概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)蘭芽楓葉編輯整理

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章期末復(fù)習(xí)

（一）隨機(jī)變量及其分布函數(shù)

1.隨機(jī)變量的概念

定義I定義在樣大空間。上的實(shí)值函數(shù)x=x（⑼稱為隨機(jī)變量.常用大寫

字母x,y,z等表示隨機(jī)變量，其取值用小寫字母x,J，，z等表示.

定義2若一個(gè)隨機(jī)變量僅取有限個(gè)或可列無限個(gè)值，則稱其為離散型隨機(jī)

變量.若一個(gè)隨機(jī)變量的可能取值充滿數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間（。力），則稱其為連續(xù)

隨機(jī)變量，其中?？梢允?8,人可以是+8.

2.用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件

在隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果中，隨機(jī)變量取得某一數(shù)值x,記為｛X=x｝,這是一個(gè)

隨機(jī)事件.同樣，隨機(jī)變量*取得不大于實(shí)數(shù)X的值，記為｛X4R;隨機(jī)變量X

取得區(qū)間區(qū)/2）內(nèi)的值，記為qWXVq｝；等等，也都是隨機(jī)事件.

【例1】擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，記為X.則

事件｛出現(xiàn)3點(diǎn)｝可用｛￥=3｝表示；

事件｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于3｝可用｛X23｝表示；

又如｛X<3｝表示事件｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3｝.

（-）離散型隨機(jī)變量及其分布

I.離散型隨機(jī)變量

定義1設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，若X的所有可能取值是玉，乙，…，

與，…，則稱X取值W的概率P（X=xJ=p,,i=…,〃，…為X的分布律或分

布列，記為X~｛P,｝.

分布律也可記為

???

X王工2…

??????

PP1P1Pn

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任一離散型隨機(jī)變量的分布律都具有下述兩個(gè)基本性質(zhì):

⑴非負(fù)性：p（xJ20,i=l,2,...；

（2）規(guī)范性：￡p?）=l.

J=1

【例1】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為:

X-123

P0.250.50.25

試求產(chǎn)(XW0.5),P(l.5cXW3).

【解】P(X<0.5)=P(X=-l)=0.25,

P（1.5<%<3）=P（X=2）+P（X=3）=0.75.

【注】在具體求離散型隨機(jī)變量x的分布律時(shí)，關(guān)鍵是求出X的所有可能取值

及取這些值的概率.

【例2】某系統(tǒng)有兩臺(tái)機(jī)器相互獨(dú)立地運(yùn)轉(zhuǎn).設(shè)第一臺(tái)與第二臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障的

概率分別為0.1和0.2.以X表示系統(tǒng)中發(fā)生故障的機(jī)器數(shù)，求X的分

布律.

【解】設(shè)4=｛第i臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障｝」=1,2.

X所有可能的取值為0，1,2.則

P（X=0）=尸（彳&=P（4）P（Z）=0.72,

P（X=1）=P（4Z）+P（442）=P（4）P（Z）+P（4）P（42）=S26,

P（X=2）=尸（44）=P⑷P（4）=0.02,

所以X的分布律為

X012

P0.720.260.02

2.常見的離散型隨機(jī)變量

1）兩點(diǎn)分布

定義2設(shè)隨機(jī)變量X只可能取。與1兩個(gè)值，它的分布律為

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P(X=k)=pk(\-p)

則稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布或04分布.

2)二項(xiàng)分布

定義3設(shè)隨機(jī)變量X的可能值是0,1,2,…，〃，它的分布律為

P(X=k)=C：p，z,左=0,1,...,〃，

其中0<p<l,p+q=l.則稱X服從參數(shù)為〃和p的二項(xiàng)分布.記為X?伙〃,p).

【例3】設(shè)X?伙3,p),且P(X=1)=P(X=2),則p=()

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

【解析】因?yàn)閄?/3、p),旦尸(X=1)=P(X=2),所以有

—〃)2=或〃2(1一〃)，

解之得p=0.5,故選項(xiàng)A正確.

3)泊松分布

定義4設(shè)隨機(jī)變量X的可能值是0,1,2,…，它的分布律為

P(X=k)=—e-A,4=0,1,2,…

其中義>0是常數(shù).則稱X服從參數(shù)為4的泊松分布，記為X?尸(％).

【例4】設(shè)X?P(/l),且P(X=2)=2P(X=1),則4=()

A.1B.2C.3D.4

【解析】因?yàn)閄?PQ),且P(X=2)=2P(X=1),所以有

-e^=2—e-z

2!1!

