《三角形全等的判定——ASA、AAS》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.探索并掌握“ASA”和“AAS”判定方法;2．會(huì)用“ASA”和“AAS”判定方法證明兩個(gè)三角形全等;3.經(jīng)歷猜想，作圖驗(yàn)證，邏輯推理的幾何探究過程，發(fā)展問題分析能力和幾何表述能力.教學(xué)重點(diǎn)：用“ASA”和“AAS”判定方法證明兩個(gè)三角形全等，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：1.“AAS”判定方法的證明.2.用“ASA”和“AAS”判定方法證明兩個(gè)三角形全等.教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)2分鐘復(fù)習(xí)鞏固，引發(fā)思考復(fù)習(xí)：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些判定兩個(gè)三角形全等的方法，它們分別需要哪些條件呢？思考：將條件替換為兩組對(duì)應(yīng)角相等，一組對(duì)應(yīng)邊相等后，是否能判定兩個(gè)三角形全等呢？注：相等的邊可能為兩角的夾邊，也可能為其中一角所對(duì)的邊，應(yīng)進(jìn)行分類討論.8分鐘條件探索，作圖歸納探究1：先在一張紙上畫一個(gè)△ABC，然后在另一張紙上畫△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B．△A′B′C′和△ABC能重合嗎？根據(jù)你畫的兩個(gè)三角形及結(jié)果，你能得到又一個(gè)判定兩個(gè)三角形全等的方法嗎？作法：（1）畫A′B′=AB；（2）在A′B′的同旁畫∠DA′B=∠A，∠EB′A=∠B，A′D、B′E相交于點(diǎn)C′．現(xiàn)象：兩個(gè)三角形放在一起能完全重合．說明：這兩個(gè)三角形全等．歸納概括“ASA”判定方法:兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡稱為“角邊角”或“ASA”）．幾何語言：在△ABC與△A′B′C′中，∵∠A=∠A'AB=A'B'∠B=∠B探究2：如果△ABC和△A′B′C′滿足，使B′C′=BC，∠A′=∠A，∠B′=∠B．△A′B′C′和△ABC是全等的嗎？【思路】利用三角形的內(nèi)角和，轉(zhuǎn)化為“ASA”進(jìn)行證明.【結(jié)論】兩角和其中一角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡稱為“角角邊”或“AAS”）．幾何語言：在△ABC與△A′B′C′中，∵∠∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）13分鐘知識(shí)應(yīng)用例1.如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，BA=AC，∠B=∠C．求證：AE=AD．證明：在△ABE與△ACD中，∵∠B=∠C∴△ABE≌△ACD（ASA）∴AE=AD注意：找到圖形中隱含的等量【練習(xí)】如圖,AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分別為B，D，∠1=∠2，求證：AB=AD.證明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，

∴∠B=∠D=90°，

在△ABC和△ADC中∵∴△ABC≌△ADC（AAS），

∴AB=AD．例2.如圖，要測量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B的距離，可以在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D，使BC=CD，再畫出BF的垂線DE,使E與A，C在一條直線上，這時(shí)測得DE的長度就是AB的長，為什么？解：∵AB⊥BF，DE⊥BF∴∠B=∠CDE=90°在△ABC和△EDC中∵∴△ABC≌△EDC（ASA），

