè)他通過考核詵拔講入該校“籃球”、“電

子競(jìng)技”、“國學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為次，〃，已知這三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入得慨率為,，至少進(jìn)

324

3

入一個(gè)社團(tuán)的概率為一，則機(jī)+"=_______.

4

【例10】甲、乙、丙三名學(xué)生一起參加某高校組織的自主招生考試，考試分筆試和面試兩部分，筆試和面

試均合格者將成為該高校的預(yù)錄取生（可在高考中加分錄取），兩次考試過程相互獨(dú)立，根據(jù)甲、乙、丙三

名學(xué)生的平均成績(jī)分析，甲、乙、丙3名學(xué)生能通過筆試的概率分別是0.6,0.5,0.4,能通過面試的概率

分別是0.6,0.6,0.75.

（1）求甲、乙、丙三名學(xué)生中恰有一人通過筆試的概率；

（2）求經(jīng)過兩次考試后，至少有一人被該高校預(yù)錄取的概率.

“鞏固訓(xùn)練

1、已知甲、乙、丙三人各自獨(dú)立解決某一問題的概率分別是050.4,0.4,則甲、乙、丙至少有一人解決

該問題的概率是.

2、某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過2個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是

則這名學(xué)生在上學(xué)路上到第二個(gè)路口時(shí)第?次遇到紅燈的概率是_____.

3

23

3、某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為；和一.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品4乙

35

組研發(fā)新產(chǎn)品B,設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立，則至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率為.

4、高三某位同學(xué)參加物理、化學(xué)、政治科目的等級(jí)考，已知這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)川

的概率分別為？、-，這三門科目考試成績(jī)的結(jié)果互不影響，則這位考生至少得2個(gè)4的概率

8412

是.

（二）統(tǒng)計(jì)

衛(wèi)知識(shí)梳理

1.常用的抽樣方法有：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣三種.

類另IJ共同點(diǎn)不同點(diǎn)聯(lián)系適用范圍

簡(jiǎn)單隨是后兩種方法的基

從總體中逐個(gè)抽取總體個(gè)數(shù)較少

機(jī)抽樣礎(chǔ)

抽樣過程中將總體均分成幾部

系統(tǒng)在超始部分抽樣時(shí)

每個(gè)個(gè)體被分，按事先確定的規(guī)總體個(gè)數(shù)較多

抽樣用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

抽取的概率則在各部分抽取

相等各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)總體由差異明

分層將總體分成幾層，分

單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)顯的幾部分組

抽樣層進(jìn)行抽取

抽樣成

2、總體和個(gè)體：在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，通常把被研究的對(duì)象的全體叫做總體.總體中的每一個(gè)成員稱為個(gè)體.

3、總體平均數(shù)：總體中所有個(gè)體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù).如果總體有N個(gè)個(gè)體，它們的值分別為

Xp式八…、xv,那么總體平均數(shù)//=—（X+x2+...+Xv）.

N

4、總體中位數(shù)：設(shè)總體有N個(gè)個(gè)體，將它們的值按由小到大的順序排列，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，位于該序列第

X?個(gè)的數(shù)，叫做總體中位數(shù)；當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，位于該序列的第三和己上個(gè)的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)叫做總

222

體中位數(shù).

5、眾數(shù)：在所有觀察值中出現(xiàn)最多（即頻率最大）的數(shù)值.

6、總體方差；設(shè)總體有N個(gè)個(gè)體，值分別為陽、x?、...、X、，總體平均數(shù)〃，各個(gè)體與〃的差的平方為

但一〃）2（馬一4）2、…、-6,稱它ffJ的平均數(shù)為總體方差，記為/,即

1N1N

=廣（七-〃）2=/七2-八

IV；=1‘V;=!

7、總體標(biāo)準(zhǔn)差：總體方差的算術(shù)平方根。稱為總體標(biāo)準(zhǔn)差.

注：（1）總體中位數(shù)表示總體的一般水平，是個(gè)體的中間值；總體平均數(shù)表示總體中各個(gè)體的平均大

小，對(duì)于同一個(gè)總體，兩者一般不相等.

