廣東梅縣東山中學(xué)屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷命題：廖怡娜，楊利平，曾巧志審題：周東賢，陳志遠(yuǎn)本試卷共4頁(yè)，題，全卷滿(mǎn)分分考試用時(shí)分鐘.★?？荚図樌镆?單選題：本題共8小題，每小題5分，共分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合一元二次不等式解法化簡(jiǎn)集合，根據(jù)并集的定義求結(jié)論.【詳解】不等式的解集為，所以，又，所以.故選：C.2.命題“”的否定是（）A.B.CD.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定為存在量詞命題判斷即可.【詳解】命題“”為全稱(chēng)量詞命題，其否定為：.故選：A第1頁(yè)/共17頁(yè)3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.A不正確，由反比例函數(shù)知在上為減函數(shù)，B不正確，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知為偶函數(shù)，C不正確，由正弦函數(shù)性質(zhì)知為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，D正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了常見(jiàn)基本初等函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，屬于中檔題.4.，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求解.【詳解】由于，，，所以；故選：B5.已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，則實(shí)數(shù)k的值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】將切點(diǎn)代入直線(xiàn)求解即可.第2頁(yè)/共17頁(yè)【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，則，所以直線(xiàn)方程為.又因?yàn)樵谥本€(xiàn)上，所以，解得.所以.故選：C6.已知函數(shù).若有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，作出圖象即可求解.【詳解】令可得，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C7.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）第3頁(yè)/共17頁(yè)【答案】B【解析】【分析】由正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合題意可得.【詳解】由題意可得，即，令，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：B8.若，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知的等式構(gòu)造不等式，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，得到與的大小關(guān)系，再根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)判斷，可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?設(shè)（，在在上單調(diào)遞增.所以，所以，故A錯(cuò)，C正確；又因?yàn)?，所以，所以或無(wú)意義，故B、D均不正確.故選：C第4頁(yè)/共17頁(yè)二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有以下四個(gè)命題，其中正確的是（）A.若，，則B.若，則C.若，且，則D.若，則【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A(yíng)，舉反例即可判斷；對(duì)于BCD，由作差法或者不等式的基本性質(zhì)即可判斷.【詳解】對(duì)于A(yíng)，若，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，顯然，即，則，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，則，又，即，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，即，故D正確.故選：BD.10.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，如下判斷正確的是（）A.若，則為等腰三角形B.若，則C.若為銳角三角形，則D.若滿(mǎn)足條件的有兩個(gè)，則的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合二倍角的正弦公式可判斷A的正誤，根據(jù)正弦定理邊角轉(zhuǎn)化后可判斷B的正誤，根據(jù)誘導(dǎo)公式可判斷C的正誤，根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)可得，計(jì)算后可判斷D的正誤.【詳解】對(duì)于A(yíng)，因?yàn)?，由正弦定理可得，故，因?yàn)?，?頁(yè)/共17頁(yè)故或，故或，故為等腰三角形或直角三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)為外接圓的半徑，因?yàn)?，故，故即，故B正確；對(duì)于C，若為銳角三角形，故，故，故即，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)闈M(mǎn)足條件的有兩個(gè)，所以即，故D正確.故選：BCD.設(shè)集合（為集，下列結(jié)論正確的是（）A.若是集，則或B.若集合是集，集合是非空數(shù)集，則是集C.若集合是集，集合，則為集D.，且，使得是集【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)集的定義求出，即可判斷A，舉反例判斷B，根據(jù)集的定義判斷C、D.【詳解】對(duì)于A(yíng)：由集的定義及已知得，，或，或，解得或（舍去A正確；對(duì)于B：若取，則，，顯然不符合集的定義，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由集，所以存在（，因?yàn)橹械脑貍€(gè)數(shù)不小于，所以且，使得，第6頁(yè)/共17頁(yè)且兩兩不等，由，得，所以為集，故C正確；對(duì)于D：設(shè)，取，滿(mǎn)足（,是集，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義得到方程求出的值，再代入檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)與軸、軸均有交點(diǎn)，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋c軸沒(méi)有交點(diǎn)，又恒成立，所以恒成立，所以與軸沒(méi)有交點(diǎn)，符合題意.