一、開(kāi)篇引思：從“變”與“不變”的辯證關(guān)系說(shuō)起演講人CONTENTS開(kāi)篇引思：從“變”與“不變”的辯證關(guān)系說(shuō)起概念奠基：什么是平行四邊形動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的“不變量”？分類(lèi)探究：平行四邊形動(dòng)態(tài)問(wèn)題中不變量的常見(jiàn)類(lèi)型解題策略：如何在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中尋找不變量？實(shí)戰(zhàn)演練：典型例題深度解析總結(jié)升華：從“不變量”看數(shù)學(xué)的本質(zhì)之美目錄2025八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)平行四邊形動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的不變量課件01開(kāi)篇引思：從“變”與“不變”的辯證關(guān)系說(shuō)起開(kāi)篇引思：從“變”與“不變”的辯證關(guān)系說(shuō)起作為一線(xiàn)數(shù)學(xué)教師，我常觀(guān)察到學(xué)生面對(duì)動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題時(shí)的困惑：當(dāng)圖形中的點(diǎn)、線(xiàn)或面開(kāi)始“動(dòng)起來(lái)”，他們往往被變化的表象所干擾，難以抓住問(wèn)題的核心。平行四邊形作為八年級(jí)幾何的核心內(nèi)容之一，其動(dòng)態(tài)問(wèn)題更是典型——邊在伸縮、點(diǎn)在移動(dòng)、圖形在旋轉(zhuǎn)，但總有一些“不變量”像定海神針般支撐著問(wèn)題的解決。今天，我們就從“變”中尋“不變”，揭開(kāi)平行四邊形動(dòng)態(tài)問(wèn)題的底層邏輯。02概念奠基：什么是平行四邊形動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的“不變量”？1動(dòng)態(tài)問(wèn)題的界定平行四邊形的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，指在平行四邊形（或由其衍生的圖形）中，部分元素（如頂點(diǎn)、邊上的動(dòng)點(diǎn)、對(duì)角線(xiàn)等）按照一定規(guī)則運(yùn)動(dòng)（平移、旋轉(zhuǎn)、沿邊滑動(dòng)等），同時(shí)伴隨角度、長(zhǎng)度、位置關(guān)系等幾何量的變化。例如：點(diǎn)P在平行四邊形ABCD的邊AB上從A向B勻速移動(dòng)；平行四邊形ABCD繞其對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)θ角；以平行四邊形一邊為底，頂點(diǎn)在對(duì)邊上滑動(dòng)形成的新圖形。2不變量的本質(zhì)特征不變量是在動(dòng)態(tài)過(guò)程中保持恒定的幾何量或幾何關(guān)系，其本質(zhì)是平行四邊形固有性質(zhì)（如對(duì)邊平行且相等、對(duì)角相等、對(duì)角線(xiàn)互相平分）在運(yùn)動(dòng)中的“穩(wěn)定性表達(dá)”。它可能是：數(shù)量不變：如某段線(xiàn)段的長(zhǎng)度、某個(gè)角的度數(shù)、圖形的面積；位置不變：如某點(diǎn)始終是中點(diǎn)、某線(xiàn)始終經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；關(guān)系不變：如兩線(xiàn)段始終平行、兩三角形始終全等。教學(xué)手記：我曾在課堂上用幾何畫(huà)板演示“點(diǎn)P在A(yíng)B上滑動(dòng)時(shí)，連接PD、PC形成的△PDC的面積是否變化”，學(xué)生最初認(rèn)為“底邊DC長(zhǎng)度不變，但高會(huì)隨P的位置改變”，但實(shí)際操作中發(fā)現(xiàn)高始終等于平行四邊形的高——這就是不變量的直觀(guān)體現(xiàn)，也印證了“平行四邊形對(duì)邊距離處處相等”的性質(zhì)。