為隨機(jī)事件.

隨機(jī)事件和概率

(2)事件的關(guān)系與運(yùn)算

第一節(jié)根本概念①大系，

如果!P件A的如成局部也是事件8的姐成局部,"發(fā)生.必有事件8發(fā)生)：AU4

1、排列灶合初步如果同時(shí)修Au4.5=>A,那么稱事件?與事件3等價(jià),或稱H等于及，?1艮

(1)排列妲合公式A,4中至少行一個(gè)發(fā)生的事件：4u4或苕小區(qū)

屬于4而不N于8的局部所構(gòu)成的事件，稱為4與8的灘，記為公8,也可表示為4-4?

加

P；=———從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù).

(7M-/7)!或者人百，它表示A發(fā)生而3不發(fā)生的3件，

加從8同時(shí)發(fā)生：/01&或者.妣人口仕=如那么表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生.林事件A

C；=---------：—從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行姐合的可能數(shù).

nUm-ny.

與事件B互不相容或者互斥,根木領(lǐng)件是互不相容的.

(2)加法原理(兩種方法均能完成此事/or+n

C-A稱為乎件A的逆事件，或稱A的對(duì)立事件，記為E表示A不發(fā)生的事件.

某件事由兩種方法來(lái)完成,第一種方法可由m種方法完成，第.種方法可由n種方法來(lái)完

成，那么這件事可由m+n種方法來(lái)完成?；コ馕幢貙?duì)立.

(3)乘法原理(兩個(gè)步驟分別不能完成這件事)：mXn②運(yùn)算：

某件％由兩個(gè)步驟來(lái)完成,第一個(gè)步!》可由m種方法完成,笫二個(gè)步驟可由n種方法來(lái)結(jié)合率：A(BC)=(AB)CAU{BUC>=(AUB)UC

完成，那么這件事可由nXn種方法來(lái)完成.分配率:(AB)UC=(AUC)n(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)

(4)一些營(yíng)見排列

①特殊序列P=[J^>________________

相鄰轉(zhuǎn)摩根率：間0Au/，=in萬(wàn).ADB=

彼此隔開3、概率的定義和性演

順序一定和不可分疥(1)概率的公理化定義

②重處揮列和非術(shù)◎排列(有序)設(shè)C為樣本空間，A為事件，對(duì)毋一個(gè)事件A都有一個(gè)笠數(shù)P(A),假設(shè)滿足以卜.

③對(duì)立事件三個(gè)條件：

1*0WPRWI.

④順序向庖

2。P(Q)=1

2、陵機(jī)試驗(yàn)、陵機(jī)事件及其運(yùn)算3-對(duì)于西兩互不相容的事件Ai./b,…有

(1)隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事什常稱為可列(完仝)可加性.

如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件ZU以正女進(jìn)行，而如次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一那么稱P(。為事件A的概率。

次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，那么稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn).試驗(yàn)的可能結(jié)果稱(2)古典概笈(等可能概型)

rC={幼，和…磯},

AU|JB，

2'P(他)==。2°*='.

那么自

設(shè)任一事件4.它是由31,<內(nèi)???3?,組成的?那么不P(A)=P(Bi)P(AIBi)+P(氏)P(AI82)+…+尸(8,)尸(A\&)

-0={(g1)U(5)U…U(/)}=P(犯)+P(4)+,??+P(&G此公式即為全概率公式.

4,五大公式(加法、減法、乘法、全概、貝葉斯)(5)貝葉斯公式

電事件及人滿足

(1)加法公式8.&8"

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)rBl.Bi,....B*兩兩互不相容.P(〃)〉o.i=i,2..

當(dāng)P(AB)=O時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)

AalJR

(2)減法公式2-V.P(A)>0,

P(A-B)=P(A)-P(AB)那么

當(dāng)BUA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)P(B/4)=3砧P⑷即g2...

pPlBJP(AfBj)

^A=QBJ.P(8)=1-P(B)

六1

條葉概率和乘法公式

(3)此公式即為貝葉斯公式.

定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件，nP(A)>0,那么稱二_為豐件A發(fā)生條件下，*件8發(fā)生P(g),(/=1,2.....?),通常叫先險(xiǎn)概率，PtBJA).(?=1.2,....〃),

P(A)

通常稱為后驗(yàn)展率.如果我們把4當(dāng)作觀察的“結(jié)果”.而SL&?….&理解為“原

的條件柢率，記為P(8/A)=￡^

因”.那么貝P斯公式反映了"因果"的慨率規(guī)律,并作出了“由果朔因”的推斷.

