3.6圓內(nèi)接四邊形浙教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)同步練習(xí)

一'選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.如圖，。為線段8C的中點(diǎn)，點(diǎn)4C,D到點(diǎn)。的距離相等，若乙48c=40。，則乙WC的度數(shù)是（）

A.130°B.140°C.150°D.160°

2.如圖，四邊形488內(nèi)接于。。，連結(jié)BD.若h=成;，Z.BDC=50°,則〃DC的度數(shù)是（）

A.125°B.130°C.135°D.140°

3.如圖,已知四邊形48。。內(nèi)接于。。，^ABC=70°,則乙4OC的度數(shù)是（

A.70°B.110°C.130°D.140°

4.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,連結(jié)BD.若詫=詫，NBDC=50。，則〃DC的度數(shù)是（）

R

D

A.125°B.130°C.135°D.140°

5.如圖，點(diǎn)力，B,C,。在。。上，4c是。。的直徑，乙54c=40。，則匕。的度數(shù)為

A.40°B.50°C.60°D.90°

6.如圖，。0是回力BC的外接圓，且48=4。,444c=36。，在瓠WB上取點(diǎn)0（不與點(diǎn)48重合），連接

BD.AD,則乙8/1D4-匕力80的度數(shù)是（）

A.60°B.62°C.72°D.73°

7.如圖，點(diǎn)8,C,。在。。上，若4BCD=130。，則48。。的度數(shù)是（）

O

ID

B

C

A.96°B.98°C.102°D.100°

8.如圖，4B,C,￡）均在。。上，iBCD=54BAD,若BD=方,則48的長(zhǎng)最大為（）

A.3B.4C.2<3D.3x<2

9.如圖，四邊形48co內(nèi)接于。0,AB=AD,/.BCD=120°,E、F分別為8C、CD上一點(diǎn),乙EAF=

30c,EF=3,OF=1.則BE的長(zhǎng)為（）

B.2C.3D.4

10.如圖，四邊形4BCD是。。的內(nèi)接四邊形，四邊形48。。是平行四邊形，則下列

結(jié)論：?0B=AB；?Z.BCD=60°;@Z.BAD=120°;④CD=”0D，其中正

確結(jié)論有（）

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

11.如圖，圓心角乙4。8=110。，則乙4C8的度數(shù)是（）

A.70°B.55°C.125°D.130°

⑴求證：/.ABF=zCFD；

(2)若z8尸。=2NCFD,求*的值,

19.(本小題8分)

如圖，圓內(nèi)接四邊形48CD的對(duì)角線4C,BD交于點(diǎn)E,8。平分N48C,^BAC=^ADB.

(1)求證DB平分4ADC,并求/8力。的大??；

(2)過(guò)點(diǎn)C作"〃力。交力8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若4。=/W,BF=2,求此圓半徑的長(zhǎng).

20.(本小題8分)

【問(wèn)題情境】如圖，在△4BC中ZACS=90。，/-ABC=30°,4c=2,點(diǎn)。是4B的中點(diǎn)，點(diǎn)O,E分別是邊

CB,40上的動(dòng)點(diǎn)，且DE=AC,以DE為直角邊，在8c上方作&△CEF,使得/ED尸=90。，/-DFE=

30。，OF與48交于點(diǎn)H,連接8F.

備用圖

【問(wèn)題提出】

(1)當(dāng)E/7/BC時(shí)，乙DEB=

(2)當(dāng)匕DHE=75。時(shí)，求此時(shí)4E的長(zhǎng):

【問(wèn)題探究】

(3)在點(diǎn)。，E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中.

①6EBF的大小是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由：

②四邊形08FE的面積是否存在最大值？若存在，直接寫(xiě)出最大值；若不存在，說(shuō)明理由.

21.(本小題8分)

如圖，四邊形/BCD是。。的內(nèi)接四邊形，且4C_L80,垂足為E,AB=DB,F為0C延長(zhǎng)線上一點(diǎn).