（2）總體方差反映各個(gè)體關(guān)于平均數(shù)〃的離散程度，方差越大，總體中各個(gè)體之間的差別越大；

方差越小，總體中各個(gè)體之間的差別越小.

8、樣本和樣本容量：從總體中按一定方式抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本，抽取的樣本中所包含的

個(gè)體的個(gè)數(shù)叫做樣本容量.

9、樣本平均數(shù)：一個(gè)容量為〃的樣本中，所有個(gè)體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù).樣本平均數(shù)常用來估計(jì)總體

平均數(shù).設(shè)樣本中有〃個(gè)個(gè)體，每個(gè)個(gè)體所取的值分別為為、/、…、Z，則樣本平均數(shù)

x=-（x+x+...+x?）,作為總體均值的點(diǎn)估計(jì)值

n12

10、樣本方差：設(shè)一個(gè)容量為〃的樣本X、“、…、X”中，樣本平均數(shù)為"那么可以用S2=」一之（x4）2

〃-y

作為總體方差的估計(jì)值，稱S?為樣本方差.

11、樣本標(biāo)準(zhǔn)差：一個(gè)樣本的樣本方差的S?的算術(shù)平方根，稱為這個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，記為S,

s二,」一Za-x）2,作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)值.

12、頻率分布：用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問題的基本思想方法，樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻數(shù)

和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率.所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做樣本的頻率分布.

,例題精講

【例11】已知一組數(shù)據(jù)為20、30、40、50、60、60、70,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的大小關(guān)系

為（）

A.中位數(shù)＞平均數(shù),眾數(shù)B.眾數(shù)〉中位數(shù)）平均數(shù)

C.眾數(shù)〉平均數(shù),中位數(shù)D.平均數(shù)〉眾數(shù)〉中位數(shù)

【例12］（1）若樣本芭+1,々+1，…，x〃+l的平均數(shù)為10,則詳本2%+2,2/+2,…，2x,+2的平均數(shù)

為?

（2）已知樣本7,8,9,X,》的平均數(shù)為8,且外二60,則此樣本的方差為.

（3）若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8,則數(shù)據(jù)2玉一1,2X2-1,…，2M。一1的標(biāo)準(zhǔn)差為（）

A.8B.15C.16I）.32

【例13】某區(qū)有200名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取10名學(xué)生成績(jī)?nèi)缦?

成績(jī)405060708090

人數(shù)112213

則總體標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)值是（精確到0.01）.

【例14】某城區(qū)有農(nóng)民、工人、知識(shí)分子家庭共計(jì)2000家，其中農(nóng)民家庭1800戶，工人家庭100戶.現(xiàn)

要從中抽取容量為40的樣本，調(diào)查家庭收入情況，則在整個(gè)抽樣過程中，用到的抽樣方法有（）

①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣②系統(tǒng)抽樣③分層抽樣

A.②@B.①③C.③D.①②③

【例15】某工廠生產(chǎn)了60個(gè)零件，現(xiàn)將所有零件隨機(jī)編號(hào)，用系統(tǒng)抽樣方法，抽取?個(gè)容量為5的樣本.

已知4號(hào)、16號(hào)、26號(hào)、52號(hào)零件中有1個(gè)零件沒有抽到，則這個(gè)零件的編號(hào)是

【例16】某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一2400人、高二2（XX）人、高三“人中,

抽取90人進(jìn)行問卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為36,那么高三被抽取的人數(shù)為_______。

1、一組數(shù)據(jù)12,13,x,17,18,19的眾數(shù)是13,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.13B.14C.15D.17

2、設(shè)樣本數(shù)據(jù)石,工2，…小0的均值和方差分別為1和4,若乃=%十。3為非零常數(shù),i=l,2,,10）,則

y，匕，，X。的均值和方差分別為

3、在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連

續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”.過去10FI,4B、C、〃四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下：

力地：中位數(shù)為2,最大值與最小值的差為5；9北：總體平均數(shù)為2,眾數(shù)為2；

C地：總體平均數(shù)為1,總體方差大于0；〃地：總體平均數(shù)為2,總體方差為3.