P(A)5、事件的獨(dú)立性和伯努利試驗(yàn)

條件概?率是概率的?%所有概率的性質(zhì)都適合于條件概圖.

(1)兩個(gè)事件的獨(dú)立性

M?P(O/B)=1=>P(B/A)=1-P(B/A)

設(shè)事件A.8滿足P(48)=P(4)P(8),那么稱事件A、8是相互獨(dú)立的(這

乘法公式：P(AR)=P(A)P(B/A)

個(gè)性質(zhì)不是把當(dāng)然成立的).

更一般地，對(duì)事件A“As,-A..假設(shè)P(AA…R.J〉O,那么有

假設(shè)事件A、4相互獨(dú)立，且P(A)>°,那么有

P(AiAi...An)=P(AI)P(A2IA)P(A?|A1A2)......P(A”\A1A2...

所以這與我的所理解的獨(dú)立性是一致的

4(r-l)

假改事件A、B相互拽立.那么可徨到X。8、A與后、X?1石也都相互獨(dú)立.

全［公式

(4)I(證明)

設(shè)事件R,物,…,8,洪足由東義.我中可知必然懷什Q和不可銖出什0，；仟M噂件物相”獨(dú)土.(證明)

?,B，，B2,…,Bi兩兩互不相容.P(2?i)>0"=1,2,…,，D.同時(shí)，0與任何事件都互斥.

(2)多個(gè)事件的獨(dú)立性

設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足西兩獨(dú)立的條件，

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P<C>?P(CA)>P(C)P(A)對(duì)應(yīng).那么稱t=X(3>為的機(jī)變量.簡(jiǎn)記為X,

并且同時(shí)滿足P(ABC)-P(A)P(B)P(C)有了隨機(jī)變信，就可以通過(guò)它來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，健全面反映試驗(yàn)的情況.

這就使用我們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)配的研究.從前一章事件與事件的概率的明就，擴(kuò)大到對(duì)隨機(jī)變量

那么A、C相互獨(dú)立。

的研究,這樣致學(xué)分析的方法也可用求研究隨機(jī)現(xiàn)型了.

對(duì)于n個(gè)事件類似.一個(gè)網(wǎng)機(jī)變量所可能取到的但只有有限個(gè)(加揖澈干出現(xiàn)的口數(shù))或可列無(wú)窮多個(gè)(如

兩兩互斥一互相互斥.交換臺(tái)接到的呼喚次數(shù))，那么稱為離散里的機(jī)變量.像彈在點(diǎn)到目標(biāo)的跆網(wǎng)這樣的阻機(jī)

兩兩獨(dú)立一互相獨(dú)立？

變fit.它的取箕連續(xù)地充滿了?個(gè)區(qū)間.這稱為連續(xù)型跳機(jī)變城.

(3)伯努利試驗(yàn)1、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

定義我們作了〃次試驗(yàn)，且滿足

(1)離散型M機(jī)變量的分布率

?每次試會(huì)只有"兩稗可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；

設(shè)國(guó)散型前機(jī)變貴X的可能取值為)Uk1,2,…)且取各個(gè)值的概率，即事件(X=X)

?〃次試驗(yàn)是求立進(jìn)行的.即A發(fā)生的概率每次均?樣：的概率為

?誨次試驗(yàn)是獨(dú)立的.試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試聰A發(fā)生與否興-P(X=XM)=PMk=1.2.….

影響的.那么稱上式為離散電隨機(jī)變吊x的概率分布或分布律，有時(shí)也用分布列的形式給出；

這種試驗(yàn)稱為俏努利概型，或稱為〃出他努利試驗(yàn).

用p表示每次試驗(yàn)人發(fā)生的概率.那么不發(fā)生的低率為"〃=仁用「"(”)我示〃重P(X=.?)pi.p2,…

顯然分布律的滴足以下條件：

偉努利幽中A出現(xiàn)A(0~k~")次的概率.⑴“A20,.=12…,

￡,%=i

P"伏)=CP5,A=0,1,2,…,”

(2)*=1.