(1)求證：8c平分-6；

(2)若BE=3,DE=2,求4E和0。的半徑長(zhǎng).

22.(本小題8分)

【問(wèn)題情境】如圖，在△4BC中乙4cB=90。，^ABC=30°,AC=2,點(diǎn)。是八8的中點(diǎn)，點(diǎn)、D,E分別是邊

CB,4。上的動(dòng)點(diǎn)，RDE=AC,以DE為直角邊，在BC上方作/?￡△OEF,使得NEO尸二90。，乙DFE=

30°,DF與AB交于點(diǎn)H,連接B￡

【問(wèn)題提出】

(1)當(dāng)EF//BC時(shí)，乙DEB=°;

(2)當(dāng)4=75°時(shí)，求此時(shí)4E的長(zhǎng)；

【問(wèn)題探究】

(3)在點(diǎn)。，E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中.

①ZE8”的大小是否為定值?如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值;如果不是，請(qǐng)說(shuō)明埋由;

②四邊形DBrE的面積是否存在最大值?若存在，直接寫(xiě)出最大值;若不存在，說(shuō)明理由.

23.(本小題8分)

如圖，在△力CB中，“=90。,將△4CB繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,可得到△ADE.請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成以

下作圖(保留作圖痕跡).

(1)在圖1中，作出4c4。的平分線；

(2)在圖2中，作出線段8E的中點(diǎn).

24.(本小題8分)

已知，四功形力8C0內(nèi)接于0。，4B為0。育.徑，40與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,4c平分與BD相

交于點(diǎn)F.

(1)如圖1,若檢=前，求證：AF=BE；

(2)如圖2,若。E=4,CE=6,求。0的半徑.

圖1圖2

25.(本小題8分)

如圖，四邊形4BCD是。。的內(nèi)接四邊形.D8平分/ADC,連接OC,OC1BD.

D

(1)求證：AB=CD：

(2)若41=66。，求乙的度數(shù).

答案和解析

1.【答案】B

U豺斤】略

2.【答案】B

【解析】解：連接。4OB,0C,

vZ.BDC=50°,

Z.BOC=2ABDC=100°,

???AC=BC^

:.Z.BOC=乙4OC=100°,

/.ABC=^/-AOC=50°,

￡ADC=180°-Z-ABC=130°.

故選:B.

連接。力，OB,OC,根據(jù)圓周角定理得出4BOC=100。，再根據(jù)祀=詫得到乙1OC,從而得到-18C,最

后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到結(jié)果.

本題考查了圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于畫(huà)出半徑，構(gòu)造圓心

角.

3.【答案】B

【解析】略

4.【答案】B

【解析】略

5.【答案】B

【解析】解：?.?4C是。。的直徑，

???/.ABC=90°,

vZ.BAC=40°,

:.LC=90°-40°=50°,

由圓周角定理得，zD=zC=50%

故選：B.

根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到4=90。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出NC,根據(jù)圓周角定理解答即

可.

本題考查的是圓周角定理，掌握同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等、直徑所對(duì)的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵.

6.【答案】C

【解析】【分析】

本題考杳了三角形的外接圓與外心，等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四動(dòng)形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性

質(zhì)，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

利用等腰三角形的性質(zhì)可得=ZT=72°,從而利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求出ND=108。，然后利

用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】

解：??TB=AC,Z.BAC=36°,

A/.ABC=zC=72°,

???匹邊形/W8C是圓內(nèi)接四邊形，

:.LD+Z.C=180°>

AZ.D=180°-ZC=180°-72°=108°,

在么48。中，???Z.BAD+Z.ABD+Z.D=180°,

A/.BAD4-乙ABD=180°-zD=180°-108°=72°,

故選：C.