03分類(lèi)探究：平行四邊形動(dòng)態(tài)問(wèn)題中不變量的常見(jiàn)類(lèi)型1基于“邊與角”的數(shù)量不變量平行四邊形的對(duì)邊相等（AB=CD，AD=BC）、對(duì)角相等（∠A=∠C，∠B=∠D）是其最基本的性質(zhì)。在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中，這些“固有相等關(guān)系”常作為不變量的基礎(chǔ)。01案例1：如圖1，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在A(yíng)D上從A向D移動(dòng)，點(diǎn)F在BC上從B向C移動(dòng)，且AE=BF。求證：EF的長(zhǎng)度始終等于A(yíng)B的長(zhǎng)度。02分析：連接BE、CF，由AD=BC且AE=BF，可得ED=FC；又AD∥BC，故四邊形EDCF為平行四邊形，EF=DC=AB。這里EF的長(zhǎng)度不變，本質(zhì)是平行四邊形對(duì)邊相等性質(zhì)的遷移。032基于“對(duì)角線(xiàn)”的位置不變量平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分（AO=CO，BO=DO，O為對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)）是另一個(gè)核心性質(zhì)，其“中點(diǎn)不變性”在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中尤為關(guān)鍵。案例2：如圖2，平行四邊形ABCD繞點(diǎn)O（對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)任意角度α，得到平行四邊形A'B'C'D'。求證：線(xiàn)段AC'與BD'的交點(diǎn)始終為O。分析：旋轉(zhuǎn)后，O仍為A'C'和B'D'的中點(diǎn)（旋轉(zhuǎn)不改變中點(diǎn)性質(zhì)），而原AC與BD的中點(diǎn)也是O。由平行四邊形對(duì)角線(xiàn)性質(zhì)，AC'與BD'作為新老對(duì)角線(xiàn)的組合，其中點(diǎn)仍為O，故交點(diǎn)必為O。這里“中點(diǎn)O的位置不變”是解題關(guān)鍵。3基于“面積與比例”的關(guān)系不變量平行四邊形的面積等于底×高，這一公式在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中常衍生出面積比、線(xiàn)段比的不變性。案例3：如圖3，點(diǎn)P為平行四邊形ABCD邊AD上任意一點(diǎn)，連接PB、PC，記△PAB的面積為S?，△PDC的面積為S?，平行四邊形ABCD的面積為S。求證：S?+S?=?S。分析：設(shè)平行四邊形的高為h，則S=AB×h；△PAB的高為h?（P到AB的距離），△PDC的高為h?（P到CD的距離），因AB∥CD，h?+h?=h，故S?+S?=?AB×h?+?CD×h?=?AB×(h?+h?)=?AB×h=?S。這里“兩三角形高之和等于平行四邊形高”的關(guān)系不變，是面積和不變的根源。4基于“全等與相似”的結(jié)構(gòu)不變量平行四邊形的中心對(duì)稱(chēng)性（繞O旋轉(zhuǎn)180與自身重合）常導(dǎo)致動(dòng)態(tài)過(guò)程中出現(xiàn)全等或相似的結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)關(guān)系往往保持不變。案例4：如圖4，點(diǎn)P為平行四邊形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC上任意一點(diǎn)，過(guò)P作EF∥AB交AD于E、BC于F，作GH∥AD交AB于G、CD于H。求證：四邊形AGPE與四邊形PHCF的面積相等。分析：由平行四邊形中心對(duì)稱(chēng)性，△APE≌△CPF，△AGP≌△CHP，故S(AGPE)=S(△AGP)+S(△APE)=S(△CHP)+S(△CPF)=S(PHCF)。這里“中心對(duì)稱(chēng)下的全等關(guān)系”是面積相等的不變量支撐。