考研數(shù)學(xué)題真題試卷及答案考試時(shí)長：120分鐘滿分：100分班級(jí)：__________姓名：__________學(xué)號(hào)：__________得分：__________試卷名稱：考研數(shù)學(xué)題真題試卷及答案考核對(duì)象：報(bào)考碩士研究生數(shù)學(xué)入學(xué)考試的考生題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有界。2.若級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，則級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)|a_n|也收斂。3.若矩陣A可逆，則det(A)≠0。4.若向量組α_1,α_2,α_3線性無關(guān)，則向量組α_1+α_2,α_2+α_3,α_3+α_1也線性無關(guān)。5.若函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，則f(x)在x=0處必連續(xù)。6.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上必有界。7.若矩陣A的特征值全為正，則A必為正定矩陣。8.若向量組α_1,α_2,α_3線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù)k_1,k_2,k_3，使得k_1α_1+k_2α_2+k_3α_3=0。9.若函數(shù)f(x)在x=0處取得極值，且f'(0)存在，則f'(0)=0。10.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，則f(x)在[a,b]上必可導(dǎo)。二、單選題（每題2分，共20分）1.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f(0)=1，f'(0)=2，則lim(x→0)(f(x)-1)/x=（）A.1B.2C.0D.-12.若級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，則下列說法正確的是（）A.∑(n=1to∞)|a_n|必收斂B.∑(n=1to∞)a_n^2必收斂C.∑(n=1to∞)a_n^3必收斂D.∑(n=1to∞)a_n^4必收斂3.設(shè)矩陣A為3階矩陣，且det(A)=2，則det(3A)=（）A.3B.6C.8D.184.若向量組α_1,α_2,α_3線性無關(guān)，則向量組α_1,α_2,α_3的秩為（）A.1B.2C.3D.45.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處取得極值，且f''(0)存在，則f''(0)必（）A.>0B.<0C.=0D.可正可負(fù)6.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上必（）A.連續(xù)B.可導(dǎo)C.有界D.單調(diào)7.設(shè)矩陣A的特征值為λ_1,λ_2,λ_3，且λ_1=1,λ_2=2,λ_3=3，則det(A)=（）A.1B.2C.6D.98.若向量組α_1,α_2,α_3線性相關(guān)，則向量組α_1,α_2,α_3的秩必（）A.=1B.=2C.=3D.=49.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處取得極值，且f'(0)存在，則f'(0)必（）A.=0B.≠0C.>0D.<010.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，則f(x)在區(qū)間[a,b]上必（）A.可導(dǎo)B.連續(xù)C.可積D.有界三、多選題（每題2分，共20分）1.下列說法正確的是（）A.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有界B.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上必有界C.若函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，則f(x)在x=0處必連續(xù)D.若函數(shù)f(x)在x=0處取得極值，且f'(0)存在，則f'(0)=02.下列說法正確的是（）A.若級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，則級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)|a_n|必收斂B.若級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n發(fā)散，則級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)|a_n|必發(fā)散C.若級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，則級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n^2必收斂D.若級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n發(fā)散，則級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n^2必發(fā)散3.下列說法正確的是（）A.若矩陣A可逆，則det(A)≠0B.若矩陣A不可逆，則det(A)=0C.若矩陣A的特征值全為正，則A必為正定矩陣D.若矩陣A的特征值全為負(fù)，則A必為負(fù)定矩陣4.下列說法正確的是（）A.若向量組α_1,α_2,α_3線性無關(guān)，則向量組α_1+α_2,α_2+α_3,α_3+α_1也線性無關(guān)B.若向量組α_1,α_2,α_3線性相關(guān)，則向量組α_1,α_2,α_3的秩必小于3C.若向量組α_1,α_2,α_3線性無關(guān)，則向量組α_1,α_2,α_3的秩必為3D.若向量組α_1,α_2,α_3線性相關(guān)，則向量組α_1,α_2,α_3的秩必為15.下列說法正確的是（）A.