隨機(jī)變量及其分布

(2)分布的塞

第一節(jié)根本概念

在許多試收中.觀察的對(duì)軟常常是一個(gè)的同取值的fit.例加擲一頗嵌于出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).它本對(duì)于非離收酬眼機(jī)變地，通常有P(X=x)=0,不可能用分布率友達(dá).例如U光

身就是一個(gè)數(shù)(ft.因此P(A)這個(gè)函數(shù)可以看作是普通函數(shù)(定義域和(ft域都是數(shù)字,數(shù)

字到數(shù)字).但是觀察債幣出現(xiàn)正面還是反面.就不能簡(jiǎn)單理解為普通函數(shù).但我Wn]"以燈管的右命x.ax=%)=o,所以我們考慮用x落在要個(gè)區(qū)問(〃，切內(nèi)的概率

通過(guò)下面的方法使它與數(shù)位聯(lián)樂起來(lái).當(dāng)出現(xiàn)iE面時(shí).規(guī)定其對(duì)應(yīng)數(shù)為"1”：而出現(xiàn)反

表示.

面時(shí).Ml定其對(duì)應(yīng)數(shù)為“0”.于是

定義設(shè)X為隨機(jī)變5hx是任意實(shí)數(shù),那么函數(shù)

稱X為網(wǎng)機(jī)變及.又由于X昆的若試驗(yàn)結(jié)果(根本領(lǐng)件”)不同而變化的.所以X實(shí)

稱為隨機(jī)變iftc的分布函數(shù).

際上是根本※件儂的由數(shù),即x=x(3).同時(shí)事件A包含了?定城的3(例如古典概型中

A包含了3,,3”…3“共m個(gè)根本額件).于是P(A)可以由P(X(3))來(lái)計(jì)算.這是一PiavX$b)=F(b)-F(a)可以得到X落入?yún)^(qū)間(〃,勿的概率.也旗是說(shuō),

個(gè)普通函數(shù).

分布函數(shù)完整地描述j*隨機(jī)變量x的機(jī)取值的統(tǒng)4雙律性.

定義設(shè)試臉的樣本空間為Q,如果對(duì)。中俗個(gè)事件“招仃唯一的實(shí)數(shù)lftX="3)與之

F(+cc)=[f(x)dx=1

分布函數(shù)尸(X)是一個(gè)普通的函數(shù)，它表示班機(jī)變量落入?yún)^(qū)間(X]內(nèi)的概率。

J-*的兒何意義；在橫軸上面、密度曲線下面的全能面枳等于I.

如果一個(gè)的數(shù)/(”)潮足「、2%那么它一定是某個(gè)Mi機(jī)空量:的密度時(shí)數(shù)，

尸LV)的困形是階梯圖形，M，*2,???是第一類間斷點(diǎn)，隨機(jī)變JKX在8處的概

x?

3。P(xt<XM/)=尸(七尸區(qū))=Jf(x)dx.

率就是尸(x)在8處的段度.

分布函數(shù)具有如下性質(zhì)；

4。假設(shè)〃乂)在X處連續(xù).那么有〃'(X)=/(X).

1*05F(x)I,-oo<x<+00：

它在連續(xù)型隨風(fēng)變遷理論中所起的作用叮。(X=?")=〃”在先改型防機(jī)變顯理論中所

2-F(x)是單調(diào)不減的函數(shù)，即川<心時(shí)，有尸(xi)MF(A-2)；

起的作用相類似.

3。F(-00)=limF(x)=0.尸(+00)=liinF(x)=1：

XT*X-MCO對(duì)于連續(xù)型隨隊(duì)變nX.雖然有P(X=x)=°.但事件(X=x)并非足不可能事件

0.

-rF(.v+())=F(x).即F(.v)是右連續(xù)的：

合力一*0.邦么右戰(zhàn)為零.而概率尸(X=")"沛ft1P(X=x)=°.

不可能事件(0)的腌率為零.而概率為零的事件不一定是不可能事件：同理,必然事件

5*P(X=x)=F(x)-F(x-0).

(0)的微率為I,而概率為1的方件也不一定是必然小件，

2,常見分布

(3)連城型隨機(jī)變景的密度函數(shù)

①0-1分布

定義設(shè)"(.r)是歷機(jī)變附x的分布函數(shù),區(qū)設(shè)存在非負(fù)函數(shù)/(“),對(duì)任意實(shí)數(shù)x.6

P(X=l)=p.P?=O)=q

F(A)=(.rUr②二項(xiàng)分布

那么稱X為連續(xù)里隨機(jī)變出./(X)稱為X的概率淤度函數(shù)或密度戌數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密在〃里貝努電試驗(yàn)中.設(shè)事件A發(fā)乍的概率為〃.事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量.設(shè)為

度，/(*)的圖形是一條曲戲，稱為密度(分布)曲媒，

X,那么X可能取值為0,1,2,…,A.