解之得尤=4或4=0(舍去)，故選項(xiàng)D正確.

【例5】一鑄件的砂眼(缺陷)數(shù)服從參數(shù)為2=0.5的泊松分布，試求此鑄件上至

多有1個(gè)砂眼(合格品)的概率和至少有2個(gè)砂眼(不合格品)的概率.

【解】以X表示這種鑄件的砂眼數(shù)，由題意知X?P(0.5).

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則此種鑄件上至多有1個(gè)砂眼的概率為P(X<1),

查泊松分布表知當(dāng)4=0.5時(shí)，P(X<l)=0.91.

至少有2個(gè)砂眼的概率為P(X>2)=\-P(X<1)=0.09.

定理1(泊松定理)在〃重伯努利試驗(yàn)中，事件力在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為

A(與試驗(yàn)次數(shù)〃有關(guān)),若當(dāng)>+8時(shí)，有〃>0),則

lime)。-p“嚴(yán)二3月

由于泊松定理是在吵“f/I條件下獲得的，故在計(jì)算二項(xiàng)分布仇〃,〃)時(shí)，當(dāng)

〃很大，〃很小，而乘積4二步大小適中時(shí)，可以用泊松分布作近似，即

C：p￡。-p)"-丁第「%〃=01,2,…

K\

【例6】已知某種疾病的發(fā)病率為0.001,某單位共有5000人.問該單位患有這

種疾病的人數(shù)不超過5人的概率為多少？

【解】設(shè)該單位患有這種疾病的人數(shù)為X,則有X?僅5000,0.001),而所求的是

5

50()()A

P(%<5)=^Cj)c>o0,00r0.999-.

女=0

這個(gè)概率的計(jì)算量很大.由于〃很大，p很小，且2=叩=5.用泊松近似得

5

P(%<5)?^—C-5=0.616.

A=ok!

3.分布函數(shù)

定義5設(shè)Y是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)任煮的實(shí)數(shù)x,稱9(丫)="(丫<丫)為隨機(jī)

變量X的分布函數(shù).且稱X服從尸(x),記為X?尸(x).

任一分布函數(shù)尸(X)都具有如下三條基本性質(zhì)：

(1)單調(diào)性“(X)是定義在整個(gè)實(shí)數(shù)軸(-8,+功上的單調(diào)非減函數(shù)，即對(duì)任

意的為<工2，有的(再)《尸(工2)?

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(2)有界性對(duì)任意的x,有PW/(x”l,且

F(-oo)=limF(x)=0,

X-?-X

F(+oo)=limF(x)=1.

(3)右連續(xù)性/(x)是x的右連續(xù)函數(shù)，即對(duì)任意的［，有l(wèi)im尸(幻=尸(/),

即F(xo+O)=F(xo).

有關(guān)X的各種事件的概率都能用其分布函數(shù)來表示,例如，對(duì)任意的實(shí)數(shù)。

與b,有

P(a<X<h)=F(b)-F\a),

P(X=a)=F(a)-F(a-0),

P(X>b)=\-F(b-0)f

P(X>b)=l—F(b),

P(a<X<b)=F(b-0)-F(a),

P(a<X<b)=F(b)-F(a-0),

P(a<X<b)=F(b-0)-F{a-0).

特別當(dāng)尸(x)在a與b處連續(xù)時(shí),有獨(dú)伍-0)=在⑷,F(h-0)=F(b).

【例7】設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

X-123

P0.250.50.25

求X的分布函數(shù).

【解】X僅在工=-1,2,3三點(diǎn)處其概率不為0,而尸*)的值是XKx的累積

概率值，由概率的有限可加性知，有

0>x<-1；

P(X=—1),-l<x<2；

F(x)=<

尸(X=—l)+P(X=2),2Wx<3；

Lx>3.

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0,x<-1；

0.25,-l<x<2；

即%)=

0.75,2<x<3：

1,x>3.

(三)連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布

1.連續(xù)型隨機(jī)變量

定義1設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為尸(x),若存在實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)非負(fù)可積

函數(shù)/(x),使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x有

F(x)=匚/(〃)d〃，

則稱*為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)/(均稱為>的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密

度或密度函數(shù).

概率密度函數(shù)/&)具有以下兩個(gè)基本性質(zhì)：

(1)非負(fù)性：/(x)>0；

(2)規(guī)范性：「"/(x)dx=1.

