《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教學(xué)計(jì)劃

一、課程說(shuō)明

概率統(tǒng)計(jì)是一門重要的理論性基礎(chǔ)課，是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科,

本課程的任務(wù)是使學(xué)生掌提概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念，了解它的范本理論和方法,

從而使學(xué)生初步掌握處理隨機(jī)現(xiàn)象的基本思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)方法分

析和解決、處理實(shí)際不確定問(wèn)題的基本技能和基本素質(zhì)。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，要使學(xué)

生初步理解和掌握概率統(tǒng)計(jì)的基本概念和基本方法，了解其基本理論，學(xué)習(xí)和訓(xùn)練運(yùn)

用概率統(tǒng)計(jì)的思想方法觀察事物、分析事物以及培養(yǎng)學(xué)生用概率統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問(wèn)

題的初步能力。

二、概率統(tǒng)計(jì)的理論和方法的應(yīng)用是非常廣泛的，幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，工農(nóng)業(yè)

生產(chǎn)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)部門，例如使用概率統(tǒng)計(jì)方法可以進(jìn)行氣象預(yù)報(bào)，水文預(yù)報(bào)以及地

震預(yù)報(bào)，產(chǎn)品的抽樣檢驗(yàn)，在研究新產(chǎn)品時(shí)，為尋求最佳生產(chǎn)方案可以進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)

據(jù)處理，在可靠性工程中，使用概率統(tǒng)計(jì)方法可以給出元件或系統(tǒng)的使用可靠性以及平均

壽命的估計(jì)，在自動(dòng)控制中，可以通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型以便通過(guò)計(jì)算機(jī)控制工業(yè)生產(chǎn)，在通

訊工程中可用以提高抗干擾和分辨率等。

三、課程內(nèi)容與考核目標(biāo)

第一章概率論的基本概念

(-)考核知識(shí)點(diǎn)

1.隨機(jī)試驗(yàn)；

2.樣本空間、隨機(jī)事件：

3.頻率與概率；

4.等可能概型(古典概型)；

5.條件概率；

6.獨(dú)立性。

㈡考核要求

1.理解隨機(jī)實(shí)驗(yàn)、隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件等概念。

2、理解樣本空間、樣本點(diǎn)的概念，會(huì)用集合表示樣本空間和事件。

3.掌握事件的基本關(guān)系與運(yùn)算。

4.了解頻率與概率的統(tǒng)計(jì)定義。

5.掌握古典概率的計(jì)算。

6.了解概率的公理化定義，掌握用概率的性質(zhì)求概率的方法。

7、理解和掌握條件概率，乘法公式、全概率公式和Bayes公式。

8、理解事件的獨(dú)立性，會(huì)求有關(guān)的概率。

第二章隨機(jī)變量及其分布

㈠考核知識(shí)點(diǎn)

1.隨機(jī)變量

2.離散型隨機(jī)變量及其分布

3.隨機(jī)變量的分布函數(shù)

4.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

5.隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

㈡考核要求

1.理解隨機(jī)變量的概念。

2、理解罔散型隨機(jī)變量及其分布律的定義，理解分布律的性質(zhì)。

3.掌握(()1)分布、二項(xiàng)分布、Poisson分布的概念、性質(zhì)。

4.熱練掌握分布函數(shù)的定義及其性質(zhì)。

5.理解連續(xù)型隨機(jī)變量的定義、概率密度函數(shù)的基本性質(zhì)。

6.掌握均勻分布、正態(tài)分布和指數(shù)分布的概念、性質(zhì)。

7、掌握一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

第三章多維隨機(jī)變量及其分布

㈠考核知識(shí)點(diǎn)

1.二維隨機(jī)變量

2.邊緣分布

3.條件分布

4.相互獨(dú)立的隨機(jī)變量

5.兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

㈡考核要求

1.了解多維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)的定義。

2.理解二維離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量的定義.

