1、全等三角形壓軸題 31. 在ABC中，BC=AC，BCA=900，P為直線AC上一點(diǎn)，過(guò)A作ADBP于D，交直線BC于Q （1）如圖1，當(dāng)P在線段AC上時(shí)，求證：BP=AQ （2）當(dāng)P在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出圖形，并求CPQ圖3 （3）如圖3，當(dāng)P在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，DBA = 時(shí)，AQ =2BD圖1圖2 2.我們知道三角形的一條中線能將這個(gè)三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形，反之，若經(jīng)過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)引一條直線將這個(gè)三角形分成面積相等兩個(gè)三角形，那么這條直線平分三角形的這個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)邊如圖1，SABD=S ADC，則BD=CD成立請(qǐng)你直接應(yīng)用上述結(jié)論解決以下問(wèn)題：（1）已知：如

2、圖2，AD是ABC的中線，沿AD翻折ADC，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E，DE交AB于F，若ADE與ADB重疊部分面積等于ABC面積的，問(wèn)線段AE與線段BD有什么關(guān)系？在圖中按要求畫出圖形，并說(shuō)明理由圖1圖3圖2（2）已知：如圖3，在ABC中，ACB = 900 ，AC=2，AB =4，點(diǎn)D 是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上的任意一點(diǎn)，連接PD，沿PD翻折ADP，使點(diǎn)A落在E，若PDE與PDB重疊部分的面積等于ABP面積的，直接寫出BP的值3. 在ABC中，已知D為邊BC上一點(diǎn)，若.（1）當(dāng)D為邊BC上一點(diǎn)，并且CD=CA，時(shí)，則AB _ AC（填“=”或“”）；（2）如果把（1）中的條件“CD=CA”變?yōu)椤?/p>

3、CD=AB”，且的取值不變，那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？若成立請(qǐng)寫出證明過(guò)程，若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若CD= CA =AB，請(qǐng)寫出y與x的關(guān)系式及x的取值范圍.（不寫解答過(guò)程，直接寫出結(jié)果） 4. 在RtABC中，AC=BC，P是BC垂直平分線MN上一動(dòng)點(diǎn)，直線PA交CB于點(diǎn)E，F(xiàn)是點(diǎn)E關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，直線PF交AB于點(diǎn)D，連接CD交PA于點(diǎn)G. （1）如圖1，若P點(diǎn)在ABC的邊BC上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P、E、F重合，線段AP上的點(diǎn)Q關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)D恰好在邊AB上，連接CQ，求證：CQ平分ACB； （2）如圖2，若點(diǎn)P移到BC上方，且CAP=22.5°，求CDP的度數(shù)； （3）若點(diǎn)P移

4、動(dòng)到ABC的內(nèi)部時(shí)，線段AE、CD、DF有什么確定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)畫出圖形，并直接寫出結(jié)論： .5. 如圖1，已知A（，0），B（0，）分別為兩坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，且、滿足，OCOA=13. （1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）若D（1，0），過(guò)點(diǎn)D的直線分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn)，設(shè)E、F兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為.當(dāng)BD平分BEF的面積時(shí)，求的值； （3）如圖2，若M（2，4），點(diǎn)P是軸上A點(diǎn)右側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，AHPM于點(diǎn)H，在HM上取點(diǎn)G，使HG=HA，連接CG，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，CGM的度數(shù)是否改變？若不變，請(qǐng)求其值；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由. 6. 如圖，點(diǎn)D、E分別在等邊ABC的AB、AC上，且CD

5、BD，AEEC，AD和BE相交于點(diǎn)F. （1）若BAD=CBE，則AD BE；（填“”、“=”、“”） （2）若AD=BE，求證：BAD=CBE； （3）在（2）的條件下，以AB為邊作如圖所示的等邊ABG，連接FG，若FG=11，BF=3，請(qǐng)直接寫出線段AF的長(zhǎng)度為 .7. 如圖1，已知A（，0），B（0，）. （1）當(dāng)、滿足時(shí)，求BAO的度數(shù)； （2）如圖1，在（1）的條件下，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)（BCCA），以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，OC為腰作等腰RtOCD，連接BD，求證：BDO=BCO； （3）如圖2，ABO的兩條角平分線AE、BF交于點(diǎn)Q，若ABQ的面積為24，求四邊形AFEB的面積. 8.

6、 已知：點(diǎn)A、C分別是B的兩條邊上的點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別是直線BA、BC上的點(diǎn)，直線AE、CD相交于點(diǎn)P(1) 點(diǎn)D、E分別在線段BA、BC上 若B60°（如圖1），且ADBE，BDCE，則APD的度數(shù)為_ 若B90°（如圖2），且ADBE，BDCE，求APD的度數(shù)(2) 如圖3，點(diǎn)D、E分別在線段AB、BC的延長(zhǎng)線上，若B90°，ADBC，APD45°，求證：BDCE 9. 已知A(a，0)、B(0，b)，且滿足2a2b24a4b6，以A為直角頂點(diǎn)，且以AB為腰作等腰直角ABC(1) 求C點(diǎn)的坐標(biāo)(2) 如圖，若點(diǎn)C在第二象限，點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上，且AM

7、AN，AMAN，則CM與BN存在怎樣的關(guān)系？請(qǐng)予以證明(3) 如圖，若點(diǎn)C在第二象限，以AB為邊在直線AB的另一側(cè)做等邊ABD，連接CD，過(guò)A作AFBC于F，AF與CD交于點(diǎn)E，試判斷線段CE、AE、CD之間存在何種數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論 10.如圖（1），已知A(0,a),B(b,0),且a,b滿足a2+2ab+b2+（b+3)2=0,D為x軸上B點(diǎn)左邊 一動(dòng)點(diǎn)，連AD,過(guò)A作AEAD交x軸于F,且AE=AD,連BE交y軸于點(diǎn)P.(1) 求ABO的度數(shù) ；(2)若AO=3OP,求E點(diǎn)的坐標(biāo); (3)如圖（2）若C為線段BF(靠近B)的一個(gè)三等分點(diǎn)，且ACO=600,試求AFB的度數(shù)。11.

