第十六章

軸對稱和中心對稱16.3角的平分線課堂小結(jié)例題講解獲取新知隨堂演練情景導(dǎo)入知識回顧知識回顧1.角平分線的概念？一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.如圖1，射線OC是∠AOB的平分線.OBCA122.如圖2中能表示點(diǎn)P到直線l的距離的是

.線段PC的長PlABCD圖1圖2情景導(dǎo)入

如圖，要在S區(qū)建一個貿(mào)易市場，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿(mào)市場應(yīng)建在何處（比例尺為1︰20000）？O獲取新知知識點(diǎn)角的平分線的性質(zhì)定理11.在一張半透明紙上畫出一個角，將紙對折，使這個角的兩邊重合.從中你能得出什么結(jié)論?一起探究2.按圖所示的過程，將你畫出的∠AOB依上述辦法對折后，設(shè)折痕為直線OC；再折紙，設(shè)折痕為直線n，直線n與邊OA，OB分別交于點(diǎn)D，E，與折線OC交于點(diǎn)P；將紙展開鋪平后，猜想線段PD與線段PE，線段OD與線段OE分別具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.事實(shí)上，∠AOB是軸對稱圖形，它的平分線OC是對稱軸.由折紙過程可知，PD＝PE，特別地，當(dāng)折痕n與OB垂直時，可得出：角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等.

下面就來證明折紙過程中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上任意一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD＝PE.證明：在△PDO和△PEO中，∵∴△PDO≌△PEO(AAS).∴

PD＝PE(全等三角形對應(yīng)邊相等).性質(zhì)定理：

角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）點(diǎn)到角兩邊的距離是指點(diǎn)到角兩邊垂線段的長度.定理的作用：

證明線段相等.幾何語言：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE（在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等）.推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC總結(jié)例1

已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線且BD=CD∠B=∠C,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF分析：先利用角平分線的性質(zhì)定理得到DE=DF，再利用全等證明Rt△BDE≌Rt△CDF.ABCDEF證明：

∵AD是∠BAC的角平分線，

DE⊥AB,DF⊥AC，∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和

Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF.∴EB=FC.BD=CD，∠B=∠C，∠DEB=∠DFC，變式練習(xí)1

如圖，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分線上一點(diǎn)，CP∥OB，交OA于點(diǎn)C，PD⊥OB，垂足為點(diǎn)D，且PC＝4，則PD等于(

)A．1B．2C．4D．8B解析：作PE⊥OA于E，如圖，∵CP∥OB，∴∠ECP＝∠AOB＝30°，在Rt△EPC中，PE＝

PC＝

×4＝2，∵P是∠AOB平分線上一點(diǎn)，PE⊥OA，PD⊥OB，∴PD＝PE＝2．溫馨提示：1.求某點(diǎn)到一條直線的距離，若條件中有角平分線，則要想到角平分線的性質(zhì)定理，轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到另一邊的距離．2.過角平分線上一點(diǎn)作垂線段是解決有關(guān)角平分線問題最常用的作輔助線的方法．知識點(diǎn)角平分線性質(zhì)定理的逆定理21.寫出角平分線的性質(zhì)定理的逆命題.2.根據(jù)這個逆命題的內(nèi)容，畫出圖形.3.結(jié)合圖形，提出你對這個逆命題是否正確的猜想.4.設(shè)法驗(yàn)證你的猜想.做一做思考：角平分線的性質(zhì)定理的逆定理是真命題還是假命題呢？角平分線的性質(zhì)定理的逆定理角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.PAOBCDE應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.幾何語言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴點(diǎn)P

在∠AOB的平分線上.例2

如圖，BE＝CF，DF⊥AC于點(diǎn)F，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF和CE相交于點(diǎn)D.求證：AD平分∠BAC.分析：要證AD平分∠BAC，已知條件中有兩個垂直，即有點(diǎn)到角的兩邊的距離，再證這兩個距離相等即可證明結(jié)論，證這兩條垂線段相等，可通過證明△BDE和△CDF全等來完成．∵DF⊥AC于點(diǎn)F，DE⊥AB于點(diǎn)E，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.在△BDE和△CDF中，∵∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.又∵DF⊥AC于點(diǎn)F，DE⊥AB于點(diǎn)E，∴AD平分∠BAC.證明：判定角平分線的兩步：(1)找出角的兩邊的垂線段；(2)證明兩條垂線段相等．變式練習(xí)2

已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明：過點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.D

EF

A

BC

P

NM

D

EF

A

BC

P

NM

思考：1.點(diǎn)P在∠A的平分線上嗎？點(diǎn)P在∠A的平分線上.三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.2.三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？獲取新知知識點(diǎn)尺規(guī)作角的平分線3AＢoＭＮＣ畫法：１.以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交OA于M，交OB于N．２.分別以M，N為圓心，大于

MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于C．３.作射線OC．射線OC即為所求．Ｃ例3

如圖，已知∠AOB.求作：∠AOB的平分線.AＢＭＮＣ思考：為什么OC是角平分線呢？

Ｏ證明：在△OMC和△ONC中，

OM=ON，

MC=NC，

OC=OC，∴△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC

即：OC平分∠AOB作圖依據(jù)：作角平分線的理論根據(jù)是三角形全等的判定方法：SSS．拓展：根據(jù)角平分線的作法可以作已知角的四等分線．易錯警示：作角平分線的最后一步“過兩點(diǎn)作射線”時，不能簡單地敘述為“連接兩點(diǎn)”，連接兩點(diǎn)是線段，角平分線是射線而不是線段．1.作法中“以適當(dāng)長為半徑”的目的是為方便作圖，不能太大或太??；“大于EF的長為半徑畫弧”是因?yàn)槿粢孕∮诨虻扔贓F的長為半徑畫弧時，畫出的兩弧不能相交或交點(diǎn)不明顯．歸納

例題講解變式練習(xí)3

如圖，要在S區(qū)建一個貿(mào)易市場，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿(mào)市場應(yīng)建在何處（比例尺為1︰20000）？DCS解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求.O隨堂演練1.用尺規(guī)作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（

）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等ABMNCOA2.如圖，在CD上求一點(diǎn)P，使它到邊OA，OB的距離相等，則點(diǎn)P是(

)A．線段CD的中點(diǎn)B．CD與過點(diǎn)O作CD的垂線的交點(diǎn)C．CD與∠AOB的平分線的交點(diǎn)D．以上均不對C3.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG4.如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長分別為40，50，60，其三條角平分線交于點(diǎn)O，則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝________________.4∶5∶65.如圖，在△ABC中，∠C=90°,∠CAB=50°,按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，小于AC的長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)；②分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)G;③作射線AG交BC邊于點(diǎn)D，則∠CDA的度數(shù)為________.65°6.如圖，AP，CP分別是△ABC的外角∠MAC和∠NCA的平分線，它們交于點(diǎn)P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求證：BP為∠MBN的平分線．證明：過P作PE⊥AC于點(diǎn)E，如圖所示．∵AP平分∠MAC，PD⊥AM，PE⊥AC，∴PD＝PE，∵CP平分∠ACN，PF⊥CN，PE⊥AC，∴PE＝PF，∴PD＝PF，∴P在∠MBN的平分線上，即BP為∠MBN的平分線．7.如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，試說明AD與EF的關(guān)系．解：AD垂直平分