《三角形的內(nèi)角（第一課時）》教案教學目標教學目標：理解三角形內(nèi)角和定理.從度量、剪圖、拼圖等多角度認識三角形內(nèi)角和定理，體會證明的必要性.經(jīng)歷實驗活動的過程，獲取添加輔助線的思路和方法，能用平行線的性質(zhì)證明三角形內(nèi)角和于180°，發(fā)展幾何直觀和邏輯推理，體驗由試驗幾何到論證幾何的研究過程.在觀察、實驗、猜想、驗證、推理等數(shù)學活動中，培養(yǎng)探索精神，獲得豐富的情感體驗.教學重點：探索并證明三角形內(nèi)角和定理.教學難點：添加輔助線證明三角形內(nèi)角和定理.教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動課前準備三角形紙片，剪刀，量角器，直尺3分鐘動手操作問題1在小學我們已經(jīng)知道任意一個三角形的三個內(nèi)角的和等于180°,你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論的嗎？請大家利用手中的三角形紙片進行探究.有的同學利用量角器度量一個三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)，計算這三個內(nèi)角的和.但是，在度量的過程中，往往會有誤差；有的同學通過剪圖、拼圖的方法得出結(jié)論，如圖1、圖2、圖3、圖4；還有的同學是通過折疊的方法得出結(jié)論，如圖5.形狀不同的三角形有無數(shù)個，我們不可能用這些方法一一驗證所有的三角形的內(nèi)角和等于180°，我們采用的這些“驗證”不是“數(shù)學證明”，不能完全讓人信服，所以，需要通過推理的方法來證明：任意一個三角形的三個內(nèi)角的和等于180°.圖1圖2圖3圖4圖5根據(jù)數(shù)學證明的一般過程，先任意畫一個三角形ABC，結(jié)合圖形，寫出已知和求證.已知：△ABC求證：∠A+∠B+∠C=180°.觀察發(fā)現(xiàn)，圖1、圖2是將∠B和∠C剪下分別拼在∠A的左右，圖3、圖4是將∠A和∠B剪下分別拼在∠C的左右，圖5是通過折疊，將三個角拼合到一起，不論是哪種方法，都是要將三個角拼合在一起.拼合到一起的目的是什么呢？為了得到了一個平角.有了平角，根據(jù)平角定義，就得到了180°.12分鐘推理驗證問題2從這個操作過程中，你受到怎樣的啟發(fā)？你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？具體的，在圖1中，∠B和∠C分別拼在∠A的左右，三個角合起來形成一個平角，出現(xiàn)了一條過點A的直線l，直線l與邊BC有什么位置關(guān)系？是平行.問題3在操作過程中，我們發(fā)現(xiàn)了與邊BC平行的直線l，由此，你又能受到什么啟發(fā)？能發(fā)現(xiàn)證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”的思路嗎？找到方法：可以通過添加與邊BC平行的輔助線l，利用平行線的性質(zhì)和平角的定義即可證明結(jié)論.根據(jù)拼合過程的啟發(fā)，我們找到了第一種證明方法.證明：過點A作直線l，使得l∥BC.∵l∥BC，∴∠2=∠4(兩直線平行，內(nèi)錯角相等).同理∠3=∠5.∵∠1，∠4，∠5組成平角，∴∠1+∠4+∠5=180°(平角定義).∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代換).以上我們就證明了任意一個三角形的三個內(nèi)角的和等于180°，得到如下定理：三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180°．在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.有的同學說，我是將剪下的兩個角拼在了第三個角的同一側(cè)，這樣也能形成一個平角，也就是下圖的形式．問題4你能模仿前面的證明過程，用這名同學提供的方法證明此定理嗎？證明：延長BC，過點C作直線l，使得l∥AB.∵l∥BC，∴∠1=∠4(兩直線平行，內(nèi)錯角相等).∠2=∠5(兩直線平行，同位角相等).∵∠3，∠4，∠5組成平角，∴∠3+∠4+∠5=180°(平角定義).∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代換).問題5通過前面的操作和證明過程，你能受到什么啟發(fā)？你能用其他方法證明此定理嗎？從以上的操作和證明過程中，我們發(fā)現(xiàn)，利用平行線的性質(zhì)轉(zhuǎn)移角，利用平角的定義得到180°，從而完成證明．除了過頂點作對邊的平行線外，我們也可以在三角形的邊上任取一點P分別作兩邊的平行線，或者在三角形的內(nèi)部或外部任取一點，分別作三邊的平行線，將三角形的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個平角，然后進行證明．這么多方法都是在圖1、圖3的操作基礎(chǔ)上探索出來的，而圖2、圖4、圖5則需要我們以后學習了新的幾何知識（全等三角形及軸對稱、旋轉(zhuǎn)等內(nèi)容），再驗證它們的合理性．有的同學說，構(gòu)造平角就是為了得到180°，那么我還有另外一種得到180°的方法，不用移兩個角、三個角，我只需要移一個角．證明：過點C作CD∥AB.則∠4=∠1(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∠2+∠BCD=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)即∠2+∠3+∠4=180°∴∠2+∠3+∠1=180°(等量代換).還有的同學說，我和他的方法類似，也只需要移動∠A．證明：過點B任意作一條直線BD，分別過點A、C作BD的平行線AE、CF則CF∥AE∥BD∠1=∠2，∠3=∠4(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∠DBC+∠BCF=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)即∠1+∠ABC+∠ACB+∠4=180°∴∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°(等量代換).歸納：得到180°的方法有，平角定義或者兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.5分鐘簡單應用練習1求出下列圖形中的x的值：通過簡單計算，進一步熟悉三角形內(nèi)角和定理．例如圖，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°，AD是△ABC的角平分線．求∠ADB的度數(shù)．分析：∠ADB是△ABD的一個內(nèi)角，在△ABD中，∠B=75°，如果能得到∠BAD的度數(shù)，就能求出∠ADB的度數(shù)．由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分線，很容易得到∠BAD=20°．（根據(jù)分析寫出解答過程，后出規(guī)范格式）由這道例題，我們進一步明確在一個三角形中，已知兩個角的度數(shù)，就可以利用三角形內(nèi)角和定理，求出第三個角的度數(shù)．練習2如圖，一種滑翔傘的形狀是左右對稱的四邊形ABCD,其中∠A=150°,∠B=∠D=40°,求∠C的度數(shù)．提示：由四邊形ABCD左右對稱得∠BAC=∠DAC=75°.再由∠ACB=180°-∠BAC-∠B求出∠ACB的度數(shù).2分鐘課堂小結(jié)1、本節(jié)課學習了哪些主要內(nèi)容？2、為什么要用推理的方法證明“三角形的內(nèi)角和等于180°?3、你是怎么找到三角形內(nèi)角和定理的證明思路的？我們在剪拼圖形的過程中受到啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)了添加輔助線，證明定理的方法.而數(shù)學的歷史也是同樣的發(fā)展軌跡，古希臘幾何學鼻祖泰勒斯也通過類似的活動，發(fā)現(xiàn)了三角形內(nèi)角和的結(jié)論；畢達哥拉斯就是用該方法證明這一定理的．泰勒斯拼圖驗證畢達哥拉斯的證法歐幾里得的證法普羅克拉斯方案布置作業(yè)教科書第16頁習題11.2第1題、第3題．知能演練提升一、能力提升1.在△ABC中,∠A=55°,∠B比∠C大25°,則∠B的度數(shù)為()A.50° B.75° C.100° D.125°2.如圖,CD∥AB,∠1=120°,∠2=80°,則∠E等于()A.40° B.60°C.80° D.120°3.如圖,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,CD平分∠ACB,則∠ADC的度數(shù)是()A.80° B.90° C.100° D.110°4.在△ABC中,若∠A=∠B+∠C,則∠A的度數(shù)是.