J-00

由分布函數(shù)與概率密度函數(shù)的定義知：

(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)$式/，有

P(x<X<x,)=)-爪西)=；

1J*

(ii)若/(x)在點(diǎn)工處連續(xù)，則有U(x)=/(x).

【例1】設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，則必有()

r4R

A.0</(x)<1B.ff(x)dx=1

J—00

C.在定義域內(nèi)單調(diào)不減D.limf(x)=1

.V-?-KO

【解析】選項(xiàng)A：概率密度函數(shù)/(x)具有非負(fù)性，即/'(X)20,但/(x)不一定

小于1,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：由規(guī)范性，「'/(x)dx=l,故選項(xiàng)B正確；

J-XI

選項(xiàng)C：分布函數(shù)F(x)在定義域內(nèi)單調(diào)不減，而概率密度函數(shù)/*)在定義

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域內(nèi)可以單調(diào)遞減，故選項(xiàng)c錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：當(dāng)x->+00時(shí)，分布函數(shù)尸(工)的極限為1,即lim2x)=1,概率密

度函數(shù)/W的極限不一定為1,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

【例2】設(shè)X的概率密度函數(shù)與分布函數(shù)分別為/(x),F(x),則下列結(jié)論正確

的是(B)

A.0</(x)<1B.0<F(x)<1

C.P(X=x)=F(x)D.P(X=x)=f(x)

【例3】已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

kx,0<x<3；

/(x)=?2-|,3<x<4；

0,其他.

7

(1)確定常數(shù)3(2)求X的分布函數(shù)；(3)求aicXW])

【解】⑴由J:/a)dx=l,得J、xdx+J：(2-泉dx=l,

解得k=：.

6

(2)當(dāng)xV0時(shí)，/(x)=0,U匕時(shí)尸(x)二產(chǎn)(XWx)=「Odz=0;

J-30

2

當(dāng)0Wx<3時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X<x)=Odr+X

當(dāng)3Vx<4時(shí)，產(chǎn)(x)=P(XWx)=/Odr+f3-dr+f'(2--)dr=-3+2x--

J-ooJo6J324

當(dāng)X24時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X<x)=Odr+dr+j"(2--)dr+[Odr=1；

'。632，

所以X的分布函數(shù)為

0,x<0；

二

0<J<3；

Fm(x)、=<五’

2

Y

-3+2x—,3<A<4；

4

1,x>4.

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741-

(3)P(l<Jf<-)=F(-)-F(l)=—.

【注】如果概率密度函數(shù)/(x)中有待定的常數(shù)，則該常數(shù)必定是利用規(guī)范性來

確定的.

2.常見的連續(xù)型隨機(jī)變量

1)均勻分布

定義232若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

1,

八,、----?a<x<b\

f(x)=\h-a

0,其他.

則稱x服從區(qū)間m力)上的均勻分布，記為其分布函數(shù)為

0,x<a\

L/、X~a/,

r(x)=<------,a<x<b；.

b-a

Lx>b.

【例4】設(shè)K在區(qū)間(1,6)上服從均勻分布，求方程f+Kx+l=0有實(shí)根的概率.

【解】方法1：由題可知K?U(l,6),其概率密度函數(shù)為

/?)=5'

0,其他.

方程/+Kx+I=0有實(shí)根，即片-420,則

P(K2-4>0)=P(K<-2)+P(K>2)=P(K<-2)+P[2<K<6)+P(X>6)

(?-261,+84

=fOdZ+f2dZ+f0d%=—.

J-00J25J65

方法2：由題可知K?U(l,6),其分布函數(shù)為

0,k<T,

k-\

^)=—

1,kN6.

方程/+Kx+l=0有實(shí)根，BP7C2-4>0,則

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P(K2-4>0)=P(K>2)+P(K<-2)=1-P(K<2)+P(K<-2)

=l-F(2)+F(-2)=0.8.

2）指數(shù)分布

定義2若隨機(jī)變置X的密度函數(shù)為

加T,X>0；

=

0,x<0.

則稱X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，記為萬?丘切僅），其中參數(shù)4〉0.其分布函

數(shù)為

1-eAx>0：

/⑴二

0,x<0.

【例5】己知某種電子元件的壽命Y（單位：6）服從指數(shù)分布:

elooo,x>0；

/?=To6o

0,x<0.

求這種電子元件能使用1000/7以上的概率.