∴AB=DE．例3.如圖，AE⊥BE，AD⊥DC，CD=BE，∠DAB=∠EAC．求證：AB=AC．證明：∵∠DAB=∠EAC，

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠EAB∵AE⊥BE，AD⊥DC

∴∠D=∠E=90°

在△ACD和△ABE中，∵∴△ACD≌△EAB（AAS），

∴AB=AC．注意：利用等式的性質(zhì)，構(gòu)造全等所需的等量.【練習(xí)】如圖，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求證：△ABC≌△ADC.證：∵∠ACB+∠1=180°，∠ACD+∠2=180°，∠1=∠2∴∠ACB=∠ACD在△ABC與△ADC中，∵∴△ABC≌△ADC（AAS）思考：本題還有其他方法嗎？另證：∵∠1是△ABC的外角，∠2是△ADC的外角∴∠BAC+∠B=∠1，∠DAC+∠D=∠2∵∠B=∠D，∠1=∠2∴∠BAC=∠DAC在△ABC與△ADC中，∵∴△ABC≌△ADC（AAS）2分鐘課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了幾種判斷兩個(gè)三角形全等的方法？分別是什么？它們之間有什么共同點(diǎn)和區(qū)別？ASA——兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.AAS——兩角和其中一角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.共同點(diǎn)：都要求兩角和一邊相等.區(qū)別：ASA——夾邊AAS——對(duì)邊.由上述兩個(gè)判定我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)三角形有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等后，相等的那條邊可以為三邊中的任意邊。因此，我們可以歸納為“若兩角一邊相等，則三角形全等”來代替？在證明三角形全等的過程中，往往需要我們構(gòu)造所需條件，此時(shí)需注意：①挖掘圖形中的隱含條件：公共角、公共邊、對(duì)頂角；②利用等式性質(zhì)或幾何知識(shí)轉(zhuǎn)化條件.課后作業(yè)1.如圖，∠1=∠2，∠B=∠D，求證：AB=CD.2.如圖，∠ACB=90°，AC=CB，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E.求證：△ACD≌△CBE.3.如圖，A，B兩點(diǎn)被池塘隔開，某同學(xué)用以下方法測得池塘的寬度AB：過點(diǎn)B作BC⊥AB，作∠BCD=∠BCA，使A，B，D三點(diǎn)在一條直線上，則測量出BD的長即為AB的長，這是為什么呢？教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.探索并掌握“ASA”和“AAS”判定方法;2．會(huì)用“ASA”和“AAS”判定方法證明兩個(gè)三角形全等;3.經(jīng)歷猜想，作圖驗(yàn)證，邏輯推理的幾何探究過程，發(fā)展問題分析能力和幾何表述能力.教學(xué)重點(diǎn)：用“ASA”和“AAS”判定方法證明兩個(gè)三角形全等，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：1.“AAS”判定方法的證明.2.用“ASA”和“AAS”判定方法證明兩個(gè)三角形全等.教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)2分鐘復(fù)習(xí)鞏固，引發(fā)思考復(fù)習(xí)：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些判定兩個(gè)三角形全等的方法，它們分別需要哪些條件呢？思考：將條件替換為兩組對(duì)應(yīng)角相等，一組對(duì)應(yīng)邊相等后，是否能判定兩個(gè)三角形全等呢？注：相等的邊可能為兩角的夾邊，也可能為其中一角所對(duì)的邊，應(yīng)進(jìn)行分類討論.8分鐘條件探索，作圖歸納探究1：先在一張紙上畫一個(gè)△ABC，然后在另一張紙上畫△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B．△A′B′C′和△ABC能重合嗎？根據(jù)你畫的兩個(gè)三角形及結(jié)果，你能得到又一個(gè)判定兩個(gè)三角形全等的方法嗎？作法：（1）畫A′B′=AB；（2）在A′B′的同旁畫∠DA′B=∠A，∠EB′A=∠B，A′D、B′E相交于點(diǎn)C′．現(xiàn)象：兩個(gè)三角形放在一起能完全重合．說明：這兩個(gè)三角形全等．歸納概括“ASA”判定方法:兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡稱為“角邊角”或“ASA”）．幾何語言：在△ABC與△A′B′C′中，∵∠A=∠A'AB=A'B'∠B=∠B探究2：如果△ABC和△A′B′C′滿足，使B′C′=BC，∠A′=∠A，∠B′=∠B．△A′B′C′和△ABC是全等的嗎？【思路】利用三角形的內(nèi)角和，轉(zhuǎn)化為“ASA”進(jìn)行證明.【結(jié)論】兩角和其中一角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡稱為“角角邊”或“AAS”）．幾何語言：在△ABC與△A′B′C′中，∵∠∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）13分鐘知識(shí)應(yīng)用例1.如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，BA=AC，∠B=∠C．求證：AE=AD．證明：在△ABE與△ACD中，∵∠B=∠C∴△ABE≌△ACD（ASA）∴AE=AD注意：找到圖形中隱含的等量【練習(xí)】如圖,AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分別為B，D，∠1=∠2，求證：AB=AD.證明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，

∴∠B=∠D=90°，

在△ABC和△ADC中∵∴△ABC≌△ADC（AAS），

∴AB=AD．例2.如圖，要測量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B的距離，可以在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D，使BC=CD，再畫出BF的垂線DE,使E與A，C在一條直線上，這時(shí)測得DE的長度就是AB的長，為什么？解：∵AB⊥BF，DE⊥BF∴∠B=∠CDE=90°在△ABC和△EDC中∵∴△ABC≌△EDC（ASA），