5.如圖,點B,C,D在同一條直線上,CE∥AB,∠ACB=90°.如果∠ECD=36°,那么∠A的度數(shù)是.

6.如圖,一個直角三角形紙片,剪去直角后,得到一個四邊形,則∠1+∠2的度數(shù)是.7.在△ABC中,若最大角∠A等于最小角∠C的兩倍,最大角又比另一個角大20°,則△ABC的三個角的度數(shù)分別是多少?8.如圖,E是△ABC中邊AC上的一點,過點E作ED⊥AB,垂足為D.若∠1=∠2,則△ABC是直角三角形嗎?為什么?9.如圖,在△ABC中,D是BC上一點,F是BA延長線上一點,連接DF交AC于點E,且∠B=42°,∠C=59°,∠DEC=47°,求∠F的度數(shù).二、創(chuàng)新應用★10.如圖,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分線相交于點D.(1)若∠ABC+∠ACB=110°,則∠BDC=;

(2)若∠A=100°,則∠BDC=;

(3)若∠A=n°,求∠BDC的度數(shù).

知能演練·提升一、能力提升1.B設∠C的度數(shù)為x°,則∠B的度數(shù)為x°+25°,則55°+x°+x°+25°=180°,解得x=50,則∠B=75°.2.A∵CD∥AB,∠1=120°,∴∠CDB=∠1=120°,∴∠EDC=60°.∵∠2=80°,∴∠E=180°-80°-60°=40°.3.C∵∠A=30°,∠B=50°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=100°.又CD平分∠ACB,∴∠ACD=12∠ACB=50°∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=100°.4.90°5.54°6.270°由三角形三內(nèi)角之間的關(guān)系,得∠3+∠4=90°,所以∠1+∠2=(180°-∠3)+(180°-∠4)=2×180°-(∠3+∠4)=360°-90°=270°.7.解設∠C=x°,則∠A=2x°,∠B=2x°-20°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理,有2x+(2x-20)+x=180,解得x=40,即∠C=40°.所以2x=80,∠A=80°,2x-20=60,∠B=60°.故△ABC的三個角的度數(shù)分別為∠A=80°,∠B=60°,∠C=40°.8.解△ABC是直角三角形.理由如下:∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°,∴∠1+∠A=90°.又∠1=∠2,∴∠2+∠A=90°.∴△ABC是直角三角形.9.解在△EDC中,∠EDC=180°-(∠C+∠DEC)=180°-(59°+47°)=74°.∴∠FDB=180°-∠EDC=