PAGE一道課本例題的演變與聯(lián)想數(shù)學(xué)課本中有不少例題，習(xí)題具有典型性、示范性、遷移性和再生性等特點(diǎn)，若以這些題為原型加以演變和聯(lián)想，不僅可以得到一些“源于教材，高于教材”的好題，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的探究創(chuàng)新能力，將是實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效的得力措施.下面推薦人教版幾何第二冊(cè)例題，談?wù)務(wù)n本例題的演變和聯(lián)想.1原題回放例1如圖1，是一塊銳角三角形余料.邊BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？圖1解設(shè)正方形PQMN為加工成的正方形零件，邊QM在BC上,頂點(diǎn)P、N分別在AB、AC上.的高AD與邊PN相交于點(diǎn)K，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x毫米.圖1∵PN∥BC,∴∽.∴(相似三角形對(duì)應(yīng)高之比等于相似比)∴，解得x=48（毫米）2原題演變演變1內(nèi)接正方形變?yōu)楣潭▋?nèi)接矩形圖2例2如圖2，已知△ABC中，BC=120，BC上的高AD=80，四邊形PQMN為△ABC的內(nèi)接矩形，且PQ59，求S矩形PQMN。圖2解設(shè)PQ=5x,QM=9x.則AK=80—5x,PN=QM=9x.∵PN∥BC,∴∽.∴，∴解得x=4.∴S矩形PQMN=PQ×QM=20×36=720（平方單位）.點(diǎn)評(píng)利用相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于相似比是解決例1和例2的關(guān)鍵.演變2內(nèi)接正方形變?yōu)閯?dòng)態(tài)內(nèi)接矩形例3如圖2，已知△ABC中，BC=120，BC上的高AD=80，四邊形PQMN為△ABC的內(nèi)接矩形，求矩形PQMN的最大面積.解設(shè).同上可知：，即∴當(dāng)x=40時(shí)，矩形PQMN有最大面積2400（平方單位）.點(diǎn)評(píng)本題將相似三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)有機(jī)結(jié)合，形的最值問題轉(zhuǎn)化成數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想.演變3內(nèi)接正方形變?yōu)閯?dòng)態(tài)正方形例4（2008年湖北省孝感市）銳角中，，，兩動(dòng)點(diǎn)分別在邊上滑動(dòng)，且，以為邊向下作正方形，設(shè)其邊長(zhǎng)為，正方形與公共部分的面積為.圖3圖4圖3圖4圖5（1）中邊上高；（2）當(dāng)時(shí)，恰好落在邊上（如圖3）；（3）當(dāng)在外部時(shí)（如圖4），求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（注明的取值范圍），并求出為何值時(shí)最大，最大值是多少？解（1）；（2）；（3）設(shè)分別交于，則四邊形為矩形．如圖5.設(shè)，交于，則，．，∴．∴，即，∴．∴，配方得：．∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值是6.點(diǎn)評(píng)雖然正方形在運(yùn)動(dòng)，但其問題的本質(zhì)仍然是相似三角形的性質(zhì)與二次函數(shù)的有機(jī)結(jié)合，運(yùn)動(dòng)中也有“靜止不變”的一面.演變4動(dòng)態(tài)正方形變?yōu)閯?dòng)態(tài)平行四邊形例5（2005年湖北省宜昌市）已知△ABC的高AE=5，BC=，∠ABC＝45°，F(xiàn)是AE上的點(diǎn)，G是點(diǎn)E關(guān)于F的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)G作BC的平行線與AB交于H、與AC交于I，連接IF并延長(zhǎng)交BC于J，連接HF并延長(zhǎng)交BC于K．（1）請(qǐng)你探索并判斷四邊形HIKJ是怎樣的四邊形？并對(duì)你得到的結(jié)論予以證明；圖6圖7（2）當(dāng)點(diǎn)F在AE上運(yùn)動(dòng)并使點(diǎn)H、I、K、J都在△ABC的三條邊上時(shí)，求線段AF圖6圖7解(1)如圖6，∵點(diǎn)G與點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱，∴GF=FE.∵HI∥BC，∴∠GIF=∠EJF，又∵∠GFI=∠EFJ，∴△GFI≌△EFJ，∴GI=JE.同理可得HG=EK，∴HI=JK,∴四邊形HIKJ是平行四邊形.（2）當(dāng)F是AE的中點(diǎn)時(shí)，A、G重合，所以AF=2.5.∵AE過平行四邊形HIJK的中心F,∴HG=EK,GI=JE.∴.∵CE＞BE,∴GI＞HG,∴CK＞BJ.∴當(dāng)點(diǎn)F在AE上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)K、J隨之在BC上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)F的位置使得B、J重合時(shí)，這時(shí)點(diǎn)K仍為CE上的某一點(diǎn)（不與C、E重合），而且點(diǎn)H、I也分別在AB、AC上.