7.【答案】D

【解析】【分析】

本題考杳了圓周角的性質(zhì)與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，首先圓上取一點(diǎn)4連接"8,AD,根據(jù)圓的內(nèi)接四邊

形的性質(zhì)，即可得NBAD+々BCD=180。，即可求得NBA。的度數(shù)，再根據(jù)圓周角的性質(zhì)，即可求得答

案.

【.解答】

解：圓上取一點(diǎn)力，連接48,AD,

；點(diǎn)八、B,C,。在0。上，Z-BCD=130°,

/.BAD=50°,

."BOD=100°,

故選

8.【答案】C

【解析】解：如圖，連接。8、OD,

?.?匹邊形/BCD為O0內(nèi)接四邊形，

:.乙BCD+乙BAD=180°,

vZ.BCD=5Z.BAD,

:./.BAD=30°,

由圓周角定理得：^BOD=2LBAD=60°,

OB=OD,

.?.△8。。為等邊三角形，

:.OB=BD=V_3，

當(dāng)48為。。的直徑時(shí)，4B最大，最大值為24，

故選：C.

連接。8、OD,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出乙BAD,根據(jù)圓周免定理求出/BOD,再根據(jù)等邊三角形的判

定和性質(zhì)解答即可.

本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟記圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互

補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

9.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造輔助線得到全等三角形的問(wèn)題的關(guān)鍵與

難點(diǎn).

延長(zhǎng)到H,使8H=DF=1,連接力H,則可證得△48Hg△71。尸，從而4,=4F,/.BAH=^DAF,易

證絲△AFE,可得HE=EF=3,則可求得BE的長(zhǎng).

【解答】

解：延長(zhǎng)CB到“，使8H=DF=1,連接4”，如圖，

???匹邊形力BC0內(nèi)接于O。，

/.ABC+Z-ADC=180°,

-Z.ABH+AABC=180°,

:.￡ABH=乙4。尸，

在么48H和△4。尸中，

AB=AD

乙ABH=乙ADF,

BH=DF

:.AH=AF,Z,BAH=Z.DAF,

vZ.BAD+乙BCD=180°,乙BCD=120°,

A/.BAD=180°-乙BCD=60°,

v￡EAF=30°,

:./BAE4-Z.DAF=乙BAD-LEAF=30°,

二Z.EAH=/.BAE+乙BAH=30°.

在和△AFE中,

AH=AF

Z.EAH=Z.EAF,

AE=AE

???△AHE=^AFE,

HE="=3,

BE=HE-BH=3—1=2.

10.【答案】C

【解析】解:連接。力，

???匹邊形480D是平行四邊形，OD=OB,

.?.匹邊形力80D是菱形，

OB=AB,

故①正確；

v0A=OB=AB,

.?.△48。是等邊三角形，

Z.AOB=60°,

???匹邊形力80D是菱形，

乙BOD=2Z.AOB=120°,

:.乙BCD=之乙BOD=60°,

故②正確；

???匹邊形480。是菱形，

:./.BAD=(BOD=120°,

故③正確；

???C的位置不確定，C。長(zhǎng)在變化，半徑。。的長(zhǎng)不變,

???CD和OD沒(méi)有確定的數(shù)量關(guān)系，

④錯(cuò)誤.

.??正確的結(jié)論是①②③，共有3個(gè).

故選：C.

由四邊形48。。是平行四邊形，OD=OB,判定四邊形4B。。是菱形，得到。3二力氏由△RB。是等邊三角

形得到4408=60。，由四邊形4B。。是菱形，得至?叱8。。=244。8=120。，由圓周角定理得到NBCO二

=60°,由菱形的性質(zhì)得到乙區(qū)4。==120。，。。和。。沒(méi)有確定的數(shù)量關(guān)系.

本胭考查圓周角定理，菱形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是判定四邊形力8。。是菱形，得到/8。。=120。.

11.【答案】C

【解析】解：如圖，在優(yōu)弧?上取一點(diǎn)。，連接40、BD,

?:乙A0B=110°,(/o\\

???￡ADB=\z.AOB=55°,

2

???爾。、B、C四點(diǎn)共圓，

/.ACB+Z.ADB=180°,

A/.ACB=180。-55。=125°,

故選：C.

