小升初奧數(shù)重點(diǎn)學(xué)問點(diǎn)歸納講解

年齡問題的三大特征

歸一問題特點(diǎn)

植樹問題總結(jié)

盈虧問題

牛吃草問題

平均數(shù)問題

周期循環(huán)數(shù)

抽屜原理

定義新運(yùn)算

數(shù)列求和

二進(jìn)制及其應(yīng)用

加法原理

質(zhì)數(shù)及合數(shù)

約數(shù)及倍數(shù)

數(shù)的整除

余數(shù)及其應(yīng)用

余數(shù)問題

分?jǐn)?shù)及百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用

分?jǐn)?shù)大小的比較

完全平方數(shù)

比和比例

綜合行程問題

邏輯推理問題

幾何面積

時(shí)鐘問題-快慢表何題

時(shí)鐘問題-鐘面追及

濃度及配比

經(jīng)濟(jì)問題

循環(huán)小數(shù)

簡潔方程

雞兔同籠問題

工程問題

不定方程

小學(xué)奧數(shù)理論學(xué)問速查手冊(cè)

1.和差倍問題

和差問題和倍問題差倍問題

已知條件幾個(gè)數(shù)的和及差幾個(gè)數(shù)的和及幾個(gè)數(shù)的差及

倍數(shù)倍數(shù)

公式適用范圍已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系

公式①（和一差）-2二較小數(shù)和+（倍數(shù)+差+（倍數(shù)-

1）二小數(shù)1）二小數(shù)

較小數(shù)十差二較大數(shù)小數(shù)X倍數(shù)二

小數(shù)X倍數(shù)二

和一較小數(shù)二較大數(shù)大數(shù)

小數(shù)+差二大

②（和+差）+2二較大數(shù)和一小數(shù)二大數(shù)

數(shù)

較大數(shù)一差二較小數(shù)

和一較大數(shù)二較小數(shù)

關(guān)鍵問題求出同一條件下的

和及差和及倍數(shù)差及倍數(shù)

2.年齡問題的三個(gè)基本特征:

①兩個(gè)人的年齡差是不變的；

②兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)削減的;

③兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變更的；

3.歸一問題的基本特點(diǎn)：問題中有一個(gè)不變的量，一?股是那個(gè)“單一量”，題目

一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示。

關(guān)鍵問題：依據(jù)題目中的條件確定并求出單一量;

4.植樹問題

基本類在直線或者不封在直線或者不封閉在直線或者不封閉封閉曲

型閉的曲線上植的曲線上植樹，兩的曲線上植樹，只線上植

樹，兩端都植樹端都不植樹有?端植樹樹

基本公棵數(shù)二段數(shù)+1棵數(shù)二段數(shù)一1棵數(shù)二段數(shù)

式棵距X段數(shù)二總棵距X段數(shù)二總長棵距X段數(shù)二總長

長

關(guān)鍵問確定所屬類型，從而確定棵數(shù)及段數(shù)的關(guān)系

鹿

5.雞兔同籠問題

基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題，假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置

換出來；

基本思路：

①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少：

③每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的緣由；

④再依據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。

基本公式：

①把全部雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)=（兔腳數(shù)X總頭數(shù)一總腳數(shù)）一（兔腳數(shù)一雞腳

數(shù)）

②把全部兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)=（總腳數(shù)一雞腳數(shù)X總頭數(shù)）彳（兔腳數(shù)一雞腳

數(shù)）

關(guān)鍵問題：找出總量的差及單位量的差。

6.盈虧問題

基本概念：確定量的對(duì)象，依據(jù)某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：依據(jù)另一種標(biāo)準(zhǔn)分

組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)

象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭?

基本思路：先將兩種支配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變更，依

據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加支配的總份數(shù)，然后依據(jù)題意求出對(duì)象的總量.

基本題型：

①一次有余數(shù)，另一次不足；

基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）?兩次每份數(shù)的差

②當(dāng)兩次都有余數(shù)；

基本公式：總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)）+兩次每份數(shù)的差

③當(dāng)兩次都不足；

基木公式：總份數(shù)=（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）小兩次每份數(shù)的差

基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。

關(guān)鍵問題：確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。

7.牛吃草問題

基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，依據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的

總草量的差；再找出造成這種差異的緣由，即可確定草的生長速度和總草量:。

基本特點(diǎn)：原草量和新草生長速度是不變的；

關(guān)鍵問題：確定兩個(gè)不變的量。

基本公式：

生長量二（較長時(shí)間X長時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間X短時(shí)間牛頭數(shù)）-T（長時(shí)間-短E寸

間）；

總草量二較長時(shí)間X長時(shí)間牛頭數(shù)-較長時(shí)間X生長量：

8,周期循環(huán)及數(shù)表規(guī)律

周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變更的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。

周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時(shí)間叫周期。

關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。

閏年：一年有366天；

①年份能被4整除；②假如年份能被100整除，則年份必需能被400整除;

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除；②假如年份能被100整除，但不能被400整除；

9.平均數(shù)

基本公式：①平均數(shù)二總數(shù)量彳總份數(shù)

總數(shù)量=平均數(shù)x總份數(shù)

總份數(shù):總數(shù)量+平均數(shù)

②平均數(shù)二基準(zhǔn)數(shù)+每一個(gè)數(shù)及基準(zhǔn)數(shù)差的和+總份數(shù)

基本算法：

①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進(jìn)行計(jì)算.

