湘教版（2024）數(shù)學(xué)8年級(jí)上冊(cè)第1章

因式分解章末復(fù)習(xí)1.把一個(gè)多項(xiàng)式表示成若干個(gè)多項(xiàng)式的

形式，

稱為把這個(gè)多項(xiàng)式_________，也稱為__________；2.因式分解的過程和

的過程正好______：

前者是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)多項(xiàng)式的______，

后者是把幾個(gè)多項(xiàng)式的______化為一個(gè)________.

一、因式分解因式分解乘積

分解因式

多項(xiàng)式的乘法相反多項(xiàng)式

乘積

乘積

#第1章

因式分解（章末復(fù)習(xí)課件）##幻燈片1：封面-標(biāo)題：第1章

因式分解——章末復(fù)習(xí)-副標(biāo)題：七年級(jí)數(shù)學(xué)（下冊(cè)/上冊(cè)，根據(jù)教材版本調(diào)整）-授課教師：XXX-日期：XXXX年XX月XX日##幻燈片2：目錄1.本章知識(shí)框架梳理2.核心概念回顧（因式分解的定義）3.因式分解的基本方法（精講+例題）4.因式分解的一般步驟5.易錯(cuò)點(diǎn)辨析與常見錯(cuò)誤糾正6.綜合題型解析（基礎(chǔ)+提升）7.本章思想方法總結(jié)8.課堂練習(xí)（分層訓(xùn)練）9.作業(yè)布置##幻燈片3：本章知識(shí)框架梳理```因式分解├──

核心概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式├──

基本方法：│

├──

提公因式法（公因式：?jiǎn)雾?xiàng)式、多項(xiàng)式）│

├──

公式法：│

│

├──

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)│

│

└──

完全平方公式：a2

±2ab+b2=(a±b)2│

└──

十字相乘法（可選，根據(jù)教材要求調(diào)整）：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)├──

應(yīng)用場(chǎng)景：│

├──

簡(jiǎn)化計(jì)算│

├──

求解一元二次方程（鋪墊）│

├──

比較大小、證明整除性│

└──

分式化簡(jiǎn)（鋪墊）└──

關(guān)鍵要求：分解徹底、結(jié)果為整式積的形式```##幻燈片4：核心概念回顧——因式分解的定義###定義：**把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做因式分解（也叫分解因式）**。###關(guān)鍵詞解析：1.對(duì)象：多項(xiàng)式（如ax+bx、a2-b2等）；2.結(jié)果：幾個(gè)整式的積（不能是和或差，如(x+1)+(x-1)不是因式分解）；3.本質(zhì)：整式乘法的逆運(yùn)算（互逆變形）。###互逆變形對(duì)比：|整式乘法（積→和差）|因式分解（和差→積）||----------------------|----------------------||(a+b)(a-b)=a2-b2|a2-b2=(a+b)(a-b)||(x+3)(x-2)=x2+x-6|x2+x-6=(x+3)(x-2)||2a(a+2b)=2a2+4ab|2a2+4ab=2a(a+2b)|###小練習(xí)：判斷下列變形是否為因式分解1.x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x（×，結(jié)果不是整式積）2.2x2-2=2(x2-1)（×，未分解徹底）3.(x+1)(x-1)=x2-1（×，是整式乘法）4.x2-6x+9=(x-3)2（√，符合定義）##幻燈片5：因式分解的基本方法——提公因式法###1.公因式的定義：多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的公共因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的公因式（可是單項(xiàng)式，也可是多項(xiàng)式）。###2.找公因式的步驟：-系數(shù)：取各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)（如-6x2y+9xy2，系數(shù)最大公因數(shù)為3）；-字母：取各項(xiàng)都含有的相同字母（如-6x2y+9xy2，相同字母為x、y）；-指數(shù)：取相同字母的最低次冪（如x的最低次冪為1，y的最低次冪為1，故公因式為3xy）。###3.提公因式法的公式：ma+mb+mc=m(a+b+c)（m為公共因式）###4.例題解析：-例1：分解因式：3x2-6xy+3x