在優(yōu)弧卷上取一點(diǎn)D，連接力D、BD,根據(jù)圓周角定理求出4D,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出N4DB+

2ACB=180。，代入求出即可.

本題考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，能根據(jù)圓周角定理得出乙4DB=g乙4。8是解此題的關(guān)鍵.

12.【答案】C

【解析】【分析】

此題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理.

先根據(jù)圓周角定理求得NO的度數(shù)，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出449C的度數(shù)即可.

【解答】

解：???A8CD是。。的內(nèi)接四邊形，且24。。=160。，

^ADC=^AAOC=80°,

:.4ABC=180O-Z.ADC=180°-80°=100°,

故選：C.

13.【答案】30?；?50。

【解析】【分析】

本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)點(diǎn)C所在

位置進(jìn)行分類討論.根據(jù)題意得到/8=。4=。8=2,目力。8是等邊三角形，進(jìn)而得到2力08=60。，由

點(diǎn)C所在位置進(jìn)行分類討論，根據(jù)圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，分別計(jì)算，即可求解，

【解答】

解：如圖:

???EMOB是等邊三角形，

:.Z.AOB=60°,

當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧人08上時(shí)，Z.ACB=\LAOB=30°,

當(dāng)點(diǎn)C在劣弧G上時(shí)，

?.?匹邊形4CBC'是。。的內(nèi)接四邊形，

，NAC'B+，AC8=180。，

???LAC'B=180°-Z.ACB=150°,

故答案為30°或150。

14.【答案】50°

【解析】解：連接BC、OC,如圖，

???四邊形力8CE為0。的內(nèi)接四邊形，

:./.ABC+￡.E=180°,

v￡ABD+ZE=155°,

Z.CBD=180°-155。=25°,

:.乙COD=2乙CBD=50°,

.?.弧CD的度數(shù)為50。.

故答案為：50°.

連接BC、OC,先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)418C+NE=180。，則可計(jì)算出4C80=25。，接著根據(jù)圓周

角定理得到，C。。=50。，然后利用圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù).

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的

一半.也考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系.

15.【答案】45°或135。

【解析】【分析】

本題考查了圓周角定理和勾股定理的逆定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理和勾股

定理的逆定理是解本題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意畫(huà)出圖形，連接。4和0B,先根據(jù)勾股定理的逆定理得出"1。8=90。，再根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)

接四邊形的性質(zhì)求出即可.

【解答?】

解：連接。力、OB,C為優(yōu)弧48上一點(diǎn)，。為劣弧48上一點(diǎn)，如圖所示：

-AB=/2,

由于12+12=(/1)2,^OA2+OB2=AB2,

二Z.AOB=90°,

:.乙ACB=^AOB=45°,

:./.ADB=180°-^.ACB=135°,

即弦力8對(duì)的圓周角的度數(shù)是45?；?35。.

16.【答案】20

【解析】【分析】

本題考查的是圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟知直徑所對(duì)的圓周角是直角是解

題的關(guān)鍵.

根據(jù)圓周角定理及已知可求得乙8的度數(shù)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求得乙A0C的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)

角和公式即可求得乙ZMC的度數(shù).

【解答】

解：???48是半圓。的直徑，

AZ.ACB=90°,

?SAC=50°,

LB=90”-50°=40°.

???乙40c=180°-40°=140°.

AD=DC.

180°-140°

???Z.DAC=Z.DCA==20°.

2

故答案為：20.