②基準(zhǔn)數(shù)法：依據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選及全部數(shù)比較接

近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求全部給出數(shù)及基準(zhǔn)數(shù)的差；再求

出全部差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最終求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就

是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式②。

10.抽屜原理

抽屜原則一：假如把（n+1）個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，則必有一個(gè)抽屜中至少放有

2個(gè)物體。

例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，則就有以下四

種狀況：

①4二4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0@4=2+1+1

視察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)覺一個(gè)共同特點(diǎn)：總有則一個(gè)抽屜里有2個(gè)

或多于2個(gè)物體，也就是說必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。

抽屜原則二：假如把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n>m,則必有一個(gè)抽屜至少有:

①k=[n/m]+1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。

②k=n/ni個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。

理解學(xué)問點(diǎn)：[X]表示不超過X的最大整數(shù)。

例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則

進(jìn)行運(yùn)算。

11.定義新運(yùn)算

基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混合）運(yùn)

算。

基本思路：嚴(yán)格依據(jù)新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)

算，然后依據(jù)基本運(yùn)算過程，規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。

關(guān)鍵問題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。

留意事項(xiàng)：①新的運(yùn)算不確定符合運(yùn)算規(guī)律，特別留意運(yùn)算依次。

②每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中運(yùn)用。

12.數(shù)列求和

等差數(shù)列：在一列數(shù)中，隨意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是確定的，這樣的一列數(shù)，就叫做

等差數(shù)列。

基本概念：首項(xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用al表示；

項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的全部數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示；

公差：數(shù)列中隨意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表示；

通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用a”表示；

數(shù)歹J的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用S”表示.

基本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：aIta.,d,n,sn,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，假

如己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，假如己知其中三個(gè)，

就可以求這第四個(gè)。

基本公式：通項(xiàng)公式：an=ai+（n—1）d；

通項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)一1）義公差；

數(shù)歹J和公式：sn=（ai+a?）Xn4-2；

數(shù)歹］和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）X項(xiàng)數(shù)+2；

項(xiàng)數(shù)公式:n=（an+aj-rd+1；

項(xiàng)數(shù)二（末項(xiàng)-首項(xiàng)）+公差+1;

—

公差公式：d=(anai))4-(n—1)；

公差二（末項(xiàng)一首項(xiàng)）土（項(xiàng)數(shù)-1）;

關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定運(yùn)用的公式；

13.二進(jìn)制及其應(yīng)用

十進(jìn)制：用0?9十個(gè)數(shù)字表示，逢10進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，

十位上的2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2X102+3X10+4。

=AnX10n-l+An-lX10n-2+An-2X10n-3+An-3X10n-4+An-4XlOn-5+An-6X1On-

74-.........+A3X102+A2X101+A1X100

留意：NO二1；N1=N（其中N是隨意自然數(shù)）

二進(jìn)制；用0~1兩個(gè)數(shù)字表示，逢2進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。

（2）=AnX2n-l+An-lX2n-2+An-2X2n-3+An-3X2n-4+An-4X2n-5+An-6X2n-7

+.........+A3X22+A2X21+A1X20

留意：An不是0就是1。

十進(jìn)制化成二進(jìn)制：

①依據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為0,然后把每次所

得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。

②先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的2的n次

方，依此方法始終找到差為0,依據(jù)二進(jìn)制綻開式特點(diǎn)即可寫出。

14.加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)

加法原埋：假如完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有ml種不同方法，在

其次類方法中有m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不同方法，則完成這

件任務(wù)共有：ml+m2......+mn種不同的方法。

關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法。

基本特征：每一種方法都可完成任務(wù)。

乘法原理：假如完成一件任務(wù)須要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做笫1步有ml種方法，不

管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，

第n步總有mn種方法，則完成這件任務(wù)共有：mlXm2......Xmn種不同的方

法。

關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟。

基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分。

直線：一點(diǎn)在直線或空間沿確定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。

直線特點(diǎn)：沒有端點(diǎn)，沒有長度。

線段：直線上隨意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。

線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長度。

射線：把直線的一端無限延長。

射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn)；沒有長度。

①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+…+（點(diǎn)數(shù)—1）；

②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+（射線數(shù)一1）；

③數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)二長的線段數(shù)X寬的線段數(shù):

④數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=1X1+2X2+3X3+…+行數(shù)X列數(shù)

15.質(zhì)數(shù)及合數(shù)

質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素

數(shù)。

合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。

質(zhì)因數(shù)：假如某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，則這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除

法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。

分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N二,其中a,a2,a3……a”都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，

且...<ano

求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：P=(rl+1)X(r2+l)X(r3+l)X……X(rn+1)

互質(zhì)數(shù)：假如兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1,這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

16.約數(shù)及倍數(shù)

約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。

公約數(shù)：兒個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這兒個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這兒

個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。

最大公約數(shù)的性質(zhì)：

1,幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。

2,幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。

3,幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這兒個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。

4,幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m,所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約

