學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2017-2018學年第一學期高三期中調(diào)研試卷數(shù)學第Ⅰ卷（共60分)一、填空題：（本大題共14個小題,每小題5分,共70分．將答案填在答題紙上．）1．已知集合，，，則．2．函數(shù)的定義域為．3．設(shè)命題；命題,那么是的條件(選填“充分不必要”、“必要不充分"、“充要”、“既不充分也不必要”)．4．已知冪函數(shù)在是增函數(shù)，則實數(shù)的值是．5．已知曲線在處的切線的斜率為2，則實數(shù)的取值是．6．已知等比數(shù)列中，，,則．7．函數(shù)圖象的一條對稱軸是，則的值是．8．已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是．9．已知,則的值是．10．若函數(shù)(且)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是．11．已知數(shù)列，滿足，,，則．12．設(shè)的內(nèi)角的對邊分別是，為的中點，若且，則面積的最大值是．13．已知函數(shù),若對任意的實數(shù)，都存在唯一的實數(shù)，使，則實數(shù)的最小值是．14．已知函數(shù)，若直線與交于三個不同的點，，（其中）,則的取值范圍是．第Ⅱ卷（共90分）二、解答題(本大題共6小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15．已知函數(shù)（）的圖象與軸相切，且圖象上相鄰兩個最高點之間的距離為.（1）求的值;（2）求在上的最大值和最小值。16．在中,角所對的邊分別是，已知，且。(1）當，時，求的值；（2）若角為銳角,求的取值范圍.17．已知數(shù)列的前項和是,且滿足，。（1）求數(shù)列的通項公式;（2）在數(shù)列中，，,若不等式對有解，求實數(shù)的取值范圍。18．如圖所示的自動通風設(shè)施。該設(shè)施的下部是等腰梯形，其中為2米，梯形的高為1米,為3米，上部是個半圓，固定點為的中點.是由電腦控制可以上下滑動的伸縮橫桿(橫桿面積可忽略不計），且滑動過程中始終保持和平行。當位于下方和上方時，通風窗的形狀均為矩形（陰影部分均不通風）。（1）設(shè)與之間的距離為（且）米，試將通風窗的通風面積(平方米）表示成關(guān)于的函數(shù)；(2)當與之間的距離為多少米時，通風窗的通風面積取得最大值？19．已知函數(shù),.（1）求過點的的切線方程;（2）當時，求函數(shù)在的最大值;（3）證明：當時，不等式對任意均成立（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，）.20．已知數(shù)列各項均為正數(shù)，，，且對任意恒成立，記的前項和為.（1）若,求的值；（2）證明：對任意正實數(shù)，成等比數(shù)列;（3)是否存在正實數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列。若存在，求出此時和的表達式；若不存在，說明理由。2017-2018學年第一學期高三期中調(diào)研試卷數(shù)學（附加）21．【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題,并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答,若多做,則按作答的前兩題評分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A．（幾何證明選講)如圖，為圓的直徑,在圓上，于，點為線段上任意一點，延長交圓于，.（1)求證：;（2)若,求的值。B．（矩陣與變換）已知矩陣，，求的值.C．（極坐標與參數(shù)方程）在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)),以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系,圓的極坐標方程為。（1）求直線和圓的直角坐標方程；(2）若圓任意一條直徑的兩個端點到直線的距離之和為，求的值.D．