17.【答案】略

【解析】略

18.【答案】(1)證明：-Z-BFC=^BAC+/-ABF,ABADZ-BAC+Z.CAD,

又；乙BFC=乙BAD,

:.Z.BAC+Z.ABF=Z.BAC4-Z.CAD,

^LABF=Z-CAD,

vZ.CAD=乙CBD,

???乙ABF=乙CBD,

(2)解：作FG18C于G,如卜圖所示:

A

vAB=AD,

:./ABD=Z.ADB,

又?.LACB=乙ADB,

二Z.ABD=Z.ACB,

由(1)可知：Z.ABF=￡.CBD,

AZ.ABF+乙DBF=乙CBD+乙DBF,

即，4BD=乙CBF,

???Z.ACB=乙CBF,

BF=CF,

vFG1BC,

:.乙BFC=2乙CFG,BC=2CG,

???/.BFC=2乙CFD,

AZ.CFG=乙CFD,

vZ.ACB=Z.ADB,Z.ACD=Z.ABD,Z.ABD=LADB,

:.Z.ACB=Z.ACD,

在ZiCrG和△"/)中，

2CFG=LCFD

CF=CF,

Z.ACB=Z.ACD

.-.△CFG^ACFD(ASA),

???CG=CD,

ABC=2CD,

即CD：BC=1：2,

vZ.ABF=Z-CBD,乙BAF=LBDC,

BAFsxBDC,

.-./IF：CD=BF：BC,

即4F：BF=CD：BC=1：2,

BF=2AF,

???BF=CF,

CF=2AF,

AC=AF+CF=3AF,

AF1

AAC=3'

【解析】(1)根據(jù)4B"=。及三角形的外角定理得，力BF再根據(jù)乙&4。="80可得出結(jié)

論；

(2)作FG_L8C于G,先證明44C8=NC8/得BF=C尸，W\z.BFC=2/.CFG,BC=2CG,進(jìn)而得4(TG=

乙CFD,由此可證明△(?產(chǎn)G和△CFD全等，則CG=CD,進(jìn)而得CD：BC=1：2,然后證明△尸BDC

得"：BF=CD：BC=1：2,則BF=CF=24幾進(jìn)而得AC=A尸+C尸=34凡據(jù)此可得空的值.

Z1C

此題主要考查了圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的

判定和性質(zhì)，理解圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形三角形的判定和性質(zhì)，相

似三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

19.【答案】(1)解：?.?/84。=〃即

AB=BC,

ALADB=Z.CDB,即D8平分44DC.

???8D平分〃8C,

:.Z.ABD=乙CBD,

AD=CD,

AB+AD=BC+CD,即

BAD=BCD,

BO是直徑，

."BAD=90°.

(2)解：???，84Z)=90°,CF//AD,

???ZF+LBAD=180°,則=90°.

-AD=CD,

:.AD=DC.

-AC=AD,

AC=AD=CD,

.??△4DC是等邊三角形，則乙4DC=60°.

vBD平分/ACC,

:.￡CDB=^￡ADC=30°.

v8。是直徑，

:?乙BCD=9?！?則BC=；BD.

???匹邊形ABC。是圓內(nèi)接四邊形，

Z.ADC+^ABC=180°,則N46C=120°,

乙FBC=60°,

ZFCF=90°-60°=30%

:.FB=；BC.

VBF=2,

BC=4,

???BD=2BC=8.

???8。是直徑，

???此網(wǎng)半徑的長(zhǎng)為4.

【解析】【分析】(1)根據(jù)已知得出Q=徐，則乙408二乙。。2,即可證明08平分44%1,進(jìn)而根據(jù)

BD平分乙48C,得出俞=CD,推出瓦而=BCD,得出8D是直徑，進(jìn)而可得N84Q=90。；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論結(jié)合已知條件得出，LF=90\△4)C是等邊三角形，進(jìn)而得dUCZ)B=g41Z)C=

30°,由BD是直徑，根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)可得8。=為。，在RMB”中，根據(jù)含30。角的直

角三角形的性質(zhì)求得BC的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解.

20.【答案】解：(1)30.

