專題08指數(shù)及指數(shù)函數(shù)【清單01】指數(shù)冪的運算性質(zhì)⑴⑵⑶⑷＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)，＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1).【清單02】根式1、根式的定義一般地，如果，那么叫做的次根式，其中叫做根式，叫做根指數(shù)，叫做開方數(shù).2、對于根式，要注意以下幾點⑴且；⑵當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，；⑶負數(shù)沒有偶次方根；⑷的任何次方根都是【清單03】指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.解析式的特點：1.底數(shù)是常數(shù)且不等于1的正數(shù)；2.指數(shù)是自變量x；3.冪的系數(shù)為1.【清單04】指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)函數(shù)a>10<a<1圖象最特殊點即圖象都過性質(zhì)①定義域R值域②即當(dāng)圖象都過定點(0，1)，③即不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)④當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1④當(dāng)x<0時，y>1；當(dāng)x>0時，0<y<1⑤在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)⑤在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)【清單05】與指數(shù)函數(shù)復(fù)合的函數(shù)單調(diào)性(1)關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調(diào)性由兩點決定，一是底數(shù)a>1還是0<a<1；二是f(x)的單調(diào)性．它由兩個函數(shù)y＝au，u＝f(x)復(fù)合而成．(2)若y＝f(u)，u＝g(x)，則函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性有如下特點：u＝g(x)y＝f(u)y＝f(g(x))增增增增減減減增減減減增(3)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通過考查f(u)和g(x)的單調(diào)性，求出y＝f(g(x))的單調(diào)性．【考點題型一】指數(shù)的運算【例1】.（多選），下列運算（化簡）中正確的有（

）A．B．C．D．【答案】ABD【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確．故選：ABD．【變式1-1】若，，則不能滿足的條件為（

）A．為奇數(shù)，為偶數(shù) B．為偶數(shù)，為奇數(shù)C．均為奇數(shù) D．均為偶數(shù)【答案】A【詳解】對于A：因為，當(dāng)為奇數(shù)，為偶數(shù)時，，此時無意義，不合題意，故A錯誤；對于B：因為，當(dāng)為偶數(shù)，為奇數(shù)時，，此時，符合題意，故B正確；對于C：因為，當(dāng)為奇數(shù)，為奇數(shù)時，，此時，符合題意，故C正確；對于D：因為，當(dāng)為偶數(shù)，為偶數(shù)時，，此時，符合題意，故D正確；故選：A【變式1-2】.若，，則（

）A．24 B．12 C． D．【答案】A【詳解】.故選：A【變式1-3】.（1）計算:（2）已知求的值.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）原式=.（2）因為，所以兩邊同時平方得：，所以，再兩邊同時平方得：，故，所以.【變式1-4】.（1）化簡求值：；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）194【詳解】（1）.（2）由，得，即，則，即.【變式1-5】.求值：(1)(2)【答案】(1)(2)【詳解】（1）.（2）.【考點題型二】指數(shù)函數(shù)的圖像【例2】.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與（且）的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)的對稱軸為，且函數(shù)與軸交點的縱坐標(biāo)為，D不符合，C符合.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)的對稱軸為，B不符合，且函數(shù)與軸交點的縱坐標(biāo)為，A不符合.故選：C.【變式2-1】.函數(shù)圖象的一部分如圖所示，則函數(shù)的解析式有可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，因為，在定義域上單調(diào)遞減，故排除C、D；又當(dāng)時，顯然不過點，故B錯誤；在定義域上單調(diào)遞增，且，所以，符合題意.故選：A【變式2-2】.函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【詳解】，所以，排除AC，且，排除D.故選：B【變式2-3】.函數(shù)的大致圖像是（