（不等式選講）設(shè)均為正數(shù),且，求證：.【必做題】第22、23題，每小題10分,共計20分。請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22．在小明的婚禮上，為了活躍氣氛，主持人邀請10位客人做一個游戲。第一輪游戲中，主持人將標有數(shù)字1，2，…，10的十張相同的卡片放入一個不透明箱子中，讓客人依次去摸，摸到數(shù)字6,7，…，10的客人留下，其余的淘汰，第二輪放入1，2,…，5五張卡片，讓留下的客人依次去摸,摸到數(shù)字3，4，5的客人留下,第三輪放入1,2,3三張卡片，讓留下的客人依次去摸，摸到數(shù)字2,3的客人留下，同樣第四輪淘汰一位，最后留下的客人獲得小明準備的禮物。已知客人甲參加了該游戲.（1）求甲拿到禮物的概率;（2）設(shè)表示甲參加游戲的輪數(shù)，求的概率分布和數(shù)學期望.23．（1）若不等式對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍；（2)設(shè)，試比較與的大小,并證明你的結(jié)論.2017—2018學年第一學期高三期中調(diào)研試卷數(shù)學參考答案及評分標準正題一、填空題1．2．3．充分不必要4．15．6．47．8．9．10．11．12．13．14．二、解答題15．解:(1）∵圖象上相鄰兩個最高點之間的距離為，∴的周期為，∴且，∴，此時,又∵的圖象與軸相切，∴且,∴；（2）由（1)可得，∵，∴，∴當,即時，有最大值為;當，即時,有最小值為0.16．解:由題意得，。(1）當，時，，，解得或；（2），∵為銳角，∴，∴,又由可得，∴。17．解:（1）∵，∴,∴，又當時，由得符合，∴，∴數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，∴通項公式為;（2）∵，∴是以3為首項，3為公差的等差數(shù)列，∴，∴，即，即對有解，設(shè),∵，∴當時，，當時，，∴，∴，∴.18．解：（1)當時，過作于（如下圖)，則，，，由，得，∴,∴；當時，過作于，連接（如下圖），則,，∴，∴，綜上:;(2）當時，在上遞減，∴；2°當時，，當且僅當，即時取“=”，∴,此時，∴的最大值為，答:當與之間的距離為米時，通風窗的通風面積取得最大值.19．解：(1）設(shè)切點坐標為，則切線方程為，將代入上式，得，，∴切線方程為；（2）當時，，,∴，，當時,，當時，，∴在遞增,在遞減，∴當時，的最大值為;當時，的最大值為;（3）可化為，設(shè)，,要證時對任意均成立,只要證，下證此結(jié)論成立.∵，∴當時，，設(shè)，則,∴在遞增，又∵在區(qū)間上的圖象是一條不間斷的曲線，且，，∴使得,即，，當時，;當時,，；∴函數(shù)在遞增，在遞減，∴，∵在遞增,∴，即，∴當時，不等式對任意均成立.20．解:(1)∵，∴,又∵，∴；(2）由，兩式相乘得,∵，∴，從而的奇數(shù)項和偶數(shù)項均構(gòu)成等比數(shù)列,設(shè)公比分別為，則，，又∵，∴，即,設(shè)，則，且恒成立,數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列，問題得證;（3）在（2）中令，則數(shù)列是首項為3，公比為的等比數(shù)列,∴，且，，，,∵數(shù)列為等比數(shù)列，∴即即解得(舍去），∴,，從而對任意有，此時，為常數(shù)，滿足成等比數(shù)列，當時，，又，∴，綜上,存在使數(shù)列為等比數(shù)列，此時,。附加題21．A.解：（1）證明:連接，∵，∴，又,∴為等邊三角形，∵，∴為中邊上的中線，∴；（2）解：連接，∵，是等邊三角形，∴可求得，，∵為圓的直徑，∴,∴,又∵，∴，∴，即。B.解：矩陣的特征多項式為，令，解得矩陣的特征值，，當時特征向量為，當時特征向量為，又∵，∴.C。解：（1)直線的普通方程為；圓的直角坐標方程為；（2）∵圓任意一條直徑的兩個端點到直線的距離之和為，∴圓心到直線的距離為，即，解得或.D.證：∵，,,∴，∴。22．解:（1）甲拿到禮物的事件為，在每一輪游戲中，甲留下的概率和他摸卡片的順序無關(guān)，則，答：甲拿到禮物的概率為；（2