解答：公因式為3x，提公因式得：3x(x-2y+1)（注意：最后一項(xiàng)提公因式后剩1，不能省略）-例2：分解因式：-4a3b2+6a2b-2ab

解答：先提負(fù)號(hào)（使首項(xiàng)系數(shù)為正），再提公因式2ab：-2ab(2a2b-3a+1)-例3：分解因式：a(x-y)+b(y-x)

解答：變形為a(x-y)-b(x-y)，公因式為(x-y)，得：(x-y)(a-b)###5.關(guān)鍵提醒：-公因式要提盡，不能遺漏常數(shù)項(xiàng)和單獨(dú)的字母；-首項(xiàng)為負(fù)時(shí)，先提“-”號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)；-提公因式后，括號(hào)內(nèi)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式一致。##幻燈片6：因式分解的基本方法——公式法（平方差公式）###1.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)###2.適用條件：-多項(xiàng)式是二項(xiàng)式；-兩項(xiàng)符號(hào)相反；-每項(xiàng)都能寫成一個(gè)整式的平方形式（即“平方差”形式）。###3.常見變形：-系數(shù)變形：4x2-9y2=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)(2x-3y)；-符號(hào)變形：-16m2+25n2=25n2-16m2=(5n+4m)(5n-4m)；-指數(shù)變形：x?-y?=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)（分解徹底）。###4.例題解析：-例1：分解因式：16a2-9b2

解答：(4a)2-(3b)2=(4a+3b)(4a-3b)-例2：分解因式：(x+2)2-(x-1)2

解答：令a=x+2，b=x-1，原式=a2-b2=(a+b)(a-b)=[(x+2)+(x-1)][(x+2)-(x-1)]=(2x+1)×3=3(2x+1)-例3：分解因式：x3-4x

解答：先提公因式x，再用平方差公式：x(x2-4)=x(x+2)(x-2)（先提公因式，再用公式，分解徹底）##幻燈片7：因式分解的基本方法——公式法（完全平方公式）###1.完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2（和的平方）；a2-2ab+b2=(a-b)2（差的平方）。###2.適用條件：-多項(xiàng)式是三項(xiàng)式；-其中兩項(xiàng)是兩個(gè)整式的平方（符號(hào)相同）；-第三項(xiàng)是這兩個(gè)整式乘積的2倍（符號(hào)可正可負(fù)）。###3.口訣記憶：“首平方，尾平方，首尾兩倍在中央，符號(hào)看中央”。###4.例題解析：-例1：分解因式：x2+10x+25

解答：x2+2×x×5+52=(x+5)2-例2：分解因式：4a2-12ab+9b2

解答：(2a)2-2×2a×3b+(3b)2=(2a-3b)2-例3：分解因式：-x2+4xy-4y2

解答：先提負(fù)號(hào)：-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2-例4：分解因式：(a+b)2-6(a+b)+9

解答：令m=a+b，原式=m2-6m+9=(m-3)2=(a+b-3)2###5.關(guān)鍵提醒：-先判斷是否為“完全平方”形式，再套用公式；-首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，先提負(fù)號(hào)，再判斷；-注意“2ab”的符號(hào)，決定結(jié)果是“和的平方”還是“差的平方”。##幻燈片8：因式分解的基本方法——十字相乘法（可選）###1.適用形式：x2+(p+q)x+pq（二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式）###2.分解公式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)（找到兩個(gè)數(shù)p、q，使p+q=一次項(xiàng)系數(shù)，p×q=常數(shù)項(xiàng)）###3.例題解析：-例1：分解因式：x2+5x+6