3.掌握二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律和邊緣分布律。

4、了解聯(lián)合概率密度函數(shù)和邊緣概率密度函數(shù)的關(guān)系，會(huì)求邊緣概率‘密度。

5.了解條件分布的概念并會(huì)進(jìn)行計(jì)算。

6.了解隨機(jī)變量獨(dú)立性的概念。

7、知道隨機(jī)變量函數(shù)的分布，掌握兩個(gè)隨機(jī)變量的和的函數(shù)的分布

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

㈠考核知識(shí)點(diǎn)

1.數(shù)學(xué)期望

2.方差

3.協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)

㈡考核要求

1.理解數(shù)學(xué)期望、方差的定義，熟練掌握數(shù)學(xué)期望和方差的基本性質(zhì)。

2.掌握隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差的求法。

3.了解協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念。

第五章大數(shù)定律及中心極限定理

㈠考核知識(shí)點(diǎn)

1.大數(shù)定律

2.中心極限定理

㈡考核要求

1.了解大數(shù)定律的直觀意義。

2.掌握Chebyshev不等式°

3.知道Chebyshev大數(shù)定理和貝努里大數(shù)定理。

4.會(huì)用中心極限定理求概率。

第六章樣本及抽樣分布

㈠考核知識(shí)點(diǎn)

1.隨機(jī)樣本

2.抽樣分布

㈡考核要求

1.理解數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念。

2.理解分布、t分布、了解F分布的定義并會(huì)查表計(jì)算。

3.理解正態(tài)總體的某些常用統(tǒng)計(jì)量的分布。

4.知道樣本均值和方差的計(jì)算。

第七章參數(shù)估計(jì)

㈠考核知識(shí)點(diǎn)

1?點(diǎn)估計(jì)

2.基于截尾樣本的最大似然估計(jì)法

3.估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)

4.區(qū)間估計(jì)

5.正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)

6.(0-1)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

7.單側(cè)置信區(qū)間

㈡考核要求

1.了解估計(jì)量的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)。

2.掌握矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法。

3.掌握正態(tài)總體均值和方差的置信區(qū)間。

三、復(fù)習(xí)題重點(diǎn)

（-）選擇題

1.骰子是一個(gè)正六面體，各面分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6,在進(jìn)行拋擲骰子的隨機(jī)

試驗(yàn)中，A=｛出現(xiàn)偶數(shù)｝,B=｛出現(xiàn)小于5的數(shù)｝,則A-B=（C

A｛出現(xiàn)1,2｝B｛出現(xiàn)2,4,6)

C｛出現(xiàn)6｝D｛出現(xiàn)3,5)

2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為/（幻=JJl-V，求C=(B).

ATCB

71

2

cfD

3.設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為

一\14f3y)o

/(X,y)=〈匕I…，求吊數(shù)A=(C)。

[。，其匕

A-B2

6

C6D3

4.設(shè)X,Y相互獨(dú)立，且D(x)=3,D(y)=4,求D(X-Y)是(A

A7B-1

C1D5

5.設(shè)抽樣得到樣本值如下：

17.3,16.9,18.2,17.7,16.5,18.5,15.9,16.8,18.3,17.6,

17.9,18.4,求X為（B）.

A18B17.5

C19D20

6.袋中有2個(gè)白球,3個(gè)黑球，從中依次取出2個(gè)，取后不放回，求取出的兩個(gè)都是白

球的概率是（A

，國(guó)＜1

7.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為/(x)=

求X落入(-3,)的概率(C)。

11

A-B-

32

2.)3

C

34

8.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)是具有概率密度

，求C二(B)。

A1B2

C-D3

2

9.沒(méi)X?N((),1),令，則X與Y(C)。

A相互獨(dú)立B相關(guān)

C不相關(guān)D以上都不對(duì)

10.設(shè)-■-是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，設(shè)E(X)=,D(X)=,記是樣本

均值，是樣本方差，則E():(C)。

A〃

㈡填空題

1.三門高射炮對(duì)一架敵機(jī)一齊各發(fā)一炮，它們的命中率分別為10%,20%,30%,求敵機(jī)至少

中一彈的概率0.496。

2.若X服從泊松分布，則P{X=k)=???)。

3.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為，

0,y取其它值。

4.設(shè)X?U(2,6),則D(X)=o

5.若F?F(),則?o

6.某車間中，一位工人操作甲、乙兩臺(tái)沒(méi)有琰系的自動(dòng)車床，由經(jīng)驗(yàn)可知，這兩

臺(tái)車床在某段時(shí)間里停車的概率分別為。?15和0?2,這段時(shí)間里至少有一臺(tái)不停車的概

率是0.97o

O

7.已知某種電子管的壽命X(小時(shí))服從指數(shù)分布，概率密度為

,求這種電子管能使用1000小時(shí)以上的概率。

8.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度

求(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度。

9.設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為，當(dāng)，則E(XY)=o

10.若?，則D()=2n。

㈢計(jì)算題

1.一批晶體管元件，其中一等品占95%,二等品占4%,三等品占1%。它們能工作

5000小時(shí)以上的概率分別為90%,80%,70%。求任取一個(gè)元件能工作5000小時(shí)以上的概

率。

解：令={取到元件為i等品}（i=l,2,3）,

A={取到的元件能工作5000小時(shí)以上},則

尸⑷=P（8）P（41B）+P（B）尸（AIB）+P（8JP（AI8）

=95%X90%+4%X80%+1%X7O%

=0.894

2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列X12-n…

P—1—1???1???