數(shù)乘以m。

例如：12的約數(shù)有1,2,3,4,6,12；

18的約數(shù)有：1,2,3,6,9,18；

則12和18的公約數(shù)有：1,2,3,6；

則12和18最大的公約數(shù)是：6,記作(12,18)二6；

求最大公約數(shù)基本方法：

1,分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。

2,短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。

3,輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的

最大公約數(shù)。

公倍數(shù)：兒個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這兒個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾

個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

12的倍數(shù)有：12,24,36,48……；

18的倍數(shù)有：18,36,54,72……；

則12和18的公倍數(shù)有:36,72,108……；

則12和18最小的公倍數(shù)是36,記作[12,18]=36；

最小公倍數(shù)的性質(zhì):

1,兩個(gè)數(shù)的隨意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

2,兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)及最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。

求最小公倍數(shù)基本方法：1,短除法求最小公倍數(shù)；2,分解質(zhì)因數(shù)的方法

17.數(shù)的整除

一，基本概念和符號(hào)：

1,整除：假如一個(gè)整數(shù)a,除以一個(gè)自然數(shù)b,得到一個(gè)整數(shù)商c,而且沒有余

數(shù)，則叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。

2,常用符號(hào)：整除符號(hào)T,不能整除符號(hào)；因?yàn)榉?hào)“???”，所以的符

號(hào)“工”；

二，整除推斷方法；

1.能被2,5整除：末位上的數(shù)字能被2,5整除。

2.能被4,25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4,25整除。

3.能被8,125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8,125整除。

4.能被3,9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3,9整除。

5.能被7整除:

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)及末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。

②逐次去掉最終一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除:

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)及末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。

②奇數(shù)位上的數(shù)字和及偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。

③逐次去掉最終一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

7.能被13整除:

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)及末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。

②逐次去掉最終一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

三，整除的性質(zhì)：

1.假如a,b能被c整除，則（a+b）及（a-b）也能被c整除。

2.假如。能被b整除，c是整數(shù)，則“乘以c也能被b整除。

3.假如a能被b整除，b又能被c整除，則a也能被c整除。

4.假如a能被b,c整除，則a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

18.余數(shù)及其應(yīng)用

基本概念：對(duì)隨意自然數(shù)a,b,q,r,假如使得=q...r,且O〈r〈b,貝ljr

叫做a除以b的余數(shù)，q叫做a除以b的不完全商。

余數(shù)的性質(zhì)：

①余數(shù)小于除數(shù)。

②若a,b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。

③a及b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的

余數(shù)。

④a及b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)及b除以c的余數(shù)的積除以c的余

數(shù)。

19.余數(shù)，同余及周期

一，同余的定義：

①若兩個(gè)整數(shù)a,b除以m的余數(shù)相同，則稱a,b定于模m同余。

②己知三個(gè)整數(shù)a,b,m,假如ma-b,就稱a,b對(duì)于模m同余，記作

a=b(modm),讀作a同余于b模m0

二，同余的性質(zhì):

①自身性：a=a(modm)；

②對(duì)稱性：若a=b(modm)，則b=a(modm)；

③傳遞性：若a=b(modm),b=c(modm)，貝lja三c(modm)；

④和差性：若a三b(modm),c=d(modm),貝Ua+c=b+d(modm),a-c=b-d(modm)；

⑤相乘性：若a=b(modm),c=d(modm),則aXc三bXd(modm)；

⑥乘方性:若a=b(modm)，則an=bn(modm)；

⑦同倍性：若a三b(modm),整數(shù)c,Jl!|aXc=bXc(modmXc)；

三，關(guān)于乘方的預(yù)備學(xué)問:

①若A=aXb,則MA=MaXb=(Ma)b

②若B=c+d貝IJMB=Mc+d=McXMd

四，被3,9,11除后的余數(shù)特征：

①一個(gè)自然數(shù)M,n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M三n（mod9）或（mod3）；

②一個(gè)自然數(shù)M,X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上

數(shù)字的和，則M三Y-X或M三11-（X-Y）（mod11）；

五，費(fèi)爾馬小定理：假如P是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），a是自然數(shù)，且a不能被p整除，

則ap-l=l（modp）o

20.分?jǐn)?shù)及百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用

基本概念及性質(zhì)：

分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。

分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小

不變。

分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。

百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。

常用方法：

①逆向思維方法：從題目供應(yīng)條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思索。

②對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量及它所占的率的干脆對(duì)應(yīng)關(guān)系。

③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成

比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系：把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)

化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。

④假設(shè)思維方法：為了解題的便利，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)

某種狀況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最終結(jié)果。

⑤量不變思維方法：在變更的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何

變更，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種狀況：A,重量發(fā)生變更，總量不

變。B,總量發(fā)生變更，但其中有的重量不變。C,總量和重量都發(fā)生變更，但重

量之間的差量不變更。

⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化，量率關(guān)系明

朗化。

⑦同倍率法：總量和重量之間依據(jù)同分率變更的規(guī)律進(jìn)行處理。

⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和重量都發(fā)生變更的狀況。

21.分?jǐn)?shù)大小的比較

基本方法：

①通分分子法：使全部分?jǐn)?shù)的分子相同，依據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。

②通分分母法：使全部分?jǐn)?shù)的分母相同，依據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。

③基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使全部的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。