）A．

B．

C． D．【答案】C【詳解】由函數(shù)，當(dāng)時，可得，可得排除B、D選項；當(dāng)時，可得；當(dāng)時，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長趨勢，可得函數(shù)大于函數(shù)的增長速度，所以，所以選項A不符合，選項C符合.故選：C.【變式2-4】.（多選）函數(shù)與的大致圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AC【詳解】對于A，當(dāng)時，單調(diào)遞增，與軸交于正半軸，在上單調(diào)遞增，故選項A符合題意．對于B選項，由指數(shù)函數(shù)的圖象可知，由一次函數(shù)的圖象可知，則，故選項不符合題意．對于C，當(dāng)時，單調(diào)遞減，與軸交于正半軸，在上單調(diào)遞減，C選項符合題意．對于D選項，由一次函數(shù)圖象可知，解得，則D選項不符合題意．故選：AC.【變式2-5】.（多選）函數(shù)，且的部分圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AC【詳解】函數(shù)的定義域為，且，則是偶函數(shù)，故D錯誤，．當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，且，A正確，B錯誤．當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，且，C正確．故選：AC.【考點題型三】指數(shù)的函數(shù)的恒過定點問題【例3】.已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的圖像過定點（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意得且，解得，，令得，此時，故的圖像過定點.故選：A【變式3-1】.函數(shù)（且）的圖象必過定點的坐標(biāo)是.【答案】【詳解】令，則，所以，所以圖象所過定點坐標(biāo)為.故答案為：.【變式3-2】.函數(shù)的圖象恒過定點，則點坐標(biāo)為.【答案】【詳解】令，則，故，因此，故答案為：【考點題型四】指數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性【例4】.已知函數(shù)，滿足對任意都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，對任意都有成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B.【變式4-1】.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上為增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】A：令，定義域為R，，則，所以為非奇非偶函數(shù)，在R上單調(diào)遞減，故A不符合題意；B：令，定義域為R，，則，所以為非奇非偶函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，故B不符合題意；C：令，定義域為R，，所以為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故C符合題意；D：令，定義域為R，，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，故D不符合題意.故選：C【變式4-2】.已知函數(shù)在區(qū)間上滿足，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由于在區(qū)間上滿足，所以在上單調(diào)遞減，所以，解得.故選：C【變式4-3】.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.【變式4-4】.（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．定義域為RB．值域為C．在上單調(diào)遞增D．在上單調(diào)遞減【答案】ABD【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為R，故A正確；對于B，因為，所以，故函數(shù)的值域為，故B正確；對于CD，因為在R上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，C錯誤，D正確.故選：ABD.【變式4-5】已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點，函數(shù).(1)求的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；(3)若不等式對恒成立，求t的取值范圍.【答案】(1)(2)單調(diào)遞增，證明見解析(3)【詳解】（1）設(shè)（，且），由，得，所以.（2）在上單調(diào)遞增.證明如下：由題意得.，，且，則.由，得，，則，.所以，即，故在上單調(diào)遞增.（3）由題意得，所以是偶函數(shù).由，得，易得，，因為在上單調(diào)遞增，所以由，得.當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，.因為，所以，得，即t的取值范圍為.【考點題型五】指數(shù)的比較大小【例5】.已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，所以.故選：A.【變式5-1】.設(shè)，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為是增函數(shù)，所以，是減函數(shù)，所以，故又函數(shù)在第一象限內(nèi)為增函數(shù)，故，又為減函數(shù)，故，綜上可得．故選：B．【變式5-2】.若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則；由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則，由，則.故選：A.【變式5-3】.已知那么a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因函數(shù)在R上單調(diào)遞減，在R上單調(diào)增.則．所以．故選：B【變式5-4】.若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為是減函數(shù)，所以，即．易得，則冪函數(shù)是增函數(shù)，所以，又是減函數(shù)，所以．故．故選：D.【考點題型六】指數(shù)函數(shù)綜合應(yīng)用【例6】.已知函數(shù)是奇函數(shù).(1)若，，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2)若，，求函數(shù)在時的值域：(3)若函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求的解析式.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）當(dāng)，時，，任取、，且，則，所以，，則，所以，當(dāng)，時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)，時，則，當(dāng)時，，則，則，則，故當(dāng)，時，函數(shù)在時的值域為.（3）因為函數(shù)為奇函數(shù)，且，則，可得①，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，即，整理可得②，聯(lián)立①②可得，，此時，，對于函數(shù)，有，解得，該函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，，故函數(shù)為奇函數(shù)，合乎題意.因此，.【變式6-1】.已知是奇函數(shù)，時，則不等式的解集為.【答案】【詳解】設(shè)，則，所以，又為奇函數(shù)，所以，所以，不等式，即或，解得或，所以不等式的解集為.故答案為：【變式6-2】.若是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】當(dāng)時，為增函數(shù)，又是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，，故在R上為增函數(shù).故則，故，即，解得.故選；A【變式6-3】.定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，若函數(shù)的最小值為，則（

）A．1 B．3 C． D．【答案】C【詳解】①，故，因為為上的偶函數(shù)，為上的奇函數(shù)，故，所以②，式子①和②聯(lián)立得，，，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以在上的最小值為，由于的對稱軸為，故當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，故，解得，不合要求，舍去；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，解得，負值舍去；故選：C【變式6-4】.已知函數(shù)，若正數(shù)m，n滿足，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，所以，所以由可得，即，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：D【變式6-5】.（多選）已知函數(shù)，則（