∴AB=DE．例3.如圖，AE⊥BE，AD⊥DC，CD=BE，∠DAB=∠EAC．求證：AB=AC．證明：∵∠DAB=∠EAC，

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠EAB∵AE⊥BE，AD⊥DC

∴∠D=∠E=90°

在△ACD和△ABE中，∵∴△ACD≌△EAB（AAS），

∴AB=AC．注意：利用等式的性質(zhì)，構(gòu)造全等所需的等量.【練習(xí)】如圖，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求證：△ABC≌△ADC.證：∵∠ACB+∠1=180°，∠ACD+∠2=180°，∠1=∠2∴∠ACB=∠ACD在△ABC與△ADC中，∵∴△ABC≌△ADC（AAS）思考：本題還有其他方法嗎？另證：∵∠1是△ABC的外角，∠2是△ADC的外角∴∠BAC+∠B=∠1，∠DAC+∠D=∠2∵∠B=∠D，∠1=∠2∴∠BAC=∠DAC在△ABC與△ADC中，∵∴△ABC≌△ADC（AAS）2分鐘課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了幾種判斷兩個(gè)三角形全等的方法？分別是什么？它們之間有什么共同點(diǎn)和區(qū)別？ASA——兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.AAS——兩角和其中一角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.共同點(diǎn)：都要求兩角和一邊相等.區(qū)別：ASA——夾邊AAS——對(duì)邊.由上述兩個(gè)判定我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)三角形有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等后，相等的那條邊可以為三邊中的任意邊。因此，我們可以歸納為“若兩角一邊相等，則三角形全等”來代替？在證明三角形全等的過程中，往往需要我們構(gòu)造所需條件，此時(shí)需注意：①挖掘圖形中的隱含條件：公共角、公共邊、對(duì)頂角；②利用等式性質(zhì)或幾何知識(shí)轉(zhuǎn)化條件.課后作業(yè)1.如圖，∠1=∠2，∠B=∠D，求證：AB=CD.2.如圖，∠ACB=90°，AC=CB，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E.求證：△ACD≌△CBE.3.如圖，A，B兩點(diǎn)被池塘隔開，某同學(xué)用以下方法測得池塘的寬度AB：過點(diǎn)B作BC⊥AB，作∠BCD=∠BCA，使A，B，D三點(diǎn)在一條直線上，則測量出BD的長即為AB的長，這是為什么呢？知能演練提升一、能力提升1.如圖,在△ABC和△DEF中,已知AB=DE,BC=EF,根據(jù)“SAS”判定△ABC≌△DEF,還需的條件是()A.∠A=∠D B.∠B=∠EC.∠C=∠F D.以上三個(gè)均可以2.已知A,B,C順次在一條直線上,分別以AB,BC為邊在直線的同側(cè)作正三角形ABE和正三角形BCD,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.△ABD≌△EBC B.∠DAB=∠CEBC.∠ABD=∠EBC D.△ABE≌△BCD3.如圖,已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.下列結(jié)論不正確的是()A.∠BAD=∠CAEB.△ABD≌△ACEC.AB=BCD.BD=CE4.如圖,有一面三角形鏡子,小明不小心將它打破成1,2兩塊,現(xiàn)需配成同樣大小的一面鏡子.為了方便起見,需帶上,其理由是.

5.如圖,已知AC=FE,BC=DE,點(diǎn)A,D,B,F在一條直線上,根據(jù)“SAS”判定△ABC≌△FDE,還需添一個(gè)條件,這個(gè)條件是.

6.如圖,已知AB∥CD,AB=CD,BE=CF.求證:(1)△ABF≌△DCE;(2)AF∥DE.7.如圖,在△ABC中,BE,CF分別是AC,AB兩條邊上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延長線上截取CG=AB,連接AD,AG.求證:AG⊥AD.8.如圖,AD=AE,BD=CE,AF⊥BC于點(diǎn)F,且F是BC的中點(diǎn),求證:∠D=∠E.二、創(chuàng)新應(yīng)用★9.已知△ABC和△ADE均為等腰三角形,且∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE.(1)如圖①,點(diǎn)E在BC上,求證:BC=BD+BE;(2)如圖②,點(diǎn)E在CB的延長線上,(1)的結(jié)論是否成立?若成立,給出證明;若不成立,寫出成立的式子并證明.①②

知能演練·提升一、能力提升1.B2.D3.C因?yàn)椤螧AC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE,選項(xiàng)A正確.因?yàn)锳B=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,所以根據(jù)“SAS”可知△ABD≌△ACE,所以選項(xiàng)B正確.由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,得出BD=CE,所以選項(xiàng)D正確.只有選項(xiàng)C沒有充分的條件可以證明,故選C.4.1兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(或SAS)5.∠C=∠E6.證明(1)∵AB∥CD,∴∠B=∠C.∵BE=CF,∴BE-EF=CF-EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中,AB=CD,∠B=∠C,(2)由(1)知△ABF≌△DCE,∴∠AFB=∠DEC,∴180°-∠AFB=180°-∠DEC,即∠AFC=∠DEB,∴AF∥DE.7.證明∵BE,CF分別是AC,AB兩條邊上的高,∴∠ACG+∠CAB=90°,∠DBA+∠CAB=90°,∴∠ACG=∠DBA.在△AGC和△DAB中,AC∴△AGC≌△DAB(SAS).∴∠G=∠BAD.又∠G+∠GAB=90°,∴∠BAD+∠GAB=90°,即∠GAD=90°,∴AG⊥AD.8.證明如圖,連接AB,AC.∵F是BC的中點(diǎn),∴BF=CF.∵AF⊥BC,∴∠AFB=∠AFC=90°.在△ABF和△ACF中,BF∴△ABF≌△ACF(SAS),∴