則以上四地中，一定符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染標(biāo)志的是（填力、B、a〃）

4、從總體中抽取6個(gè)樣本：4,5,6,10,7,4,則總體方差的點(diǎn)估計(jì)值為.

5、現(xiàn)要完成下列3項(xiàng)抽樣調(diào)查：①從20罐奶粉中抽取4罐進(jìn)行食品安全衛(wèi)生檢查；②從2000名學(xué)生中抽

取100名進(jìn)行課后閱讀情況調(diào)查；③從某社區(qū)100戶高收人家庭，270戶中等收人家庭，80戶低收人家庭中

選出45戶進(jìn)行消鉀水平調(diào)杳.較為合理的抽樣方法是（）

A.①系統(tǒng)抽樣，②簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，③分層抽樣B.①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，②分層抽樣，③系統(tǒng)抽樣

C.①分層抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣D.①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③分層咕樣

6、某班有學(xué)生50人，現(xiàn)將所有學(xué)生按1,2,3,...,50隨機(jī)編號(hào)，若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為5的

樣本（等距抽樣），已知編號(hào)為4M,242,44號(hào)學(xué)生在樣本中，則（）

A.14B.34C.48D.50

7、非典和新冠肺炎兩場(chǎng)疫情告訴我們：應(yīng)堅(jiān)決杜絕食用野生動(dòng)物，提倡文明健康，綠色環(huán)保的生活方式.

在我國抗擊新冠肺炎期間，某校開展?次有關(guān)病毒的網(wǎng)絡(luò)科普講座.高三年級(jí)男生60人，女生40人參加.按

分層抽樣的方法，在100名同學(xué)中選出5人，則男生中選出人.再從此5人中選出兩名同學(xué)作為聯(lián)

絡(luò)人，則這兩名聯(lián)絡(luò)人中男女都有的概率是.（第1空2分，第2空3分）

實(shí)戰(zhàn)演練

一、填空題

1、某高中有三個(gè)年級(jí)，其中高一學(xué)生900人，高二學(xué)生860人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法調(diào)查學(xué)生的視力情

況，在抽取的樣本中有高二學(xué)生公人、高三學(xué)生39人，則該高中的學(xué)生總?cè)藬?shù)應(yīng)為.

2、將兩顆質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，記第一顆微子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是加，記第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是〃，向量

?=（777-2,2-/2）,向量人=（1,1）,則向量的概率是.

3、某商場(chǎng)舉行購物抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，規(guī)定每位顧客從裝有0、I、2、3的四個(gè)相同小球的抽獎(jiǎng)箱中，每次取

出一球記下編號(hào)后放回（連續(xù)取兩次），若取出的兩個(gè)小球的編號(hào)相加之和等于6,則中一等獎(jiǎng)，等于5中

二等獎(jiǎng)，等于4或3中三等獎(jiǎng)，貝J顧客抽獎(jiǎng)中三等獎(jiǎng)的概率為.

4、甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中任想一個(gè)數(shù)字，記為m再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)

字記為江且￡{0,1,2,,9}.若區(qū)1,則稱甲乙“心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則這兩人“心

有靈犀”的概率為.

5、高三某位同學(xué)參加物理、化學(xué)、政治科目的等級(jí)考，已知這也同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科H考試中達(dá)A

573

的概率分別為:、一,這三門科目考試成績(jī)的結(jié)果互不影響，則這位考生至少得1個(gè)4的概率為

684

6、設(shè)小。是從集合{1,2,3,4}中隨機(jī)選取的數(shù)，則直線外+4=0與園/+=2沒有公共點(diǎn)的概率

為.

二、選擇題

7、下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.方差可以衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小

B.抽樣調(diào)查抽取的樣本是否具有代表性，直接關(guān)系對(duì)總體估計(jì)的準(zhǔn)確程度

C.一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)有且只有一個(gè)

D.拋擲一枚圖釘針尖朝上的概率，不能用列舉法求得

8、用系統(tǒng)抽樣方法從編號(hào)為I,2,3,…，700的學(xué)生中抽樣50人，若第2段中編號(hào)為20的學(xué)生被抽中，

按照等間隔抽取的方法，則第5段中被抽中的學(xué)生編號(hào)為（）

A.48B.62