若函數(shù)f(x)在x=0處取得極值，且f'(0)存在，則f'(0)=0B.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，則f(x)在區(qū)間[a,b]上必可導(dǎo)C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則f(x)在區(qū)間[a,b]上必有界D.若函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，則f(x)在x=0處必連續(xù)6.下列說法正確的是（）A.若矩陣A的特征值為λ_1,λ_2,λ_3，且λ_1=1,λ_2=2,λ_3=3，則det(A)=6B.若矩陣A的特征值為λ_1,λ_2,λ_3，且λ_1=1,λ_2=2,λ_3=3，則tr(A)=6C.若矩陣A的特征值全為正，則A必為正定矩陣D.若矩陣A的特征值全為負(fù)，則A必為負(fù)定矩陣7.下列說法正確的是（）A.若向量組α_1,α_2,α_3線性無關(guān)，則向量組α_1,α_2,α_3的秩必為3B.若向量組α_1,α_2,α_3線性相關(guān)，則向量組α_1,α_2,α_3的秩必小于3C.若向量組α_1,α_2,α_3線性無關(guān)，則向量組α_1+α_2,α_2+α_3,α_3+α_1也線性無關(guān)D.若向量組α_1,α_2,α_3線性相關(guān)，則向量組α_1,α_2,α_3的秩必為18.下列說法正確的是（）A.若函數(shù)f(x)在x=0處取得極值，且f'(0)存在，則f'(0)=0B.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，則f(x)在區(qū)間[a,b]上必可導(dǎo)C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則f(x)在區(qū)間[a,b]上必有界D.若函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，則f(x)在x=0處必連續(xù)9.下列說法正確的是（）A.若級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，則級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)|a_n|必收斂B.若級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n發(fā)散，則級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)|a_n|必發(fā)散C.若級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，則級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n^2必收斂D.若級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n發(fā)散，則級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n^2必發(fā)散10.下列說法正確的是（）A.若矩陣A可逆，則det(A)≠0B.若矩陣A不可逆，則det(A)=0C.若矩陣A的特征值全為正，則A必為正定矩陣D.若矩陣A的特征值全為負(fù)，則A必為負(fù)定矩陣四、案例分析（每題6分，共18分）1.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且滿足f(0)=1,f(1)=2。證明：存在x_0∈(0,1)，使得f(x_0)=x_0。2.設(shè)矩陣A為3階矩陣，且滿足A^2-A=0。證明：A的特征值必為1或0。3.設(shè)向量組α_1,α_2,α_3為線性空間R^3中的三個(gè)向量，且線性無關(guān)。證明：向量組α_1+α_2,α_2+α_3,α_3+α_1也線性無關(guān)。五、論述題（每題11分，共22分）1.試論述函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積的必要條件和充分條件。2.試論述矩陣A的特征值與特征向量的定義及其性質(zhì)。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.錯(cuò)誤。反例：f(x)=1/x在[1,2]上連續(xù)，但無界。2.錯(cuò)誤。反例：a_n=(-1)^n/n收斂，但∑|a_n|=∑1/n發(fā)散。3.正確。矩陣可逆的定義。4.正確。線性無關(guān)向量組的線性組合仍線性無關(guān)。5.正確?？蓪?dǎo)必連續(xù)。6.正確?？煞e函數(shù)必有界。7.錯(cuò)誤。特征值為正不保證正定，需所有特征值正。8.正確。線性相關(guān)定義。9.正確。極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零。10.錯(cuò)誤。單調(diào)遞增函數(shù)不一定是可導(dǎo)的，如分段函數(shù)。二、單選題1.B.利用導(dǎo)數(shù)定義。2.C.絕對(duì)收斂的子級(jí)數(shù)收斂。3.C.det(kA)=k^ndet(A)，n=3,k=3。4.C.線性無關(guān)向量組秩等于向量個(gè)數(shù)。5.C.極值點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)為零。6.C.可積函數(shù)必有界。7.C.det(A)=λ_1λ_2λ_3。8.B.線性相關(guān)向量組秩小于向量個(gè)數(shù)。9.A.極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零。10.B.單調(diào)函數(shù)必連續(xù)。三、多選題1.A,B,C.2.C,D.3.A,B,C.4.A,B,C.5.A,C,D.6.A,B,C.7.A,B,C.8.A,C,D.9.C,D.10.A,B,C.四、案例分析1.證明：定義g(x)=f(x)-x，g(0)=1,g(1)=1。由介值定理，存在x_0∈(0,1)，使得g(x_0)=0，即f(x_0)=x_0。2.證明：A的特征值λ滿足λ^2-λ=0，即λ(λ-1)=0，故λ=0或1。3.證明：假設(shè)k_1(α_