2026屆廣東湛江市大成中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．對(duì)于兩個(gè)平面、，“內(nèi)有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．已知隨機(jī)變量，且，，則為（）A.0.1358 B.0.2716C.0.1359 D.0.27183．若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.4．設(shè)雙曲線與橢圓：有公共焦點(diǎn)，.若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè)為雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，則的余弦值為（）A. B.C. D.5．某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個(gè)不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（）種A.9 B.36C.54 D.1086．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線與交于、兩點(diǎn)，過(guò)線段的中點(diǎn)且垂直于的直線與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則的斜率為（）A. B.C. D.7．若直線與直線垂直，則a=（）A.-2 B.0C.0或-2 D.18．將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，則直線到原點(diǎn)的距離不超過(guò)1的概率是（）A. B.C. D.9．劉徽是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是中國(guó)寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，他所提出的割圓術(shù)可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意精度.割圓術(shù)的第一步是求圓的內(nèi)接正六邊形的面積.若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是（）A. B.C. D.10．已知數(shù)列是公差為等差數(shù)列，，則（）A.1 B.3C.6 D.911．等差數(shù)列中，，則前項(xiàng)的和（）A. B.C. D.12．若，則n的值為（）A.7 B.8C.9 D.10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____.14．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；15．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，若點(diǎn)P滿足，則_______16．在區(qū)間上隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于2的概率為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)點(diǎn)是拋物線上異于原點(diǎn)O的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作斜率為、的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)（P、A、B三點(diǎn)互不相同）（1）已知點(diǎn)，求的最小值；（2）若，直線AB的斜率是，求的值；（3）若，當(dāng)時(shí)，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍18．（12分）已知等差數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）如圖，在梯形中，，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在線段含端點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時(shí)二面角的余弦值.20．（12分）已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)為，且.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相切于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn).已知點(diǎn)，且，求此時(shí)的值.21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且.（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線（斜率均存在），分別與拋物線交于、和、四點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.22．（10分）已知橢圓(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2(3，0)，離心率為e.（1）若e＝，求橢圓的方程；（2）設(shè)直線y＝kx與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M，N分別為線段AF2，BF2的中點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上，且<e≤，求k的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內(nèi)有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)到的距離相等，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內(nèi)每個(gè)點(diǎn)到的距離相等，故必要性成立，所以“內(nèi)有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.2、C【解析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可求概率.【詳解】由題設(shè)可得，，故選：C.3、D【解析】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)式即可.【詳解】方程化為標(biāo)準(zhǔn)式得，則.故選：D.4、A【解析】求出雙曲線方程，根據(jù)橢圓和雙曲線的第一定義求出的長(zhǎng)度，從而根據(jù)余弦定理求出的余弦值【詳解】由題得，雙曲線中，所以，雙曲線方程為：，假設(shè)在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得：，解得：，，所以根據(jù)余弦定理，故選：A5、C【解析】根據(jù)給定條件利用排列并結(jié)合排除法列式計(jì)算作答.【詳解】從含有3名男教師和2名女教師的5名教師中任選3名教師，派到3個(gè)不同的鄉(xiāng)村支教，不同的選派方案有種，選出3名教師全是男教師的不同的選派方案有種，所以3名教師中男女都有的不同的選派方案共有種故選：C6、C【解析】設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點(diǎn)、、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出、，根據(jù)條件可求得的值，即可得出直線的斜率.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點(diǎn)、、，聯(lián)立可得，，，所以，，，，直線的斜率為，則直線的斜率為，所以，，因?yàn)?，則，因?yàn)?，解得，因此，直線的斜率為.故選：C.7、C【解析】代入兩直線垂直的公式，即可求解.【詳解】因?yàn)閮芍本€垂直，所以，解得：或.故選：C8、C【解析】先由條件得出a，b滿足，得出滿足的基本事件數(shù)，再求出總的基本事件數(shù)，從而可得答案.【詳解】直線到原點(diǎn)的距離不超過(guò)1，則所以當(dāng)時(shí)，可以為5，6當(dāng)時(shí)，可以為4，5，6當(dāng)時(shí)，可以為4，5，6當(dāng)時(shí)，可以為2，3，4，5，6當(dāng)時(shí)，可以為1，2，3，4，5，6當(dāng)時(shí)，可以為1，2，3，4，5，6滿足的共有25種結(jié)果.將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，共有種結(jié)果所以滿足條件的概率為故選：C9、B【解析】此點(diǎn)取自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是正六邊形面積除以圓的面積，分別求出即可.【詳解】如圖，在單位圓中作其內(nèi)接正六邊形，該正六邊形是六個(gè)邊長(zhǎng)等于半徑的正三角形，其面積，圓的面積為則所求概率.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查幾何概率模型求解，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出正六邊形的面積和圓的面積.10、D【解析】結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得.