04解題策略：如何在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中尋找不變量？1第一步：明確“動(dòng)”的主體與規(guī)則首先需確定“誰(shuí)在動(dòng)”（點(diǎn)、線(xiàn)、圖形）、“怎么動(dòng)”（方向、速度、范圍）。例如“點(diǎn)P從A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向B移動(dòng)，直到到達(dá)B點(diǎn)”，明確了動(dòng)點(diǎn)、路徑、速度和終點(diǎn)。2第二步：列舉“變”與“不變”的候選量010203040506根據(jù)平行四邊形的基本性質(zhì)，列出可能的不變量候選：01邊：對(duì)邊長(zhǎng)度（如AB=CD）、動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的新邊是否與原邊相等；02角：對(duì)角（∠A=∠C）、鄰角互補(bǔ)（∠A+∠B=180）；03對(duì)角線(xiàn)：中點(diǎn)O的位置、對(duì)角線(xiàn)被分成的線(xiàn)段長(zhǎng)度；04面積：與底高相關(guān)的面積、面積比；05位置關(guān)系：平行線(xiàn)（AB∥CD）、中點(diǎn)連線(xiàn)等。063第三步：用“特殊位置法”驗(yàn)證猜想選取動(dòng)態(tài)過(guò)程中的幾個(gè)特殊位置（如起點(diǎn)、中點(diǎn)、終點(diǎn)），計(jì)算候選量的具體值，若結(jié)果一致，則可能為不變量。例如案例3中，當(dāng)P在A(yíng)點(diǎn)時(shí)，S?=0，S?=?S（此時(shí)△PDC即△ADC，面積為?S），故S?+S?=?S；當(dāng)P在A(yíng)D中點(diǎn)時(shí)，S?=?S，S?=?S，和仍為?S，由此猜想不變量成立，再進(jìn)行一般證明。4第四步：利用性質(zhì)“邏輯證明”不變性一旦猜想某量為不變量，需結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)（如對(duì)邊平行且相等、對(duì)角線(xiàn)互相平分）、全等三角形判定（SAS、ASA等）、面積公式等進(jìn)行嚴(yán)格證明。例如案例1中，通過(guò)構(gòu)造平行四邊形EDCF，利用對(duì)邊相等證明EF=AB。學(xué)生常見(jiàn)誤區(qū)：部分學(xué)生易被“動(dòng)點(diǎn)”“旋轉(zhuǎn)”等動(dòng)態(tài)描述干擾，直接陷入復(fù)雜計(jì)算，忽略從基本性質(zhì)出發(fā)尋找不變量。教學(xué)中需引導(dǎo)學(xué)生先“靜”后“動(dòng)”——先分析靜態(tài)下的不變關(guān)系，再觀(guān)察動(dòng)態(tài)中這些關(guān)系是否被“保留”。05實(shí)戰(zhàn)演練：典型例題深度解析1點(diǎn)動(dòng)型問(wèn)題（單動(dòng)點(diǎn)）例題1：如圖5，平行四邊形ABCD中，AB=5，AD=3，∠DAB=60，點(diǎn)P從A出發(fā)沿AB向B移動(dòng)（不與A、B重合），連接PD，作PE∥AD交BD于E。求PE的長(zhǎng)度是否變化？若不變，求其值；若變化，說(shuō)明范圍。解析：步驟1：明確動(dòng)點(diǎn)P在A(yíng)B上移動(dòng)，PE∥AD。步驟2：由PE∥AD，得△BPE∽△BAD（AA相似），相似比為BP/BA=(5-AP)/5。步驟3：PE/AD=BP/BA?PE=AD×(BP/BA)=3×(5-AP)1點(diǎn)動(dòng)型問(wèn)題（單動(dòng)點(diǎn)）/5。誤區(qū)警示：此處看似PE隨AP變化，但實(shí)際需注意平行四邊形對(duì)邊AD=BC=3，而B(niǎo)D為對(duì)角線(xiàn)。正確思路應(yīng)為：由PE∥AD，AD∥BC，故PE∥BC，四邊形PBCD為梯形？不，更簡(jiǎn)單的是利用坐標(biāo)法。正確解法：以A為原點(diǎn)，AB為x軸建立坐標(biāo)系，A(0,0)，B(5,0)，D(1.5,(3√3)/2)（由AD=3，∠DAB=60）。