由上式可知，連續(xù)組電機(jī)變量的分布但數(shù)尸(工)是連續(xù)函數(shù).

P(X=k)=PAk)=Cp5.其中

所以.

密度函質(zhì)具有下面4個(gè)性防：

|O/(A)NO.7=1-〃,0<p<1.A=0.1,2.…,”.

rf(x)dx=\

2。J-”.那么稱隨機(jī)變推X眼從參數(shù)為p的二項(xiàng)分布.記為X~8(〃.p).

容易臉讓，滿足禹散型分布率的條件。0,x<a,

FW=J'f(x)dx=\二，

當(dāng)〃=1計(jì)，P（X=k）=//<?'■*,攵=0.1,這就是（。-1）分布，所以（0-1）分JI、.EWb

布是二項(xiàng)分布的特例.當(dāng)aWxWxWb時(shí)，X落在卜間內(nèi)的概率為

X,<X<x)=01")公=「—!—dx=號(hào)

③泊松2

設(shè)的機(jī)變量X的分布律為p(外b-ab一、

⑦指數(shù)分布

2X

P（X=A）=—e"^>0.A=0,1,2….設(shè)隨機(jī)受信X的密度函數(shù)為

A!

仁”二A>0,

f(x)=

那么稱隨機(jī)受此X服從參數(shù)為A的泊松分布,記為X~7（A）或者p（4}.劃,4>0,垢么隙湖j儲(chǔ)城x服從忿數(shù)為4的桁數(shù)分布.

x的分布函數(shù)為

泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=X,n-8）.

如￡機(jī)被擊中的干科數(shù)、來(lái)到公共汽車站的乘客數(shù)、機(jī)床發(fā)生故障的次數(shù)、聲動(dòng)控制系統(tǒng)

ia生此術(shù)積分：x>o

中元件損壞的個(gè)數(shù)、某商店中來(lái)到的順客人數(shù)等，均近似地服從泊松分布.尸（X）=<田

11%）=卜所％-“癡。r（a+l）="（a）

④超幾何分布

隨機(jī)受餓X服從舂效為n,N,M的用幾何分布.o

⑧正態(tài)分布

⑤幾何

設(shè)地機(jī)變*X的密慢函數(shù)為

P（X=k）=qk'1p,k=其中p去0,q=l-p.

■

f（x）=-j=^e.-oo<-r<-KO.

隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布.

⑥均勻其中〃、為常數(shù).那么稱的機(jī)變JilX服從參數(shù)為"、的正態(tài)分布或高

設(shè)防機(jī)財(cái)X的信只常在［a,b］內(nèi),其玄度函數(shù)/（X）在［a.b］上為常數(shù)k.E|j

斯（Gauss）分布.記為X~N（小°

了⑶只有如F性質(zhì)：

/“）=《f/.‘a(chǎn)壯W他xWb

rf（x）的圖形是關(guān)于X=〃對(duì)稱的：

（U,其他,

2-當(dāng)工="時(shí)./（〃）=下;為最大拉；

4?冗O

苴中k=------3-f（x）以°工軸為漸近戰(zhàn)，

b-a

那么稱隨機(jī)受盤X在［a.b］上服從均勻分布.記為X、U{a.b）.特別當(dāng)0固定,改變〃時(shí)，/（幻的圖形形狀不變，只是集體沿ox軸平行移動(dòng)，所以〃

分布函數(shù)為又稱為何曾參數(shù).當(dāng)〃囿定、改變b時(shí)J（x）的圖形形狀要發(fā)'I.變化,地a變大./（X）

圖形的形狀變得平坦.所以又稱。為形狀參數(shù).(1)X是聞&型隨機(jī)受M

假設(shè)X~NW，b)那么x的分布函數(shù)為X的分布列為

XXI,工冊(cè)??，Art,…

F(x)=ch

P{X=Xi)pt.p，??,pn,??■

參數(shù)〃=°、°=1時(shí)的正態(tài)分布挪為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.記為X~N(0J)其密度函數(shù)顯然，y=giX)的取值只可能是g(.n),gCn),…,g*"),…，假設(shè)g(果)互不相等.

記為那么丫的分布列如下；

I-—Yg3).g(X2)，

<p[x)=-r-e2

p(y=f)

.-oo<.r<-KO.pi，八1

分布函數(shù)為

假設(shè)有某些g(x)相等.那么應(yīng):將對(duì)應(yīng)的P.相加年為g(M)的概率.

中(M2力(2)X是連段型防機(jī)變量

.①(X)是不可求積函數(shù).大函數(shù)位.已編制成表可供食用.