【詳解】設(shè)公差，.故選：D11、D【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可求得，根據(jù)等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，，解得：；.故選：D.12、D【解析】根據(jù)給定條件利用組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算作答【詳解】因?yàn)椋瑒t由組合數(shù)性質(zhì)有，即，所以n的值為10.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由拋物線的幾何性質(zhì)知：，由圖知為的最小值，求長(zhǎng)度即可.【詳解】點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線方程為，作于，作于，∴，當(dāng)且僅當(dāng)為與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取得等號(hào)，∴的最小值為.故答案為：.14、（1）（2）詳見(jiàn)解析【解析】（1）分別求得和，從而得到切線方程；（2）求導(dǎo)后，令求得兩根，分別在、和三種情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1），，，，又，在處的切線方程為.（2），令，解得：，.①當(dāng)時(shí)，若和時(shí)，；若時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，在上恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；③當(dāng)時(shí)，若和時(shí)，；若時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某一點(diǎn)處的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問(wèn)題，屬于常考題型.15、【解析】設(shè)，表示出，，根據(jù)即可得到方程組，解得、、，即可求出的坐標(biāo)，即可得到的坐標(biāo)，最后根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)，所以，，因?yàn)?，所以，所以，解得，即，所以，所以；故答案為?6、【解析】根據(jù)幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)“區(qū)間上隨機(jī)取1個(gè)數(shù)”，對(duì)應(yīng)集合為，區(qū)間長(zhǎng)度為3，“取到的數(shù)小于2”，對(duì)應(yīng)集合為，區(qū)間長(zhǎng)度為1，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）3；（3）；【解析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)滿足拋物線，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求其最值即可；（2）根據(jù)題意，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出的直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理求得點(diǎn)坐標(biāo)，同理求得點(diǎn)坐標(biāo)，再利用斜率計(jì)算公式求得即可；（3）根據(jù)題意，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，求得關(guān)于的一元二次方程，利用其有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即可求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，故可得，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.故的最小值為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，故可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為；則的直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程：，可得：，故可得，解得：，又故可得同理可得：，又的斜率，即.故為定值.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)，因?yàn)閮牲c(diǎn)在拋物線上，故可得，，因?yàn)?，故可得，整理得：，，因?yàn)槿c(diǎn)不同，故可得，則，即，，此方程可以理解為關(guān)于的一元二次方程，因?yàn)?，故該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，即，故，則，解得或.故點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考察直線與拋物線相交時(shí)范圍問(wèn)題，定值問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是合理且充分的利用韋達(dá)定理，本題計(jì)算量較大，屬綜合困難題.18、（1）；（2）.【解析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題中條件，列出方程求出首項(xiàng)和公差，即可得出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，得到，再由等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，解得，所以；?）由（1）可得，，即數(shù)列為等比數(shù)列，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，二面角的余弦值為【解析】（1）先利用平面幾何知識(shí)和余弦定理得到及各邊長(zhǎng)度，利用線面平行的性質(zhì)和判定定理得到線面垂直，再利用線線平行得到線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用平面的法向量夾角求出二面角的余弦值，再通過(guò)二次函數(shù)的最值進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】證明：在梯形中，因?yàn)?，，又因?yàn)?，所?，所以，即，解得，，所以，即.因?yàn)槠矫?，平面，所以，而平面平面，所以平?因?yàn)?，所以平?【小問(wèn)2詳解】解：分別以直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），設(shè)，則，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得，取，則，又是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，所以因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值為，所以點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面與平面所成二面角最大，此時(shí)二面角的余弦值為.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合平面向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由已知得，，而，解得，橢圓的方程為；（2）設(shè)直線方程為代入得，化簡(jiǎn)得由，得，，設(shè)，則，，則設(shè)，則，則，所以在軸存在使.，，所以在.21、（1）（2）2【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義求出，即可得到拋物線方程；（2）設(shè)直線的方程為：，、，則直線的方程為：，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式表示出，同理可得，則四邊形的面積，最后利用基本不等式計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：由已知知：，解得，故拋物線的方程為：.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知：，設(shè)直線方程為：，、，則直線的方程為：，聯(lián)立得，則，所以，，∴，同理可得，∴四邊形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴四邊形面積的最小值為2.22、（1）；（2）【解析】(1)根據(jù)右焦點(diǎn)為F2(3，0)，以及，求得a，b，c即可.(2)聯(lián)立，根據(jù)M，N分別為線段AF2，BF2中點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上，易得OM⊥ON，則四邊形OMF2N為矩形，從而AF2⊥BF2，然后由0，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】(1)由題意得c＝3，，所以.又因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以b2＝3.所以橢圓的方程為.(2)由,得(b2＋a2k2)x