④分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差確定時(shí)二分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越

大。

⑤倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變更時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法

外，可以用同倍率的變更關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運(yùn)用見同倍率變更規(guī)律）

⑥轉(zhuǎn)化比較方法：把全部分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。

⑦倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。

⑧大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。

⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。

⑩基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)及基準(zhǔn)數(shù)比較。

22.分?jǐn)?shù)拆分

一，將一個(gè)分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式：

①二+;

②二+（d為自然數(shù)）；

23.完全平方數(shù)

完全平方數(shù)特征：

1.末位數(shù)字只能是：0,1,4,5,6,9；反之不成立。

2.除以3余0或余1；反之不成立。

3.除以4余?；蛴?；反之不成立。

4.約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)：反之成立。

5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。

6.奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。

7.兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不行能再有平方數(shù)。

平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)

完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2

24.比和比例

比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比的

后項(xiàng)。

比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。

比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。

比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b二c:d或

比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積（交叉相乘），ad二be。

正比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的商不變時(shí)），則A及B

成正比。

反比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時(shí)），則A及B

成反比。

比例尺：圖上距離及實(shí)際距離的比叫做比例尺。

按比例支配：把兒個(gè)數(shù)按確定比例分成幾份，叫按比例支配。

25.綜合行程

基木概念：行程問題是探討物體運(yùn)動(dòng)的，它探討的是物體速度，時(shí)間，路程三者

之間的關(guān)系.

基本公式：路程二速度義時(shí)間：路程+時(shí)間二速度：路程+速度=時(shí)間

關(guān)鍵問題：確定運(yùn)動(dòng)過程中的位置和方向。

相遇問題：速度和X相遇時(shí)間二相遇路程（請(qǐng)寫出其他公式）

追及問題：追剛好間=路程差一速度差（寫出其他公式）

流水問題：順?biāo)谐潭ù?水速）義順?biāo)畷r(shí)間

逆水行程二（船速-水速）X逆水時(shí)間

順?biāo)俣榷?水速

逆水速度二船速-水速

靜水速度二（順?biāo)俣?逆水速度）4-2

水速-（順?biāo)俣?逆水速度）+2

流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。

過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。

主要方法：畫線段圖法

基本題型：已知路程（相遇路程，追及路程），時(shí)間（相遇時(shí)間,追剛好問），

速度（速度和，速度差）中隨意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。

26.工程問題

基本公式：

①工作總量二工作效率X工作時(shí)間

②工作效率=工作總量+工作時(shí)間

③工作時(shí)間=工作總量+工作效率

基本思路：

①假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量無關(guān)）；

②假設(shè)一個(gè)便利的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍

數(shù)），利用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡潔地表示出工作效率及工作時(shí)間.

關(guān)鍵問題：確定工作量，工作時(shí)間，工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。

閱歷簡評(píng)：合久必分，分久必合。

27.邏輯推理

基本方法簡介：

①條件分析一假設(shè)法：假設(shè)可能狀況中的一種成立，然后依據(jù)這個(gè)假設(shè)去推斷，假

如有及題設(shè)條件沖突的狀況，說明該假設(shè)狀況是不成立的，則及他的相反狀況是成

立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在推斷過程中出現(xiàn)了沖突，則a確定是奇數(shù)。

②條件分析一列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，須要多次假設(shè)才能完成時(shí)，就須要進(jìn)行

列表來幫助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長方形表格中，表格的

行，列分別表示不同的對(duì)象及狀況，視察表格內(nèi)的題設(shè)狀況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行

推斷.

③條件分析一一圖表法：當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線表示兩個(gè)對(duì)

象之間的關(guān)系，有連線則表示“是，有等確定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀

態(tài)。例如A和B兩人之間有相識(shí)或不相識(shí)兩種狀態(tài)，有連線表示相識(shí)，沒有表示不

相識(shí)。

④邏輯計(jì)算：在推理的過程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)

算，依據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理供應(yīng)一個(gè)新的推斷篩選條件.

⑤簡潔歸納及推埋：依據(jù)題E供應(yīng)的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并

從特別狀況推廣到一般狀況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的解決。

28.幾何面積

基木思路：

在一些面積的計(jì)算上，不能干脆運(yùn)用公式的狀況下，一般須要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平

移，旋轉(zhuǎn)，翻折，分解，變形，重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)

行計(jì)算；另外須要駕馭和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。

常用方法：

1.連幫助線方法

2.利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。

3.大膽假設(shè)（有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說的是隨意點(diǎn)，解題時(shí)可把隨意點(diǎn)設(shè)置在特別位