所以.故答案為：13.已知函數(shù)__________.【答案】##第7頁(yè)/共17頁(yè)【分析】根據(jù)周期求出，再根據(jù)求出，最后根據(jù)求出，即可得到函數(shù)解析式，再代入計(jì)算可得.【詳解】由圖可得函數(shù)的最小正周期且，所以，所以，又，所以，則，所以，又，所以，則.故答案為：14.若函數(shù)的圖象存在對(duì)稱(chēng)軸，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)的對(duì)稱(chēng)軸為，則，從而得到方程，求出，故，令，換元并配方得到當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.【詳解】設(shè)的對(duì)稱(chēng)軸為，則，即，化簡(jiǎn)得，，第8頁(yè)/共17頁(yè)故需滿(mǎn)足，解得，故，令，故，則，故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值，最小值為.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極值；（2）求函數(shù)在上的最值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；極大值為，無(wú)極小值（2），【解析】【分析】(1)先求函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求得函數(shù)的極值;(2)根據(jù)第(1)小問(wèn)的單調(diào)性，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求出最大值，而函數(shù)的最小值是，比較和的大小，求得函數(shù)的最小值.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域是.又，令，得，令，得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，第9頁(yè)/共17頁(yè)所以函數(shù)的極大值為，無(wú)極小值.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以所以在上的最小值為.又因?yàn)?，所以，所以函?shù)在上的最小值為，即.16.已知函數(shù).（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）利用二倍角公式及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，再代入計(jì)算可得；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（3）首先求出，從而求出，再由兩角差的余弦公式計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?0頁(yè)/共17頁(yè)所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，令，,解得，,所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)3詳解】又∵，∴，∵，則，∴，∴，所以.17.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）解不等式.第11頁(yè)/共17頁(yè)（2）在上為減函數(shù)，證明見(jiàn)解析（3）【解析】1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性列方程來(lái)求得，從而求得的解析式.（2）根據(jù)單調(diào)性的定義，計(jì)算來(lái)判斷的單調(diào)性.（3）利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求得不等式的解集.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，解得，所以，而，所以，解得，所以，．【小問(wèn)2詳解】函數(shù)在上為減函數(shù)，證明如下：任取，且，則，因?yàn)?，所以，，，，所以，即，所以函?shù)在上為減函數(shù)．【小問(wèn)3詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以不等式可化為，第12頁(yè)/共17頁(yè)因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，所以．解得，所以不等式的解集為．18.在中，角的對(duì)邊分別為，且滿(mǎn)足．（1）求；（2）已知，且為銳角三角形，為其外心．①若點(diǎn)到邊的距離，求；②設(shè)為垂心，為內(nèi)心，且不是等邊三角形，求比值的取值范圍．【答案】（1）（2）①；②.【解析】1）利用正弦定理將等式化簡(jiǎn)，然后根據(jù)角的范圍求出即可.（2）①根據(jù)正弦定理求出三角形外接圓半徑，然后根據(jù)外心到邊長(zhǎng)的距離與三角形內(nèi)角的關(guān)系，可求出，最后根據(jù)和差倍角的正切公式即可求出；②根據(jù)向量的加減求出，進(jìn)而求出比值的范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以根?jù)正弦定理得.因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，又，故．【小?wèn)2詳解】①外心到邊的距離為，其中為外接圓半徑．由已知得．第13頁(yè)/共17頁(yè)所以，從而，所以．因此．②由銳角三角形得．設(shè)，不妨取，對(duì)應(yīng)等邊三角形，應(yīng)排除．由及，計(jì)算得．所以，結(jié)合，因此．19.已知函數(shù)，在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為．（1）求a的值；（2）求的最小值；（3）設(shè)，若對(duì)恒成立，求b的最大值．【答案】（1）1（2）0（3）2【解析】第14頁(yè)/共17頁(yè)1）求導(dǎo)得，結(jié)合曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，所以，求出.（2）由（1）知，求導(dǎo)得到，令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，推出存在使得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，結(jié)合得出在上恒成立，從而推出在上單調(diào)遞增，故最小值為.（3）若對(duì)恒成立，令，則，由（2）知，所以，因?yàn)椋裕僭O(shè)當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)對(duì)恒成立，結(jié)合推出在上單調(diào)遞減，所以，從而推出在上恒成立.【小問(wèn)1詳解】由得．因?yàn)榍€(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，所以，解得．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，所以，令，則．因在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，