先利用X的概率密ff￡f\(x)寫出Y的分布函數(shù)E(y),再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出

小(X)和中(X)的性質(zhì)如下：

1,%：x)是偶函數(shù).小(x)=<l>H0：fv(y).

二維隨機(jī)變量及其分布

當(dāng)1-0時(shí).*(*)—1=為破大值:

第一節(jié)根本概念

1、二雒隨機(jī)交量的根本概念

中：-x)=l-中(x)且0(0)=—.(1)二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布及邊森分布

如果XN(〃,/),那么=^'N(O,1)。如果二維的機(jī)向量4(X.Y)的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)?x.y)時(shí),那么稱4

<7

所以我in可以通過(guò)變換將F(x)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為中(x)的“丸而0(.r)的假是可以通過(guò)為離散里隨機(jī)ht.理解:(X=x,Y=y)=-)

查表得到的，設(shè)4=(《，”的所有可能取值為(e，>'；)(/,7=1,2,-).旦事件(<=(七，力)}

P(x<X<x

t2的假率為?！?你

分位數(shù)的定義.為(X.Y：的分布律或稱為X和、1的聯(lián)合分布律.聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布

3,隨機(jī)變量函數(shù)的分布

衣來(lái)農(nóng)示：

憤機(jī)變顯Y是隨機(jī)受量X的函數(shù)Y=g(X).假設(shè)X加分布的數(shù)Fx(.V)或密度函數(shù)

A-yt-A*

fx(A)知道，那么如何求出r=^(X)的分布函數(shù)F?(y)或國(guó)度由數(shù)4()')。X

???

P”ptJ

小4??????的邊緣分布束我為

注意：聯(lián)合概車分布一邊緣分布

*?:?**

(3)條件分柞

??????

*〃當(dāng)(X,Y)為高效型,并且其聯(lián)合分布律為

??????在X=x.的條件下，Y取值的條件分布為

其中外，0”分別為X,Y的邊緣分布.

P-J???P-Z???1

當(dāng)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)向量，并H其聯(lián)合分布密度為t'(x,y),那么任Y=y的條件下,X

這里從具有下面兩個(gè)性質(zhì)：的條件分布密慢為

(I)夕.，0???)；在X=x的條件卜，Y的條件分布宓度為

⑵EXp”=L

其中八(X)>O./(y)>0分別為X.丫的邊緣分布密度。

，)r

對(duì)「防機(jī)向俄(X,Y),稱其分量X(或Y)的分布為(X,0的關(guān)FX(或Y)的邊緣分(4)常見的二雉分布

布.上表中的坡后一列(或行)給出了X為陶散型，并且其以臺(tái)分布律為①均勻分布

設(shè)隨機(jī)向錄(>：.￥)的分布密度函數(shù)為

片(x,y)=(卬匕)}=/%",j=12…)，

其中&為區(qū)域D的面積，那么稱(X,Y)服從D上的均勻分布，記為(X,Y)?U(D).

那么x的邊緣分九為R.=p(x=區(qū))=Zpt)(1j=12…)；例如圖3.k困3.2和圖3.3.

/

Y的邊緣分布為P?=P(Y=y>)=2P/i*j=12…).

j

(2)二包連續(xù)型隨機(jī)向■聯(lián)合分布宙度及邊緣分布

對(duì)于二維的機(jī)向城j=(x.y),如果存在非負(fù)函數(shù)

/UyX-?><.r<+8,-8<y<+8).使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)物的

矩形區(qū)域D,BP?={(X,Y)[a<x<b,c<y<d]有

那么稱J為連續(xù)型R&機(jī)向fit:并稱f(x,y)為(X.Y)的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合

分布派內(nèi).

分卷密度f(wàn)(x.y)具有下面兩個(gè)性質(zhì)：

(1)f(x.y)^O：

?般來(lái)說(shuō),當(dāng)(X,Y)為連續(xù)組隨機(jī)向fit并且我聯(lián)合分布詼度為f(x.y),那么X和Y

②正態(tài)分布0),2.2).(3.1).(3.2).并且(X.Y)取得它們的概率相司.那么(X.Y)的聯(lián)合

設(shè)隨機(jī)向量(X.Y)的分布密度函數(shù)為分布及邊維分布為

其中〃>0.<T,>0.|p|<l,共5個(gè)參數(shù).科么林(X.Y)眼從二推iE態(tài)分-1012-,

布，000

記為(X.Y)~N("/生5二(7；,2).6