解答：找p=2，q=3（2+3=5，2×3=6），得：(x+2)(x+3)-例2：分解因式：x2-3x-4

解答：找p=-4，q=1（-4+1=-3，-4×1=-4），得：(x-4)(x+1)-例3：分解因式：x2+2x-15

解答：找p=5，q=-3（5+(-3)=2，5×(-3)=-15），得：(x+5)(x-3)##幻燈片9：因式分解的一般步驟###口訣：“一提、二套、三查”1.**一提**：先看多項(xiàng)式各項(xiàng)是否有公因式，若有，先提取公因式（公因式要提盡）；2.**二套**：若提公因式后仍可分解，再根據(jù)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)和形式套用公式（二項(xiàng)式看平方差，三項(xiàng)式看完全平方或十字相乘）；3.**三查**：檢查分解結(jié)果是否徹底（即每個(gè)因式不能再分解），且結(jié)果為整式的積的形式。###示例：分解因式：2x3-8x2+8x-步驟1：提公因式2x：2x(x2-4x+4)；-步驟2：套完全平方公式：2x(x-2)2；-步驟3：檢查：每個(gè)因式不能再分解，結(jié)果為整式積，分解徹底。##幻燈片10：易錯(cuò)點(diǎn)辨析與常見錯(cuò)誤糾正|常見錯(cuò)誤|錯(cuò)誤原因|糾正方法|示例||----------|----------|----------|------||提公因式不徹底|未找全系數(shù)、字母、指數(shù)的公因式|按“系數(shù)最大公因數(shù)→相同字母→最低次冪”分步找公因式|錯(cuò)誤：2x2-4x=2(x2-2x)；正確：2x(x-2)||遺漏常數(shù)項(xiàng)的公因式|忽略常數(shù)項(xiàng)的最大公因數(shù)|先提取系數(shù)的最大公因數(shù)，再提字母公因式|錯(cuò)誤：6a2b-9ab2+3ab=3ab(2a-3b)；正確：3ab(2a-3b+1)||首項(xiàng)為負(fù)未變號(hào)|提取負(fù)號(hào)后，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)未變號(hào)|首項(xiàng)為負(fù)時(shí)，先提“-”號(hào)，括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)都要變號(hào)|錯(cuò)誤：-x2+2xy-y2=-(x2+2xy-y2)；正確：-(x2-2xy+y2)=-(x-2y)2||分解不徹底|未繼續(xù)分解能再分解的因式|提公因式后，檢查括號(hào)內(nèi)多項(xiàng)式是否還能套用公式|錯(cuò)誤：x?-1=(x2+1)(x2-1)；正確：(x2+1)(x+1)(x-1)||混淆公式適用條件|平方差公式用于三項(xiàng)式，完全平方公式用于二項(xiàng)式|二項(xiàng)式優(yōu)先看平方差，三項(xiàng)式優(yōu)先看完全平方|錯(cuò)誤：x2+4=(x+2)(x-2)（×，x2+4是和的平方，不能用平方差）；正確：x2+4不能分解（實(shí)數(shù)范圍內(nèi)）||十字相乘法找錯(cuò)p、q|未滿足“p+q=一次項(xiàng)系數(shù)，p×q=常數(shù)項(xiàng)”|列出常數(shù)項(xiàng)的所有因數(shù)對(duì)，逐一驗(yàn)證和是否為一次項(xiàng)系數(shù)|錯(cuò)誤：x2+3x-4=(x+4)(x+1)（×，4+1=5≠3）；正確：(x+4)(x-1)（4+(-1)=3）|##幻燈片11：綜合題型解析——基礎(chǔ)題###題型1：直接分解因式（提公因式+公式）-例1：分解因式：3a3-12a

解答：3a(a2-4)=3a(a+2)(a-2)-例2：分解因式：(x2+4)2-16x2

解答：平方差公式：[(x2+4)+4x][(x2+4)-4x]=(x2+4x+4)(x2-4x+4)=(x+2)2(x-2)2###題型2：利用因式分解簡(jiǎn)化計(jì)算-例3：計(jì)算：20242-20232

解答：平方差公式：(2024+2023)(2024-2023)=4047×1=4047-例4：計(jì)算：1002-2×100×99+992

解答：完全平方公式：(100-99)2=12=1##幻燈片12：綜合題型解析——提升題###題型1：因式分解的逆向應(yīng)用（求代數(shù)式的值）-例1：已知a+b=5，ab=3，求a2b+ab2的值。