直線(xiàn)BD的方程：D(1.5,(3√3)/2)，B(5,0)，斜率k=(0-(3√3)/2)/(5-1.5)=-(3√3)/7，方程為y=-(3√3)/7(x-5)。點(diǎn)P(t,0)（0<t<5），PE∥AD，AD的方向向量為(1.5,(3√3)/2)，故PE的斜率為((3√3)/2)/1.5=√3，PE的方程為y=√3(x-t)。聯(lián)立BD與PE的方程：1點(diǎn)動(dòng)型問(wèn)題（單動(dòng)點(diǎn)）√3(x-t)=-(3√3)/7(x-5)兩邊除以√3，得x-t=-3/7(x-5)7x-7t=-3x+1510x=7t+15?x=(7t+15)/10代入PE方程，y=√3[(7t+15)/10-t]=√3[(15-3t)/10]=(3√3)(5-t)/10PE的長(zhǎng)度=√[(x-t)2+y2]=√[((7t+15)/10-t)2+((3√3)(5-t)/10)2]=√[((15-3t)/10)2+(27(5-t)2)/100]1點(diǎn)動(dòng)型問(wèn)題（單動(dòng)點(diǎn)）=√[9(5-t)2/100+27(5-t)2/100]01=√[36(5-t)2/100]=6(5-t)/10=3(5-t)/502結(jié)論：PE的長(zhǎng)度隨t變化而變化，范圍是0<PE<3（當(dāng)t→0時(shí)，PE→3；t→5時(shí)，PE→0）。03反思：此例看似與平行四邊形性質(zhì)相關(guān)，但實(shí)際需通過(guò)坐標(biāo)法精確計(jì)算，說(shuō)明部分動(dòng)態(tài)問(wèn)題中“不變量”可能不存在，需警惕先入為主的猜想。042旋轉(zhuǎn)型問(wèn)題（圖形動(dòng)）例題2：如圖6，平行四邊形ABCD中，AC=6，BD=8，∠AOB=60（O為對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)）。將平行四邊形繞O旋轉(zhuǎn)30得到A'B'C'D'，求旋轉(zhuǎn)后陰影部分（重疊區(qū)域）的面積。解析：關(guān)鍵不變量：旋轉(zhuǎn)不改變對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度及夾角，故OA=OC=3，OB=OD=4，∠AOB=60始終不變。重疊區(qū)域分析：旋轉(zhuǎn)30后，原邊AB與新邊A'B'形成60-30=30的夾角，重疊區(qū)域?yàn)橹行膶?duì)稱(chēng)的八邊形，可分解為4個(gè)全等的三角形。2旋轉(zhuǎn)型問(wèn)題（圖形動(dòng)）計(jì)算單個(gè)三角形面積：在△AOB中，OA=3，OB=4，∠AOB=60，面積=?×3×4×sin60=3√3。旋轉(zhuǎn)30后，△AOB與△A'OB'的重疊部分為扇形與三角形的交集，實(shí)際更簡(jiǎn)單的方法是利用中心對(duì)稱(chēng)性，重疊區(qū)域面積等于原平行四邊形面積的一半（因旋轉(zhuǎn)后重疊部分與非重疊部分對(duì)稱(chēng)）。原平行四邊形面積：由對(duì)角線(xiàn)夾角公式，面積=?×AC×BD×sinθ=?×6×8×sin60=12√3，故重疊區(qū)域面積=?×12√3=6√3?？偨Y(jié)：旋轉(zhuǎn)問(wèn)題中，“對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度、中點(diǎn)位置、夾角”是核心不變量，利用中心對(duì)稱(chēng)性可簡(jiǎn)化計(jì)算。06總結(jié)升華：從“不變量”看數(shù)學(xué)的本質(zhì)之美總結(jié)升華：從“不變量”看數(shù)學(xué)的本質(zhì)之美平行四邊形動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的不變量，是“變化”與“穩(wěn)定”的辯證統(tǒng)一。它既是平行四邊形固有性質(zhì)的“動(dòng)態(tài)投影”，也是解決復(fù)雜幾何問(wèn)題的“鑰匙”。通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，我們不僅掌握了尋找不變量的方法（明確運(yùn)動(dòng)