242〃

求隨機(jī)變量丫=sin（工處的分布列。

2

解：

一1,〃=4Z-1

因?yàn)閟in《x）=,0,n=2k,（k=l,2,—）

2

=42-3

所以隨機(jī)變量只有三個(gè)可能：T,0,U

由于X取值3,7,11,…都對(duì)應(yīng)Y的值-1,因此,

+???=_=2

P{Y=~^=~3+~7+~7\

2221-115

16

同理，P{Y=0}=???=

P{Y=1}=—+^-+-=---=—

225一―

16

于是得到Y(jié)分布列Y-101

18

317

：工設(shè)X,Y是相，L獨(dú)立的隨機(jī)變量,都服從標(biāo)準(zhǔn)止態(tài)分布N（0.1）,

求Z=X+Y的概率密度。

解：

則/z（z）=J二/X（X）/JZ7）公

1po_(zf

方Le262dx

1-Z.

X

令"K《得/z（Z）=（清匚，力

2-

1Z

4.設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度

求D(X)o

解：E(X)=

=0

E（X2）=￡f（i+x）公+￡工2（1-外公

.1

6

D(X)=E(X2)~[E(X)]

6

5.某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)地取16M,設(shè)它們

的壽命是相互獨(dú)立的，求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率。（）

解：設(shè)第i只電器元件的壽命為(i=l,2,…，16)

E()=100,D()==10000

16

z=ZXi

/=i

16

P{-^—=----->1920}

p{Z-16xl00>1920)

716x100

1920-1600

1-0()

400

=1一①(0,8)

=0.2119

6.電報(bào)信號(hào)由“?”與“一”組成，設(shè)發(fā)報(bào)臺(tái)傳送“產(chǎn)與“一”之比為3:2,由于通

訊系統(tǒng)存在干擾，引起失真。發(fā)出“產(chǎn)而收到“一”的概率為0.2,發(fā)出“一”而收到“產(chǎn)

的概率為（）.1。若收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“?"，求發(fā)報(bào)臺(tái)確實(shí)發(fā)出“?”的概率。

解：令｛發(fā)送二｛發(fā)送“一”｝,

A=｛收到“則，，

P（8）P（AI8）

P(BI*=

P（8）P（48）+P（8）P（AIA）

0.6x0.8

0.6x（）.8+0.4x（）.1

=0.923

乙設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，令，求隨機(jī)變量Y的概率密度。

解：Y是恒取正值的隨機(jī)變量，所以當(dāng)時(shí)，o

當(dāng)y>0時(shí)，的反函數(shù)為，則

從而，y>0

0,y《0

8.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為

求：⑴常數(shù)A,B,C

(2)(X,Y)的概率密度。

解：(1)由分布困數(shù)性質(zhì)

F(-OO,+OD)=A(B+-)(C+-)=1

22

X71

F(x-oo)=A(3+arctan-)(C一一)=0

22

71V

F(-oo,y)=A(B一一)(C+arctan2)=0

23

從第二式，；第三式，，解得。

從而概率密度

f(x,y)=^vF(x,y)=6________

dxdy/(f+4)(y+9)

9.設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且X的概率密度為

Y的概率密度為,求：⑴E(X+Y)⑵E(XY)o

解：⑴E(X+Y)=

11

二一十一

24

_3

4

⑵E(XY)=E(X)E(Y)=-x-=-

248

10.計(jì)算機(jī)進(jìn)行加法計(jì)算時(shí)，把每個(gè)加數(shù)取為最接近于它的整數(shù)來(lái)計(jì)算。設(shè)所有取整誤

差是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量、且服從均勻分布U[-0.5,0.5]。求300個(gè)數(shù)相加時(shí)誤差總和的絕

對(duì)值小于10的概率。(〕

解：設(shè)為第i個(gè)加數(shù)的取整誤差，E()=0,

D(Y.)=—(i=1,2,-,300)0

'12

E300x,-。

p[￡x/<i°)=p(