(2)過(guò)點(diǎn)E作EM14C,ENA.BC得矩形EMCN,

vZ.DHE=75°,

??"￡77=90°-75°=15°

￡DEN=45°,4力EM=30°

???DE=2

EN=CM=y[2,AM=AC-CM=AC-FN=2-

4E=24M=4-2<I;

(3)①作△￡1/)/的外接圓，

V￡DBE=30°,^DFE=30°

.?.點(diǎn)B在△ED尸的外接圓上.

Z.EDF=乙EBF=90°

即ZEBF是定值.

②存在最大值為：3c.

【解析】【分析】

本題是三角形綜合，主要考查平行線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的判定，三

角形的面枳，等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，添加輔助線構(gòu)造I員的的內(nèi)接四

邊形和直角三角形是關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)即可解答；

(2)過(guò)點(diǎn)E作EM_LAC,ENJ.BC得得矩形EMCN,根據(jù)4OHE=75。，得NDE，=15。、zDF/V=45\

^AEM=30。，然后根據(jù)的等腰直角三角形和含30。角的直角三角形的性質(zhì)即可解答；

(3)①作△EDF的外接圓，根據(jù)ND8E=30。，4山吐1=30。得點(diǎn)8在△EDr的外接圓上，然后根據(jù)圓周角定

理得NED尸=Z.EBF=90°即可解答；

②當(dāng)“〃BC時(shí)，四邊形。8內(nèi)?的面積最大.過(guò)點(diǎn)F作FH18c交CB延長(zhǎng)線于H,先根據(jù)含30度角的直角三角

形的性質(zhì)求得?？谠俑鶕?jù)等腰三角形的判定得DE=DB=2、LFDB=30°,求得尸”==G最后

根據(jù)S四邊形BDEF=SAEDF+48DF計(jì)算即可解答.

【解答】

解：(1)???乙ACB=乙EDF=90°,乙ABC=乙DFE=30°,DE=AC

ACB=△EDF,

"ED=z/1=60°,

???EF"BC,

A/.FEB=Z.ABC=30°,

:.乙DEB=乙FED-乙FEB=60°-30°=30°.

（2）見(jiàn)答案；

（3）a）見(jiàn)答案；

②當(dāng)“〃BC時(shí)，四邊形D8FE的面積最大.過(guò)點(diǎn)F作FH1"交CB延長(zhǎng)線于H,

A

CDBH

?.?△ECr中乙ED/=90°,zFFD=30°,DE=2,

:.DF=20，

由(1)可知=Z.ABC=30°,

:.DE=DB=2,2EDB=180°-乙ABC-乙DEB=120°,

乙FDB=120°-90°=30°,

FH靈DF=/3,

：,=、

S&EDF=10E-DF=1X2X2/3=2gS^BDFDB.FH=/2x0=g

S四邊形BDEF=S>EDF+S&BDF=2Y3+V-3=3V-3.

.??匹邊形。8/E的面積存在最大值，最大值為3c.

21.【答案】(1)證明：???AB=DB,

:.Z.ADB=Z.BAD,

?.?乙4DB與乙4cB是同弧所對(duì)的圓周角，

Z.ADB=Z-ACB,

?.?匹邊形力8CD是圓內(nèi)接四邊形，

:.CBAD+乙BCD=180°,

vZ.BCF+乙BCD=180°,

:.Z.BCF=Z.BAD,

Z.ACB=Z-BCF>

???3C平分4心；

(2)解：?.?BE=3,DE=2,

:.BD=3+2=5,

vAB=DB,

:.AB=5,

在At△ABE中，AE=AB2-BE2=V52-32=4，

在RC△4DE中，AD=AE2+DE2=V42+22=2/5,

連接8。并延長(zhǎng)交O。于點(diǎn)M,交線段4D于點(diǎn)N,連接。D,

是O。的直徑，

:.BM平分圓，

vAB=DB

AB=DB，

AM=DB

.?.點(diǎn)N是4D的中點(diǎn)，

???8M140,DN=gAD=后,

在At△BDN中，BN=BD2-DN2=J52-(<5)2=2/5?