設(shè)EF＝x，∵∠AHG＝∠ABC＝45°，AE＝5，∴BE＝5＝GI，AG＝HG＝5—2x,CE＝—5.如圖7.∵△AGI∽△AEC，∴AG∶AE＝GI∶CE，∴(5—2x)∶5＝5∶(—5)∴x＝1，∴AF＝5—x＝4，∴＜AF≤4.點(diǎn)評(píng)運(yùn)動(dòng)的正方形變成運(yùn)動(dòng)的平行四邊形，線段AF的變化在無法用函數(shù)來描述的情況下，采取探究變化的極端情況來分析，正好兩個(gè)極端位置所對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)度是明顯的最值.演變5動(dòng)態(tài)平行四邊形變?yōu)閯?dòng)態(tài)等腰直角三角形例6△ABC的高AD=3，BC=4，直線EF∥BC,交線段AB于E，交線段AC于F，交AD于G，以EF為斜邊作等腰直角三角形PEF（點(diǎn)P與點(diǎn)A在直線EF的異側(cè)），設(shè)EF為x，△PEF與四邊形BEFC重合部分的面積為y.（1）求線段AG（用x表示）；（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求x的取值范圍.圖8圖8圖9解（1）∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴,∴,∴AG=.（2）(i)如圖8，當(dāng)點(diǎn)P在四邊形BCEF的內(nèi)部或BC邊上時(shí)，過點(diǎn)P作PH⊥EF于H.∵△PEF為等腰直角三角形，∴PH=，∴y=×EF×PH=.∵PH≤DG，∴≤，即0＜x≤.(ii)如圖9，當(dāng)點(diǎn)P在四邊形BCFE的外部時(shí)，過點(diǎn)P作PH⊥EF于H，交MN于K，同理可得PH=.∵EF∥BC，∴,∴四邊形HGDK為矩形，∴HK=DG=3—.∴PK=—（3—）=.∵EF∥BC，∴△PMN∽△PEF,∴,∴△PMN為等腰直角三角形.∴===.∴.∵PH＞DG,∴＞3—,即x＞,∴.演變6動(dòng)態(tài)等腰直角三角形變?yōu)閯?dòng)態(tài)一般三角形（折疊變換+平移）例7（2009年廣東省清遠(yuǎn)市）如圖10，已知一個(gè)三角形紙片，邊的長(zhǎng)為8，邊上的高為，和都為銳角，為一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，在中，設(shè)的長(zhǎng)為，上的高為．圖10圖10MNCBEFAA1圖11（1）請(qǐng)你用含的代數(shù)式表示．（2）將沿折疊，使落在四邊形所在平面，設(shè)點(diǎn)落在平面的點(diǎn)為，與四邊形重疊部分的面積為，當(dāng)為何值時(shí)，最大，最大值為多少？解（1），，.（2），的邊上的高為.(i)當(dāng)點(diǎn)落在四邊形內(nèi)或邊上時(shí)，=（0）(ii)當(dāng)落在四邊形外時(shí)，如圖11，設(shè)的邊上的高為，則，.,∴..∴綜上：（1）當(dāng)時(shí)，，取，；（2）當(dāng)時(shí)，，取，.，∴當(dāng)時(shí)，最大，.圖12點(diǎn)評(píng)雖然運(yùn)動(dòng)變化的形式發(fā)生改變，但問題的本質(zhì)仍然是圍繞相似三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)來展開，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，以形論數(shù)，以數(shù)析形.圖123原題聯(lián)想聯(lián)想1探究?jī)?nèi)接平行四邊形面積的最大值例8如圖12，平行四邊形PQRS的一邊SR在△ABC的邊BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)P、Q分別在AB、AC上.探究平行四邊形PQRS的面積的最大值.解過A作AD⊥BC，垂足為D，交PQ于點(diǎn)E.設(shè).由PQ∥BC,得△APQ∽△ABC.∴,即.又由面積可得.根據(jù)韋達(dá)定理，可把、看成關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，則有判別式△≥0，得,即平行四邊形的面積不大于原三角形面積的一半.聯(lián)想2探究等比數(shù)列的求和例9如圖13，在中，直角邊，，作的內(nèi)接正方形（記作正方形），然后沿C→A方向作的內(nèi)接正方形（記為正方形），作的內(nèi)接正方形（記為正方形）,依次無窮地截下去……分步研究4個(gè)問題如下：（1）用a、b表示正方形、、的邊長(zhǎng)、、；（2）猜想第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)；（3）估計(jì)當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)的結(jié)果；（4）嘗試研究無窮多個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的總和S.解的求法:E1D1∥AC.的求法:考慮“截取”方式相同，我們只需將“看作”，也就是把、分別“看作”起始狀態(tài)中的a、b，即用同樣的方式列出的方程：圖13，圖13將代入即得：，同樣整理、、得：、、.由此猜測(cè)：.顯然，＜1，當(dāng)n越來越大時(shí)，將迅速變得小起來,當(dāng)n足夠大時(shí)，的值將趨近于0,這時(shí)=0.最后，我們來看看這n個(gè)正方形邊長(zhǎng)的總和S.=+++…+.這是一個(gè)無窮等比數(shù)列的求和問題.當(dāng)n無窮大時(shí)，將變得越來越