置上）。

4.利用特別規(guī)律

①等腰直角三角形，已知隨意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰

直角三角形的面積）

②梯形對(duì)角線連線后，兩腰部分面積相等。

③圓的面積占外接正方形面積的78.5%。

29.立體圖形

名稱圖形特征表面積體積

長方體8個(gè)頂點(diǎn)：6個(gè)面：柞對(duì)的面相等：12條S=2(ab+ah+hV=abh

棱；相對(duì)的棱相等；h)=Sh

正方體8個(gè)頂點(diǎn)；6個(gè)面；全部面相等；12條S=6a2V=a3

棱；全部棱相等；

圓柱體上下兩底是平行且相等的圓；側(cè)面綻開后S=S側(cè)+2S底V=Sh

是長方形；S側(cè)二Ch

圓錐體下底是圓；只有一個(gè)頂點(diǎn)；1：母線，頂點(diǎn)s=s側(cè)+S底V=Sh

原委圓周上隨意一點(diǎn)的距離；S側(cè)-rl

球體圓心到圓周上隨意一點(diǎn)的距離是球的半S=4r2V=r3

徑。

30.時(shí)鐘問題一快慢表問題

基本思路：

1,依據(jù)行程問題中的思維方法解題；

2,不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動(dòng)物體；

3,路程的單位是分格（表一周為60分格）；

4,時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過的時(shí)間；

合理利用行程問題中的比例關(guān)系；

小升初奧數(shù)學(xué)問點(diǎn)講解

年齡問題的三大特征

年齡問題：已知兩人的年齡，求若干年前或若干年后兩人年齡之間倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用

題，叫做年齡問題。

年齡問題的三個(gè)基本特征：

①兩個(gè)人的年齡差是不變的；

②兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)削減的；

③兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變更的；

解題規(guī)律：抓住年齡差是個(gè)不變的數(shù)（常數(shù)），而倍數(shù)卻是每年都在變更的這

個(gè)關(guān)鍵。

例：父親今年54歲，兒子今年18歲，幾年前父親的年齡是兒子年齡的7倍？

⑴父子年齡的差是多少？

54-18=36（歲）

⑵幾年前父親年齡比兒子年齡大幾倍？

7-1=6

⑶幾年前兒子多少歲？

364-6=6（歲）

⑷幾年前父親年齡是兒子年齡的7倍？

18-6=12（年）

答：12年前父親的年齡是兒子年齡的7倍。

歸一問題特點(diǎn)

歸一問題的基本特點(diǎn)：

問題中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速

度”……等詞語來表示。

關(guān)鍵問題：依據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；

復(fù)合應(yīng)用題中的某些問題，解題時(shí)需先依據(jù)已知條件，求出一個(gè)單位量的數(shù)

值，如單位面積的產(chǎn)量，單位時(shí)間的工作量，單位物品的價(jià)格，單位時(shí)間所行

的距離等等，然后，再依據(jù)題中的條件和問題求出結(jié)果。這樣的應(yīng)用題就叫做歸

一問題，這種解題方法叫做“歸一法”。有些歸一問題可以實(shí)行同類數(shù)量之間進(jìn)行

倍數(shù)比較的方法進(jìn)行解答，這種方法叫做倍比法。

由上所述，解答歸一問題的關(guān)鍵是求出單位量的數(shù)值，再依據(jù)題中“照這樣計(jì)

算”，“用同樣的速度”等句子的含義，抓準(zhǔn)題中數(shù)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，列出算式，

求得問題的解決。

植樹問題總結(jié)

植樹問題

基本類型：

在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹

在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹

在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹

封閉曲線上植樹

基本公式：

棵數(shù)二段數(shù)+1

棵距X段數(shù)二總長

棵數(shù)二段數(shù)一1

棵距X段數(shù)二總長

棵數(shù)二段數(shù)

棵距X段數(shù)二總長

關(guān)鍵問題：

確定所屬類型，從而確定棵數(shù)及段數(shù)的關(guān)系

盈虧問題

盈虧問題

基本概念：確定量的對(duì)象，依據(jù)某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：依據(jù)另一種標(biāo)

準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于

分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮?/p>

總量.

基本思路：先將兩種支配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變

更，依據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加支配的總份數(shù)，然后依據(jù)題意求出對(duì)象的總量.

基本題型：

①一次有余數(shù)，另一次不足；

基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）+兩次每份數(shù)的差

②當(dāng)兩次都有余數(shù)；

基本公式：總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)）+兩次每份數(shù)的差

③當(dāng)兩次都不足；

基本公式：總份數(shù)=（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）一兩次每份數(shù)的差

基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。

關(guān)鍵問題：確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。

牛吃草問題

牛吃草問題

基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，依據(jù)兩次不同的吃法，求出其

中的總草量的差；再找出造成這種差異的緣由，即可確定草的生長速度和總草量。

基本特點(diǎn)：原草量和新草生長速度是不變的；

關(guān)鍵問題：確定兩個(gè)不變的量。

基本公式：

生長量二（較長時(shí)間X長時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間X短時(shí)間牛頭數(shù)）一（長時(shí)間-

短時(shí)間）；

總草量=較長時(shí)間X長時(shí)間牛頭數(shù)-較長時(shí)間X生長量;

平均數(shù)問題

平均數(shù)

基本公式：①平均數(shù)二總數(shù)量彳總份數(shù)

總數(shù)量二平均數(shù)X總份數(shù)

總份數(shù)二總數(shù)量+平均數(shù)

②平均數(shù)二基準(zhǔn)數(shù)+每一個(gè)數(shù)及基準(zhǔn)數(shù)差的和+總份數(shù)

基本算法：

①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進(jìn)行“算.