解答：提取公因式ab：ab(a+b)=3×5=15-例2：已知x-y=2，x2+y2=10，求xy的值。

解答：由完全平方公式：(x-y)2=x2-2xy+y2，代入得：22=10-2xy→4=10-2xy→2xy=6→xy=3###題型2：因式分解與整除性證明-例3：證明：對(duì)于任意整數(shù)n，n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一個(gè)完全平方數(shù)。

解答：分組變形：[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1；

令m=n2+3n，原式=m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2=(n2+3n+1)2，故為完全平方數(shù)。###題型3：復(fù)雜多項(xiàng)式的因式分解-例4：分解因式：a2-2ab+b2-c2

解答：分組分解（前三項(xiàng)為完全平方）：(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c)##幻燈片13：本章思想方法總結(jié)1.**轉(zhuǎn)化思想**：將多項(xiàng)式分解為整式的積，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題（如將二次多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為一次因式的積）；2.**整體思想**：把多項(xiàng)式中的某一部分看作一個(gè)整體，套用公式（如(a+b)2-6(a+b)+9，把(a+b)看作整體）；3.**分類討論思想**：根據(jù)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)、形式，選擇不同的分解方法（二項(xiàng)式看平方差，三項(xiàng)式看完全平方或十字相乘）；4.**逆向思維**：利用整式乘法與因式分解的互逆關(guān)系，驗(yàn)證分解結(jié)果的正確性。##幻燈片14：課堂練習(xí)（基礎(chǔ)層）1.分解因式：

（1）12x2y-18xy2；（答案：6xy(2x-3y)）

（2）x2-6x+9；（答案：(x-3)2）

（3）4x2-25；（答案：(2x+5)(2x-5)）

（4）-3a3+12a2-12a；（答案：-3a(a2-4a+4)=-3a(a-2)2）2.利用因式分解計(jì)算：

（1）3.14×552-3.14×452；（答案：3.14×(552-452)=3.14×(55+45)(55-45)=3140）

（2）20252-4050×2024+20242；（答案：(2025-2024)2=1）##幻燈片15：課堂練習(xí)（提升層）1.分解因式：

（1）(x2+2x)2-(2x+4)2；（答案：(x2+4x+4)(x2-4)=(x+2)2(x+2)(x-2)=(x+2)3(x-2)）

（2）a2-b2+2a+2b；（答案：(a-b)(a+b)+2(a+b)=(a+b)(a-b+2)）2.已知a=2023，b=2024，求a2-2ab+b2-5a+5b的值。（答案：(a-b)2-5(a-b)=(a二、提公因式法1.一般地，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的因式，叫作這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的________，簡(jiǎn)稱多項(xiàng)式的________.2.公因式的確定：(1)系數(shù)：取多項(xiàng)式各項(xiàng)整數(shù)系數(shù)的

；(2)字母：取多項(xiàng)式各項(xiàng)中

的字母；(3)各字母的指數(shù)：取次數(shù)最

的．

公因式公因式最大公因數(shù)

相同

最低

3.定義：逆用乘法對(duì)加法的______律，可以把

_______提到括號(hào)外邊，作為積的一個(gè)_____，這種將多項(xiàng)式因式分解的方法，叫作提公因式法.分配公因式因式三、公式法——平方差公式1.因式分解中的平方差公式a2

-

b2

＝

；2.多項(xiàng)式的特征：(1)可化為____個(gè)整式；

(2)兩項(xiàng)符號(hào)______；

(3)每一項(xiàng)都是整式的______.3.注意事項(xiàng)：(1)有公因式時(shí)，先提出公因式；(2)分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止.