設(shè)0。的半徑為r,則00=r,ON=BN-丫=26一丫，

在Rt^OON中，DN2+ON2=0D2,

即(V-5)2+(2y/~5—r)2=r2?

解得「=乎.

4

【解析】本題考查的是圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，角平分線的判定有關(guān)知

識(shí).

(1)先根據(jù)左8=得出乙AD8=LBAD,再由圓周角定埋得出/A08=乙ACB，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可

得出NBCF=ZB4D,OLAACB=LBCF,據(jù)此得出結(jié)論；

(2)根據(jù)BE=3,DE=2可得出8D的長(zhǎng)，故可得出力8的長(zhǎng)，在Rt/iABE中，利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，

同理可得出力。的長(zhǎng)，連接8。并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)M,交線段力。于點(diǎn)N,連接。D,由垂徑定理得出8M_L

AD,故點(diǎn)N是40的中點(diǎn)，利用勾股定理求出8N的長(zhǎng)，設(shè)。。的半徑為r,在Rt△0Z)N中利用勾股定理列

方程求出r的值即可.

22.【答案】解：(1)30.

(2)過(guò)點(diǎn)E作EM1.4C,EN工BC得矩形EMCN,

vZ.DHE=75°,

:.3EH=90°-75°=15°

:.乙DEN=45°,Z.AEM=30°

???DE=2

EN=CM=AM=AC-CM=AC-FN=2-yjl,f

4E=24M=4-2/1;

(3)①作△EOF的外接圓，

?：￡DBE=30°,乙DFE=30°

.?.點(diǎn)B在△ED尸的外接圓上.

:.iEDF=乙EBF=90°

即/EB尸是定值.

②存在最大值為：3/3.

【解析】【分析】

本題是三角形綜合，主要考查平行線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的判定，三

角形的面積，等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，添加輔助線構(gòu)造圓的的內(nèi)接四

邊形和直角三角形是關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)即可解答；

(2)過(guò)點(diǎn)E作EM1AC,EN18C得得矩形EMCN,根據(jù)zOHE=75°,得iDEH=15。、Z-DEN=45\

Z-AEM=30°,然后根據(jù)的等腰百角三角形和含30。角的百角三角形的性質(zhì)即可解答：

(3)①作△EOF的外接圓，根據(jù)〃BE=30。，〃/E=30。得點(diǎn)8在△EDr的外接圓上，然后根據(jù)圓周角定

理得NEOF=乙EBF=90°即可解答；

②當(dāng)"7/BC時(shí)，四邊形DBFE的面積最大.過(guò)點(diǎn)廣作尸H1BC交CB延長(zhǎng)線于”，先根據(jù)含30度角的直角三角

形的性質(zhì)求得OF,再根據(jù)等腰三珀形的判定得DE=。8=2、乙FDB=30%求得尸”==<3,最后

根據(jù)S四龍形BDEF=SAE"+5加"計(jì)算即可解答?

【解答】

解：(1)???/-ACB=乙EDF=90°,^ABC=乙DFE=30°,DE=AC

???△ACB=△EDF,

:.乙FED=心=60°,

vEF//BC,

:.乙FEB=Z.ABC=30°,

乙DEB=乙FED-乙FEB=60°-30°=30°.

(2)見(jiàn)答案；

(3)①見(jiàn)答案；

②當(dāng)“〃BC時(shí)，四邊形D8FE的面積最大.過(guò)點(diǎn)F作FH18c交CB延長(zhǎng)線于”,

A

E

F

CDBH

???△￡10尸中乙EO尸二9(r,Z.EFD=30%DE=2,

???DF=2/3，

由(1)可知4DEB=/.ABC=30°,

DE=DB=2,乙EDB=180°-乙ABC-乙DEB=120°,

zFD5=120°-90°=30°,

FH=^DF=/3,

：?S&EDF=1