②基準(zhǔn)數(shù)法：依據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選及全部數(shù)比

較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求全部給出數(shù)及基準(zhǔn)數(shù)的差；

再求出全部差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最終求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的

和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式②

周期循環(huán)數(shù)

周期循環(huán)及數(shù)表規(guī)律

周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變更的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。

周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時(shí)間叫周期。

關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。

閏年：一年有366天；

①年份能被4整除；②假如年份能被100整除，則年份必需能被400整除；

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除：②假如年份能被100整除，但不能被400整除：

抽屜原理

抽屜原理

抽屜原則一：假如把（n+1）個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，則必有一個(gè)抽屜中至少

放有2個(gè)物體。

例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，則就有以

下四種狀況：

①4二4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1

視察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)覺一個(gè)共同特點(diǎn)：總有則一個(gè)抽屜里有

2個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是說必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。

抽屜原則二：假如把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n>m,則必有一個(gè)抽屜至

少有：

①k=[n/m]+1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。

②k二n/m個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。

理解學(xué)問點(diǎn)：[X]表示不超過X的最大整數(shù)。

例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)推屜

原貝J進(jìn)行運(yùn)算。

定義新運(yùn)算

定義新運(yùn)算

基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混

合）運(yùn)算。

基本思路：嚴(yán)格依據(jù)新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的

運(yùn)算，然后依據(jù)基本運(yùn)算過程，規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。

關(guān)鍵問題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。

留意事項(xiàng)：①新的運(yùn)算不確定符合運(yùn)算規(guī)律，特別留意運(yùn)算依次。

②每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中運(yùn)用。

數(shù)列求和

數(shù)列求和

等差數(shù)列：在一列數(shù)中，隨意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是確定的，這樣的一列數(shù)，就叫

做等差數(shù)列。

基本概念：首項(xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用a表示;

項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的全部數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示；

公差：數(shù)列中隨意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表示；

通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用也表示；

數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.

基本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：a,,an,d,n,sn,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)

量，假如己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，假如己知其中

三個(gè)，就可以求這第四個(gè)。

基本公式：通項(xiàng)公式：an=ai+(n—1)d；

通項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)一1)X公差；

數(shù)列和公式：Sn=(ai+an)Xn4-2；

數(shù)列和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))X項(xiàng)數(shù)+2；

項(xiàng)數(shù)公式：n=(a+aj4-d+l；

項(xiàng)數(shù)二(末項(xiàng)-首項(xiàng))+公差+1；

公差公式：d二(an—ai))4-(n—1)；

公差二(末項(xiàng)一首項(xiàng))+(項(xiàng)數(shù)-1);

關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定運(yùn)用的公式;

二進(jìn)制及其應(yīng)用

二進(jìn)制及其應(yīng)用

十進(jìn)制：用0?9十個(gè)數(shù)字表示，逢10進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含

義，十位上的2表示20,百位上的2表示200。所以

234=200+30+4=2X102+3X10-4o

=AnX1On-1+An-1X1On-2+An-2X10n-3+An-3X10n-4+An-4X10n-5+An-

6X10n-7+.......+A3X102+A2X101+A1X100

留意：NO二1；N1=N(其中N是隨意自然數(shù))

二進(jìn)制：用0?1兩個(gè)數(shù)字表示，逢2進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含

義。

(2)=AnX2n-l+An-lX2n-2+An-2X2n-3+An-3X2n-4+An-4X2n-5+An-

6X2n-7

+……+A3X22+A2X21+A1X20

留意：An不是0就是1。

十進(jìn)制化成二進(jìn)制：

①依據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為0,然后把每

次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。

②先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的2的

n次方，依此方法始終找到差為0,依據(jù)二進(jìn)制綻開式特點(diǎn)即可寫出。

加法原理

加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)

加法原理：假如完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有ml種不同方

法，在其次類方法中有m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不同方法，則

完成這件任務(wù)共有：ml+m2.............+mn種不同的方法。

關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法。

基本特征：每一種方法都可完成任務(wù)。

乘法原理：假如完成一件任務(wù)須要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有ml種方

法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種

方法，第n步總有mn種方法，則完成這件任務(wù)共有：mlXm2.............Xmn種不同

的方法。

關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟。

基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分。

直線：一點(diǎn)在直線或空間沿確定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。

直線特點(diǎn)：沒有端點(diǎn)，沒有長度。

線段：直線上隨意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。

線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長度。

射線：把直線的一端無限延長。

射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn)；沒有長度。

①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+…+(點(diǎn)數(shù)—1)；

②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+(射線數(shù)一1)；

③數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)二長的線段數(shù)X寬的線段數(shù)：

④數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)二1X1+2X2+3X3+…+行數(shù)X列數(shù)

質(zhì)數(shù)及合數(shù)

質(zhì)數(shù)及合數(shù)

質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做

素?cái)?shù)。

合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。

質(zhì)因數(shù)：假如某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，則這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用

短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。

分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N二，其中al,a2,a3...an都是合數(shù)N的質(zhì)

因數(shù)，且al

求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式:P=(rl+1)X(r2+l)X(r3+l)X...X(rn+1)

互質(zhì)數(shù)：假如兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1,這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

約數(shù)及倍數(shù)

約數(shù)及倍數(shù)

約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)，

公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做

這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。

最大公約數(shù)的性質(zhì)：

1,兒個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。

2,幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。

3,幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。

4,幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m,所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大