8、 （1）如圖，ACB和DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE求證：AD=BE（2）如圖2，ACB和DCE均為等腰直角三角形，ACB=DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為DCE邊DE上的高，連接BE求證：2CM+BE=AE；若將圖2中的DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖3所示位置，中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系12. （1）如圖1，在ABC中，ABC的平分線BF交AC于F，過(guò)點(diǎn)F作DFBC，求證：BD=DF（2）如圖2，在ABC中，ABC的平分線BF與A CB的平分線CF相交于F，過(guò)點(diǎn)F作DEBC，交直線AB于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E那么BD，CE，D

9、E之間存在什么關(guān)系 ？并證明這種關(guān)系（3）如圖3，在 ABC中，ABC的平分線BF與ACB的外角平分線CF相交于F，過(guò)點(diǎn)F作DEBC，交直線AB于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E那么BD，CE，DE之間存在什么關(guān)系。請(qǐng)寫出你的猜想（不需證明）13. 已知在等腰ABC中，AB=AC，在射線CA上截取線段CE，在射線AB上截取線段BD，連接DE，DE所在直線交直線BC與點(diǎn)M。請(qǐng)?zhí)骄浚海?）如圖（），當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上，點(diǎn)D在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，若BD=CE，請(qǐng)判斷線段MD和線段ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，若BD=CE，則（）中的結(jié)論還成立嗎？

10、如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，說(shuō)明理由；（3）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在線段AB上（點(diǎn)D不與A，B重合），DE所在直線與直線BC交于點(diǎn)M，若CEBD，請(qǐng)直接寫出線段MD與線段ME的數(shù)量關(guān)系。14. 已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰直角ABC和等腰直角CEF，ABC=CEF=90°，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME（1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：MBCF；（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長(zhǎng)；（3）如圖2，當(dāng)BCE=45°時(shí)，求證：BM=ME15.如圖，ABC中，AB=AC，點(diǎn)P是三角形右外一點(diǎn)，且APB=ABC（1）如圖1，

11、若BAC=60°，點(diǎn)P恰巧在ABC的平分線上，PA=2，求PB的長(zhǎng)；（2）如圖2，若BAC=60°，探究PA，PB，PC的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若BAC=120°，請(qǐng)直接寫出PA，PB，PC的數(shù)量關(guān)系16. 如圖，若和為等邊三角形，分別為的中點(diǎn)，易證：，是等邊三角形 （1）當(dāng)把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖10的位置時(shí)，是否仍然成立？若成立,請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖11的位置時(shí)，是否還是等邊三角形？若是，請(qǐng)給出證明，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由 圖817. 如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG均為正方形，連接BG與DE相交于點(diǎn)H（1）證明：ABG ADE

12、 ；（2）試猜想BHD的度數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）將圖中正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0°BAE 180°），設(shè)ABE的面積CFGEDBAH為，ADG的面積為，判斷與的大小關(guān)系，并給予證明18. 直線CD經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)C，CA=CBE、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且（1）若直線CD經(jīng)過(guò)的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：如圖1，若，則 （填“”，“”或“”號(hào)）；如圖2，若，若使中的結(jié)論仍然成立，則 與 應(yīng)滿足的關(guān)系是 ；（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過(guò)的外部，請(qǐng)?zhí)骄縀F、與BE、AF三條線段的數(shù)量關(guān)系，并給予證明ABCEFDDABCEFADFCEB圖1圖2圖319. 如圖

13、1，已知正方形的邊在正方形的邊上，連接，.（1）試猜想與有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）將正方形繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在邊上，如圖2，連接和.你認(rèn)為（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.20. 已知中，為邊的中點(diǎn)，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長(zhǎng)線）于、當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到于時(shí)（如圖1），易證當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立? 若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明21. 如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)

14、（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），另一條直角邊與CBM的平分線BF相交于點(diǎn)F. 如圖141，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊的中點(diǎn)位置時(shí)： 通過(guò)測(cè)量DE，EF的長(zhǎng)度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ； 連接點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ； 請(qǐng)證明你的上述兩猜想. 如圖142，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時(shí)，請(qǐng)你在AD邊上找到一點(diǎn)N, 使得NE=BF，進(jìn)而猜想此時(shí)DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系并證明22. 在RtABC中，ACBC，ACB90°，D是AC的中點(diǎn)，DGAC交AB于點(diǎn)G.（1）如圖1，E為線段DC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DG上，且DE=DF，連結(jié)EF與 CF，過(guò)點(diǎn)F作FHFC，交直線

15、AB于點(diǎn)H求證：DG=DC判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明圖2圖1（2）若E為線段DC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線DG上，(1)中的其他條件不變，借助圖2畫出圖形。在你所畫圖形中找出一對(duì)全等三角形，并判斷你在(1)中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變（本小題直接寫出結(jié)論，不必證明）23. 以的兩邊、為腰分別向外作等腰和等腰，.連接，、分別是、的中點(diǎn)探究：與的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系如圖 當(dāng)為直角三角形時(shí)，與的位置關(guān)系是 ；線段與的數(shù)量關(guān)系是 ；將圖中的等腰繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)()后，如圖所示，問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由 24.銳角為45o的直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)也相等，這樣的三角形稱為等腰直角三角形我們常用的三角板中有一塊就是這樣的三角形，也可稱它為等腰直角三角板把兩塊全等的