【解】由題意，所求概率為

+001

?(X21000)=/——c1000dx=c

looo1000

3）正態(tài)分布

定義3若隨機(jī)變量X的概率密度為

fa)=看-co<X<+8

則稱*服從參數(shù)為“和b的正態(tài)分布，記為X?N（〃Q2）.其中參數(shù)

-co<//<4-00,(T>0.

定義4稱〃=0,b=l時(shí)的正態(tài)分布N（0,l）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,其概率密度為

M看2-co<X<4-oc

分布函數(shù)為

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O(x)=-^=Je2dr

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)具有下列性質(zhì)：

(1)①(T)=l-①⑶；

(2)0(0)=0.5；

⑶①(+8)=1.

利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表還可以算得：

(1)P(X>x)=l—(D(x)；

(2)尸(a<X<6)=①⑹―①⑷；

(3)P(|%|<c)=2(D(c)-l.

定理1若X?N。/,/),則工=丘幺?N(0,l).

cr

定理2若X?N(%6),則它的分布函數(shù)尸(x)可寫成

F(x)=P(X<x)=①.

對(duì)于任意區(qū)間(司,々]，有

PU,<%<x2)=0(^^)-(D(^^).

crcr

【例6】設(shè)X?N(0,l),X的分布函數(shù)為①(x),則P(因>2)=()

A.20(2)-1B.2[1-<D(2)]C.2-0(2)D.1一2①⑵

【解析】P(|X|>2)=P(X<-2)4-P(X>2)=P(X<-2)+1-P(X<2)

=(D(-2)+1-0(2)=1-0(2)+1-0)(2)=2[1-0(2)].

【例7】已知X?NR,/),且P(2<X<4)=0.3,貝iJP(X<0)=.

4-27-222

[解析]尸(2<X<4)=0(——)-0(——)=0(-)-①(0)=①(一)-0.5=03,

(7(7(ya

2

故(D(-)=0.8,

(T

0—2?2

則有P(X<0)=0(--)=0)(一一)=1-<1>(-)=0.2.

0Go

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(四)隨機(jī)變量函數(shù)的分布

I.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

【例I】設(shè)隨機(jī)變量x具有以下分布律，試求y=(x-i)2的分布律.

X-1012

P0.20.30.10.4

【解】丫所有可能取的值為o,1,4.有

p(y=0)=P(Z=l)=0,1,

P[Y=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.7，

p(y=4)=P(%=-l)=0.2.

所以y的分布律為

X014

P0.10.70.2

2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

(1)定義法

為了求連續(xù)型隨機(jī)變量x的函數(shù)y=g(x)的概率密度，可以先計(jì)算

y=g(x)的分布函數(shù)，使其用x的分布函數(shù)表小，然后冉用求導(dǎo)的方法求出y的

密度函數(shù).

(2)公式法

定理1設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為A(x),xw(-8,+8),y=g(x)為嚴(yán)格單

調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)x=，Ky)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則y=g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概

率密度為

/心)］。，其他.，

其中。=min{g(-oo),g(+8)},b=max{g(-oo),g(-H?)}.

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【例2】設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度

—,0<x<4；

8

0,其他.

求隨機(jī)變量y=2X+8的概率密度.

【解】方法1:分別記X,y的分布函數(shù)為/x(R),FY(y).下面先求4(y).

y—8y—8

FY(y)=P(Y<y)=P(2X^<y)=P(X<^)=Fx(^).

將63)關(guān)于歹求導(dǎo)數(shù)，得y=2X+8的概率密度為

43)=理3)=母(寧)=人(三)(寧)'

0,其他.

,8<y<16；

〔0，其他.

方法2：函數(shù)y=2X+8的反函數(shù)為X=g(y-8),有

X=h(y)=：(y-8),h\y}=1,

乙乙

則隨機(jī)變量Y=2X+8的概率密度為

一、/d〃3)]l〃3)l，o<Y<4,

fy(y)=<N

其他.

o,其他.

,8<y<16；

[0，其他.

【注】使用公式法時(shí)，一定要先驗(yàn)證定理的條件都成立，然后再使用公式計(jì)算,

否則容易出錯(cuò).

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【例3】隨機(jī)變量*的概率密度為A，(x),-OO<x<+oo,求y的概率密度.

【解】分別記x,y的分布函數(shù)為6,(外，耳3).先求y的分布函數(shù)耳(y).

由于丫=月20,故當(dāng)"。時(shí)，｛丫《訓(xùn)是不可能事件，有4oo=Q(y“)=o；

當(dāng)時(shí)，有

1

FY(y)=P