/1.5.1等腰三角形【教學目標】經(jīng)歷探索等腰三角形的軸對稱性的過程，進一步體驗軸對稱的特性，培養(yǎng)幾何直觀能力.探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理.會用基本作圖作三角形：已知底邊及底邊上的高作等腰三角形.在“操作-探究-歸納-證明”的過程中，發(fā)展合情推理和演繹推理的能力.【教學重點】探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理.【教學難點】利用等腰三角形的性質(zhì)定理解決問題.創(chuàng)設(shè)情境：說說你對等腰三角形的認識.學生預(yù)設(shè)：兩條邊相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形是軸對稱圖形；探究新知：活動一：探究“等邊對等角”剪一個等腰三角形，記為△ABC，其中AB和AC是腰.將△ABC沿頂角∠BAC的平分線折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)？發(fā)現(xiàn)：等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在直線是它的對稱軸；△ABD和△ACD全等；∠B=∠C；BD=CD.歸納總結(jié)：等腰三角形的性質(zhì)定理1：等腰三角形的兩底角相等.（簡稱“等邊對等角”）活動二：探究“三線合一”由BD=CD可知，點D是BC的中點，從而AD是BC邊上的中線.由△ABD和△ACD全等，可知∠ADB=∠ADC，又因為∠ADB+∠ADC=180°，所以∠ADB=∠ADC=90°.從而，AD⊥BC，即AD是BC邊上的高.歸納總結(jié)：等腰三角形的性質(zhì)定理2：等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）活動三基本作圖作三角形已知線段a、h，用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC使底邊BC=a，高AD=h.例題精講：例1如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，且AD=BD.求證：∠ADB=∠BAC.例2如圖，在中，，是邊上的中線，于點，與相交于點F．(1)求證：；(2)若，求證：．練習：1．如圖，在中，，，，則（

）第1題第3題第4題A．5 B．6 C．7 D．82．等腰三角形的一個角為，則它的頂角的度數(shù)為（

）A． B．或 C．D．或3．我們知道三角形具有穩(wěn)定性，但四邊形卻是不穩(wěn)定的．已知四邊形的邊長如圖所示．當為等腰三角形時，對角線的長為（）A．4或6 B．5 C．4 D．64．如圖；在中，是的角平分線，下列結(jié)論正確的有（