公約數(shù)乘以限

例如：12的約數(shù)有1,2,3,4,6,12；

18的約數(shù)有：1,2,3,6,9,18；

則12和18的公約數(shù)有：1,2,3,6；

則12和18最大的公約數(shù)是：6,記作(12,18)=6；

求最大公約數(shù)基本方法:

1,分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。

2,短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。

3,輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所

求的最大公約數(shù)。

公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做

這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

12的倍數(shù)有：12,24,36,48……；

18的倍數(shù)有：18,36,54,72……；

則12和18的公倍數(shù)有：36,72,108……；

則12和18最小的公倍數(shù)是36,記作[12,18]=36；

最小公倍數(shù)的性質(zhì)：

1,兩個(gè)數(shù)的隨意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

2,兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)及最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。

求最小公倍數(shù)基本方法：1,短除法求最小公倍數(shù)；2,分解質(zhì)因數(shù)的方法

數(shù)的整除

數(shù)的整除

一，基本概念和符號(hào)：

1,整除：假如一個(gè)整數(shù)a,除以一個(gè)自然數(shù)b,得到一個(gè)整數(shù)商c,而且沒

有余數(shù)，則叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。

2,常用符號(hào)：整除符號(hào).不能整除符號(hào)"”：因?yàn)榉?hào)“???”,所以

的符號(hào)“???”；

-,整除推斷方法：

1.能被2,5整除：末位上的數(shù)字能被2,5整除。

2.能被4,25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4,25整除。

3.能被8,125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8,125整除。

4.能被3,9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3,9整除。

5.能被7整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)及末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。

②逐次去掉最終一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)及末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整

除。

②奇數(shù)位上的數(shù)字和及偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。

③逐次去掉最終一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

7.能被13整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)及末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整

除C

②逐次去掉最終一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

三，整除的性質(zhì)：

1.假如a,b能被c整除，則（a+b）及（a-b）也能被c整除。

2.假如a能被b整除，c是整數(shù)，則a乘以c也能被b整除。

3.假如a能被b整除，b又能被c整除，則a也能被c整除。

4.假如a能被b,c整除，則a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

余數(shù)及其應(yīng)用

余數(shù)及其應(yīng)用

基本概念：對(duì)隨意自然數(shù)a,b,q,r,假如使得a+b=q...r,且0

余數(shù)的性質(zhì)：

①余數(shù)小于除數(shù)。

②若a,b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。

③a及b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以

c的余數(shù)。

@a及b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)及b除以c的余數(shù)的積除以c

的余數(shù)c

余數(shù)問題

余數(shù)，同余及周期

一，同余的定義：

①若兩個(gè)整數(shù)a,b除以m的余數(shù)相同，則稱a,b對(duì)于模m同余。

②已知三個(gè)整數(shù)a,b,m,假如m|a-b,就稱a,b對(duì)于模m同余，記作

a=b(modm),讀作a同余于b模m。

二，同余的性質(zhì)：

①自身性：a=a(modm)：

②對(duì)稱性：若a三b(modm),則b三a(modm)；

③傳遞性：若a三b(modm),b=c(modm),貝lja三c(modm)；

④和差性：若a三b(modm),c=d(modm),則a+c=b+d(modin),a-c=b-

d(modm)；

⑤相乘性：若a三b(modm),c=d(modm),則aXc三bXd(modm)；

⑥乘方性：若a三b(modm),則an三bn(modm)；

⑦同倍性：若a三b(modm),整數(shù)c,則aXc三bXc(modmXc)；

三，關(guān)于乘方的預(yù)備學(xué)問：

①若A=aXb.貝UMA=MaXb=(Ma)b

②若B=c+d則MB=Mc+d=McXMd

四，被3,9,11除后的余數(shù)特征：

①一個(gè)自然數(shù)M,n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M三n(mod9)或(mod

3)；

②一個(gè)自然數(shù)M,X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)

位上數(shù)字的和,則M三Y-X或M三11-(X-Y)(mod11)；

五，費(fèi)爾馬小定理：假如P是質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整

除，則apT三l(modp)。

分?jǐn)?shù)及百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用

分?jǐn)?shù)及百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用

基本概念及性質(zhì)：

分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。

分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)(0除外)，分?jǐn)?shù)的

大小不變。

分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。

百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。

常用方法：

①逆向思維方法：從題目供應(yīng)條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思索C

②對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量及它所占的率的干脆對(duì)應(yīng)關(guān)系。

③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)

換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分

率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。

④假設(shè)思維方法：為了解題的便利，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者

假設(shè)某種狀況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最終結(jié)果。

⑤量不變思維方法：在變更的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量

如何變更，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種狀況：A,重量發(fā)生變更，總

量不變。B,總量發(fā)生變更，但其中有的重量不變。C,總量和重量都發(fā)生變更，

但重量之間的差量不變更。

⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化，量率關(guān)

系明朗化。

⑦同倍率法：總量和重量之間依據(jù)同分率變更的規(guī)律進(jìn)行處理。

⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和重量都發(fā)生變更的狀況。

分?jǐn)?shù)大小的比較

分?jǐn)?shù)大小的比較

基本方法：

①通分分子法：使全部分?jǐn)?shù)的分子相同，依據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比