(a+b)(a

-

b)兩相反平方四、公式法——完全平方公式1.完全平方公式：a2+2ab+b2=()2，

a2-2ab+b2=()2.2.多項(xiàng)式的特征：(1)三項(xiàng)式；

(2)有兩項(xiàng)符號(hào)_____，能寫成兩個(gè)整式的_________的形式；(3)另一項(xiàng)是這兩整式______的

_____倍.3.注意事項(xiàng)：有公因式時(shí)，應(yīng)先提出_______.a+ba-

b相同

平方和

乘積

2

公因式

考點(diǎn)一

因式分解與整式乘法的關(guān)系例1

判斷下列各式變形是不是因式分解，并說明理由：(1)a2

-

4

+3a=(a

+2)(a

-

2)

+3a；

(2)(a

+2)(a

-

5)=a2

-

3a

-

10；(3)x2

-

6x

+9=(x

-

3)2；

(4)3x2

-

2xy

+x=x(3x

-

2y)2.【總結(jié)】①多項(xiàng)式的因式分解的定義包含兩個(gè)方面的條件：第一，等式的左邊是一個(gè)多項(xiàng)式；第二，等式的右邊要化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這里指等式的整個(gè)右邊化成積的形式；②判斷過程要從左到右保持恒等變形.不是不是是不是不是積的形式是整式乘法不是恒等變形考點(diǎn)二提公因式法因式分解例2

分解因式：(1)

8a3b2

+12ab3c；(2)

2a(b

+c)

-

3(b

+c)；(3)

(a

+b)(a

-

b)

-

a

-

b.解：(1)原式＝4ab2(2a2

+3bc).(2)原式＝(b

+c)(2a

-

3).(3)原式＝(a

+b)(a

-

b

-

1)．方法歸納：公因式既可以是一個(gè)單項(xiàng)式的形式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式的形式.1.把下列多項(xiàng)式因式分解：針對(duì)訓(xùn)練例3計(jì)算：(1)39×37－13×91；(2)29×20.22＋72×20.22＋13×20.22－20.22×14.考點(diǎn)三利用提公因式法求值解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91

＝13×(3×37－91)＝13×20＝260.(2)29×20.22＋72×20.22＋13×20.22－20.22×14

＝20.22×(29＋72＋13－14)＝2022.2.已知

a=

9-

b，ab

=

4，求

a2b＋

ab2的值．解：因?yàn)?/p>

a=9

-

b，ab=4，所以

a＋b=9，所以原式=ab(a＋b)=4×9=36.方法歸納原式提取公因式變形后，將

a＋b與

ab作為一個(gè)整體代入計(jì)算即可得出答案．針對(duì)訓(xùn)練考點(diǎn)四

平方差公式因式分解例4

分解因式：(1)(a＋

b)2－4a2； (2)9(m＋

n)2－(m－

n)2.解：(1)原式

＝

(a＋

b＋2a)(a＋b－2a)

＝

(3a＋b)(b－a).(2)原式

＝(3m＋3n＋

m－

n)(3m＋3n－

m＋

n)

＝(4m＋2n)(2m＋4n)

＝4(2m＋

n)(m＋2n).3.已知

x2－

y2＝－1，x＋

y＝，求

x－

y的值．解：因?yàn)閤2－

y2＝(x＋

y)(x－

y)＝

－1，

x＋

y＝，

所以

x－

y＝

－2.針對(duì)訓(xùn)練4.如圖，100個(gè)正方形由小到大套在一起，從外向里相間畫上陰影，最里面一個(gè)小正方形沒有畫陰影，最外面一層畫陰影，最外面的正方形的邊長(zhǎng)為100cm，向里依次為99cm，98cm，…，1cm，那么在這個(gè)圖形中，所有畫陰影部分的面積和是多少？解：每一塊陰影的面積可以表示成相鄰正方形的面積

的差，而正方形的面積是其邊長(zhǎng)的平方，則S陰影＝(1002-992)+(982

-

972)+…+(22

-

12)

＝100+99+98+97+…+2+1＝5050．答：所有陰影部分的面積和是5050cm2.考點(diǎn)五完全平方公式因式分解例5因式分解：(1)-3a2x2+24a2x

-

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