）①；②；③；④；⑤．A．2個 B．3個 C．4個D．5個5．如圖，這是一個等腰三角形屋頂鋼架外框，其中，立柱，且頂角，則的度數(shù)為．第5題第6題第8題6．如圖，，的頂點C在直線m上，若，，，則．7．若一個等腰三角形的兩邊長分別為7和15，則這個等腰三角形的周長為．8．如圖，在中，是邊上的中線，作，交的延長線于點E．已知，那么．9．如圖，中，，，是的角平分線，以為腰作等腰直角三角形，使，連接，則的面積為．第9題第11題第12題10．等腰三角形兩腰上的高所在的直線形成的銳角為，則該等腰三角形的頂角的度數(shù)為．11．如圖：O是等邊內(nèi)一點，線段以C為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接、、、，若，當是等腰三角形，則度．12．如圖，在中，，的垂直平分線分別交，于點D，M，的垂直平分線分別交，于點E，N，連接，，則的度數(shù)為．13．如圖，在等腰中，，垂直平分，為的中點，E為上一動點．若，等腰的面積為8，則的最小值為．14．如圖1，△ABC，△AED是等腰直角三角形，∠EAD=90°，點B在線段AE上，點C在線段AD上．（1）請直接寫出線段BE與線段CD的數(shù)量關(guān)系為______；（2）如圖2，將圖1中的△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角α（0＜α＜90°），則（1）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由．15．如圖，平分，垂直平分，分別交，于點，，與平行嗎？解：平分（已知）_____（角平分線定義）垂直平分_____（_____）（_____）_____（等量代換）（______）16．如圖，已知：，，．求度數(shù)．17．如圖，在△ABC中，點D、E分別在BC和AB上，若AD=BD=AE，BE=DE=DC，求∠CAD的度數(shù)．18．如圖，在中，，用尺規(guī)作圖法在邊上求作一點，使．（保留作圖痕跡、不寫作法）19．如圖，在中，，點，都在邊上，且．請判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．20．在中，，，點D為直線上的一個動點（點D不與點B、C重合），以為邊作，，，連接．(1)發(fā)現(xiàn)問題如圖①，當點D在邊上時，①請直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為；②請直接寫出、、三者之間的數(shù)量關(guān)系(2)嘗試探究如圖②，當點D在邊的延長線上且其他條件不變時，（1）中、、之間存在的數(shù)量關(guān)系是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出新的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展延伸如圖③，當點D在的延長線上且其他條件不變時，若，，直接寫出線段的長為．參考答案例1證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C∵AD=BD，∴∠B=∠BAD，∴∠C=∠BAD.在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-2∠B在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-2∠B∴∠ADB=∠BAC例2（1）證明：∵，是邊上的中線，∴，，，，，∴，∴．（2）證明：由（1）知，，那么，在和中，，∴，∴，是邊上的中線，∴．練習1．解：∵，，∴由等腰三角形三線合一可知垂直平分，∴，故選：A．2．解：當為頂角時，答案就是本身；當為底角時，另一個底角為，頂角為，故頂角為或．故選：D．3．解：當為等腰三角形時，∴或；當時滿足，在滿足；當時，在中，，不滿足條件，舍掉；∴；故選：C．4．解∵在中，是的角平分線，∴∴，，，故①②④正確；∴，故⑤正確；無法證明，故③錯誤．綜上所述，正確的有4個．故選：C．5．解：，，，故答案為：．6．解：作，如圖，∴，∵，∴，∵為等腰三角形，，∴，∴，∴．故答案為：50．7．解：若等腰三角形的三邊長為7，7，15，，故不符合題意；若等腰三角形的三邊長為7，15，15，，則周長為；綜上所述，這個等腰三角形的周長為37．故答案為：37．8．解：如圖，過點作于點，∴，∵，∴，∵在中，是邊上的中線，∴，在和中，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：6．9．解：作交的延長線于點F，是的角平分線，，，，是等腰直角三角形，，，在和中，，，，，故答案為：16．10．解：①如圖1，當是鈍角時，由題意：，∴，②如圖2，當是銳角時，由題意：，∴，∴，綜上，該等腰三角形的底角的度數(shù)為或，故答案為：或．11．解：是等邊三角形，，，線段以C為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，是等邊三角形，，，在和中，，≌，，當是等腰三角形，且時，則，，，且，，，；當是等腰三角形，且時，則，，，；當是等腰三角形，且時，則，，，，綜上所述，的度數(shù)為或或，故答案為：110或125或140．12．解：∵，∴，∵垂直平分垂直平分，∴，∴，∴，∴，故答案為：．13．解：如圖，連接，交于點，連接，∵直線垂直平分，∴，∵兩點之間線段最短，∴的最小值為線段，∵等腰中,點為的中點，，，∴，，∴，即：，解得，∴，故答案為：4．14．解：（1）BE=CD，理由：∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，∴AE-AB=AD-AC，∴BE=CD，故答案為：BE=CD；（2）成立，理由：∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAE=∠CAD，在△BAE與△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD．15．解：平分（已知），（角平分線定義），垂直平分，（垂直平分線上的點到線段兩端點的距離），（等邊對等角），（等量代換），（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．16．解：延長到點E，使得，在和中，，，，，，，即點C為的中點，，，是等腰三角形，是底邊上的中線，，．17．解：∵AD=BD=AE，∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠AED，∵BE=DE，∴∠B=∠EDB，設(shè)∠B=∠BAD=∠EDB=α，∴∠AED=∠ADE=2α，∴∠ADB=3α，∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∴α+α+3α=180°，∴α=36°，∴∠ADB=108°，∠ADE=2α=72°，∠ADC=180°-∠ADB=72°，∴∠ADE=∠ADC，在△AED與△ACD中，，∴△AED≌△ACD（SAS），∴∠C=∠AED=72°，∴∠CAD=180°-72°-