較。

②通分分母法：使全部分?jǐn)?shù)的分母相同,依據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比

較。

③基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使全部的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。

④分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差確定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)

值越大。

⑤倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變更時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上

方法外，可以用同倍率的變更關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運(yùn)用見同倍率變更規(guī)

律）

⑥轉(zhuǎn)化比較方法：把全部分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。

⑦倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。

⑧大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。

⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。

⑩基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)及基準(zhǔn)數(shù)比較。

完全平方數(shù)

完全平方數(shù)

完全平方數(shù)特征：

1.末位數(shù)字只能是：0,1,4,5,6,9；反之不成立。

2.除以3余0或余1；反之不成立。

3.除以4余0或余1；反之不成立。

4.約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立。

5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。

6.奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。

7.兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不行能再有平方數(shù)。

平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)

完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2

比和比例

比和比例

比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫

比的后項(xiàng)。

比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。

比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。

比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b二c:d或

比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積（交叉相乘），ad二be。

正比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的商不變時(shí)），則A

及R成正比C

反比例：若A擴(kuò)大或縮小兒倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時(shí)），則A

及E成反比。

比例尺：圖上距離及實(shí)際距離的比叫做比例尺。

按比例支配：把幾個(gè)數(shù)按確定比例分成幾份，叫按比例支配。

綜合行程問題

綜合行程

基本概念：行程問題是探討物體運(yùn)動(dòng)的，它探討的是物體速度，時(shí)間，路程

三者之間的關(guān)系.

基本公式：路程二速度X時(shí)間；路程-時(shí)間二速度；路程?速度二時(shí)間

關(guān)鍵問題：確定運(yùn)動(dòng)過程中的位置和方向。

相遇問題：速度和X相遇時(shí)間二相遇路程（請(qǐng)寫出其他公式）

追及問題：追剛好間=路程差+速度差（寫出其他公式）

流水問題：順?biāo)谐潭ù?水速）X順?biāo)畷r(shí)間

逆水行程二（船速-水速）義逆水時(shí)間

順?biāo)俣榷?水速

逆水速度二船速-水速

靜水速度二（順?biāo)俣?逆水速度）+2

水速二（順?biāo)俣?逆水速度）4-2

流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。

過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。

主要方法：畫線段圖法

基本題型：已知路程（相遇路程，追及路程），時(shí)間（相遇時(shí)間，追剛好

間），速度（速度和，速度差）中隨意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。

邏輯推理問題

邏輯推理

基本方法簡介：

①條件分析一假設(shè)法：假設(shè)可能狀況中的一種成立，然后依據(jù)這個(gè)假設(shè)去推

斷，假如有及題設(shè)條件沖突的狀況，說明該假設(shè)狀況是不成立的，則及他的相反狀

況是成立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在推斷過程中出現(xiàn)了沖突，則a確定是奇

數(shù)。

②條件分析一列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，須要多次假設(shè)才能完成時(shí)，就須要

進(jìn)行列表來幫助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長方形表格中，表

格的行，列分別表示不同的對(duì)象及狀況，視察表格內(nèi)的題設(shè)狀況，運(yùn)用邏輯規(guī)律

進(jìn)行推斷。

③條件分析一一圖表法：當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí),就可用連線表示兩

個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系，有連線則表示“是，有”等確定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定

的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有相識(shí)或不相識(shí)兩種狀態(tài)，有連線表示相識(shí)，沒有表

示不相識(shí)。

④邏輯計(jì)算：在推理的過程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)

的計(jì)算，依據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理供應(yīng)一個(gè)新的推斷篩選條件。

⑤簡潔歸納及推理：依據(jù)題目供應(yīng)的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方

法，并從特別狀況推廣到一般狀況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的解

決。

幾何面積

幾何面積

基本思路：

在一些面積的計(jì)算上，不能干脆運(yùn)用公式的狀況下，一般須要對(duì)圖形進(jìn)行割

補(bǔ)，平移，旋轉(zhuǎn)，翻折，分解，變形，重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的

圖形進(jìn)行計(jì)算；另外須要駕馭和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。

常用方法：

1.連幫助線方法

2.利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。

3.大膽假設(shè)（有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說的是隨意點(diǎn)，解題時(shí)可把隨意點(diǎn)設(shè)置在

特別位置上）。

4.利用特別規(guī)律

①等腰直角三角形，已知隨意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于

等腰直角三角形的面積）

②梯形對(duì)角線連線后，兩腰部分面積相等。

③圓的面積占外接正方形面積的78.5%o

時(shí)鐘問題——快慢表問題

時(shí)伊問題一，快慢表問題

基本思路：

1,依據(jù)行程問題中的思維方法解題；

2,不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動(dòng)物體；

3,路程的單位是分格（表一周為60分格）；

4,時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過的時(shí)間；

5,合理利用行程問題中的比例關(guān)系；

時(shí)鐘問題一一鐘面追及

時(shí)鐘問題一鐘面追及

基本思路：封閉曲線上的追及問題。

關(guān)鍵問題：①確定分針剛好針的初始位置；

②確定分針剛好針的路程差；

基本方法：

①分格方法：

時(shí)鐘的鐘面圓周被勻整分成60小格，每小格我們稱為