）A．是上的減函數(shù)B．的圖象關(guān)于點對稱C．若是奇函數(shù)，則D．不等式的解集為【答案】ACD【詳解】對于A選項，任取、，且，則，則，所以，，所以，函數(shù)是R上的減函數(shù)，A對；對于B選項，因為函數(shù)的定義域為R，則，所以，，所以，函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點對稱，B錯；對于C選項，因為函數(shù)y=fx是奇函數(shù)，即函數(shù)y=f由B選項可知，函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點對稱，則，解得，C對；對于D選項，由，可得，因為函數(shù)是R上的減函數(shù)，則，解得，故不等式的解集為，D對.故選：ACD.【變式6-6】.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，且.(1)求出a，b的值，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)若，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明見解析(2)【詳解】（1）由題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且所以，解得，此時，則，符合題意，所以.函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：由，任取，且，則，因為，所以，，則，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）由題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，由，即，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，即實數(shù)m的取值范圍為.檢測訓(xùn)練1.設(shè)，則的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】．故選：D2.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為的定義域為，所以在中，，則在中，，解得，故的定義域為.故選：B3.已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（

）A． B． C．9 D．【答案】B【詳解】由題意得，得，當(dāng)時，．所以．故選：B4.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】依題意，，而，所以.故選：A5.已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為在定義域上單調(diào)遞減且過點0,1，定義域為，在定義域上單調(diào)遞增且過點，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖象如下：所以與有且僅有一個交點，且交點的橫坐標(biāo)屬于0,1，又，所以，又，所以，因為，所以，綜上可得.故選：D6.已知是奇函數(shù)，當(dāng)時，且，又，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，且，則，即，所以，，所以，當(dāng)時，，故，故選：C.7.已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【詳解】由f?x=fx解得，.當(dāng)時，，定義域為，關(guān)于原點對稱，故符合題意，故選：B.8.若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】①函數(shù)單調(diào)性遞增，則滿足，即，解得.②若函數(shù)單調(diào)性遞減，則滿足即，此時無解.綜上實數(shù)取值范圍為：.故選：D.9.（多選）下列結(jié)論中正確的是（

）A．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則B．函數(shù)且的圖象必過定點C．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是D．若冪函數(shù)，則對任意、，都有【答案】BCD【詳解】對于A選項，設(shè)冪函數(shù)的解析式為，由題意可得，解得，則，A錯；對于B選項，因為，所以，函數(shù)且的圖象必過定點，B對；對于C選項，因為內(nèi)層函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為1,+∞，外層函數(shù)為減函數(shù)，故函數(shù)的增區(qū)間為，C對；對于D選項，冪函數(shù)，對任意的，則，則對任意、，，，所以，，所以，，可得，所以，，D對.故選：BCD.10.（多選）下列命題中正確的是（

）A．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是B．函數(shù)在上的值域為C．若關(guān)于的方程的兩根分別為，，且，則有D．函數(shù)，則不等式的解集為【答案】BCD【詳解】對于A，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，由函數(shù)是R上的減函數(shù)，有函數(shù)在上單調(diào)遞減，時符合題意，A選項錯誤；對于B，，時，，有，得，所以函數(shù)在上的值域為，B選項正確；對于C，若關(guān)于的方程的兩根分別為，，且，則有，，所以，C選項正確；對于D，設(shè)，，，，即，設(shè)，，由于，故，，故，則，故為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則，即，故，解得，D選項正確.故選：BCD.11.解決下列問題：(1)計算(2)(3)已知=5，求的值【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1），，；（2）因為，所以，即，此時有，解得（3）因為，所以，，.12.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求b的值；(2)判斷函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)若，使成立，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)(2)函數(shù)是減函數(shù)，證明見解析(3)．【詳解】（1）因為函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以恒成立，即，整理得恒成立，所以；（2）由（1）可知，函數(shù)，因為為增函數(shù)，且，所以在上為減函數(shù).證明如下：，，，，因為，則，，所以，故函數(shù)是減函數(shù)．（3）由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，由（2）知函數(shù)是上的減函數(shù)，則有，即，因為，因為，有最大值9，所以，即的取值范圍為．13.（1）化簡：．（2）已知，求．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）.（2）∵，∴，即，∴，∴，故，∴.14.已