專題04直線與圓的方程（考題猜想，易錯必刷6大題型）【題型一】直線中斜率的范圍問題【題型二】直線中的對稱問題【題型三】直線與圓相交及參數(shù)問題【題型四】直線與圓相切及參數(shù)問題【題型五】直線與圓中的距離最值、范圍問題【題型六】圓與圓的公共弦和公切線【題型一】直線中斜率的范圍問題一、單選題1．（23-24高二上·浙江麗水·期末）直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由直線方程得到斜率，再由斜率可得傾斜角的范圍.【詳解】直線的斜率為，由于，設(shè)傾斜角為，則，，所以.故選：B.2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知兩條直線，的斜率分別為，，傾斜角分別為.若，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】依題意得，，，，而在和上單調(diào)遞增，且在上，，在上，所以，即.故選：D3．（23-24高二上·四川涼山·期末）已知兩點，若直線與線段有公共點，則直線斜率的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出直線所過的定點，再分別求出的斜率，結(jié)合圖象即可得解.【詳解】直線化為，令，解得，所以直線過定點，，因為直線與線段有公共點，結(jié)合圖象可得直線斜率的取值范圍為.故選：A.4．（23-24高二上·廣東廣州·期中）已知點，若直線與線段AB（含端點）有公共點，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件及直線的點斜式方程求出定點，直線與線段有交點，結(jié)合圖形可得直線斜率的范圍，利用直線的斜率公式即可求解.【詳解】由，得，所以直線l的方程恒過定點，斜率為.因為，，所以，.由題意可知，作出圖形如圖所示，由圖象可知，或，所以實數(shù)m的取值范圍為.故選：B.5．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件，分和兩種情況討論，再結(jié)合的圖像，即可求出結(jié)果.【詳解】當時，直線的傾斜角為，當時，由得到，又易知，所以，即，由的圖像可知，，綜上，

故選：C.【題型二】直線中的對稱問題一、單選題1．（23-24高二上·全國·期末）點在直線上，直線與關(guān)于點0,1對稱，則一定在直線上的點為（

）A． B． C． D．（1，0）【答案】C【分析】根據(jù)兩直線關(guān)于點對稱，利用中點坐標公式即可求直線上的對稱點，且該點在直線上.【詳解】由題設(shè)關(guān)于0,1對稱的點為，若該點必在上，∴，解得，即一定在直線上.故選：C.2．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光線從點射出，經(jīng)直線反射，且反射光線所在直線過點，則反射光線所在直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出關(guān)于直線的對稱點為的坐標，由都在反射光線所在直線上得直線方程．【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即，所以反射光線所在直線方程為，即．故選：B．3．（23-24高二上·山東泰安·期末）點關(guān)于直線的對稱點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出垂直于直線且過點的表達式，求出交點坐標，即可得出關(guān)于直線的對稱點.【詳解】由題意，在直線中，斜率為，垂直于直線且過點的直線方程為，即，設(shè)兩直線交點為，由，解得：，∴,∴點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，即，故選：C.4．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）在平面直角坐標系中，軍營所在區(qū)域的邊界為，河岸所在直線方程為，將軍從點處出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再返回軍營，如果將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則這個將軍所經(jīng)過的最短路程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出關(guān)于直線的對稱點為，然后將距離和轉(zhuǎn)化成圓外一點到圓上一點距離最值問題求解即可.【詳解】如圖，設(shè)將軍去河岸的B點喝水，回到軍營的C點，所以需求出最小值即可，圓的圓心為，半徑，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以，此時，所以“將軍飲馬”的最短路程為．故選：D．5．（23-24高二上·廣東肇慶·期末）已知圓：（），圓：，若圓上存在點P關(guān)于直線的對稱點Q在圓上，則r的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求得圓關(guān)于直線的對稱圓，則圓與圓有交點，利用圓心距和半徑的關(guān)系列式求解即可.【詳解】圓：,方程化為，，則圓心坐標為，半徑為5,設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則,解得，則，所以圓關(guān)于直線的對稱圓方程為，，由題中條件可知，圓與圓有交點，,,則，即，解得，故選：D.【題型三】直線與圓相交及參數(shù)問題一、單選題1．（23-24高二下·河南漯河·期末）直線與圓交于兩點，則弦的長（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求圓的圓心和半徑，再用點到直線的距離公式求點到直線的距離，再利用弦長公式求AB.【詳解】設(shè)圓的圓心為，半徑，因為到直線的距離，所以.故選：B.2．（23-24高二下·云南·期末）已知直線：與圓：交于，兩點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可知圓心，半徑，由幾何法求弦長，可知為等邊三角形，然后利用數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】由題可知圓心，半徑，點到直線的距離，則，所以為等邊三角形，故．故選：C3．（23-24高二下·全國·期末）已知圓C過點，，，過點且斜率為k的直線l與圓C交于P，Q兩點，若，則k的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意先求出圓的方程及圓心和半徑2，然后利用直線與圓的弦長公式從而可求解.【詳解】設(shè)圓C：，易知，解得，所以，將，代入可得，，解得，所以圓C的方程，則圓心C坐標為，半徑為2.設(shè)直線l：，則圓心到直線的距離，又，則，即，整理得，解得，所以k的最小值為，故C正確.故選：C.4．（23-24高二上·黑龍江大慶·期末）已知圓直線，點在直線上運動，直線分別與圓相切于點．則下列說法正確的是（

）A．四邊形的面積最小值為B．最短時，弦AB長為C．最短時，弦AB直線方程為D．直線AB過定點【答案】B【分析】A選項，四邊形的面積可以看成兩個直角三角形的面積之和，又因切線長定理可知，當最短時，面積最?。籅選項，由圓的弦長公式結(jié)合銳角三角函數(shù)即可求解；C選項，兩垂直直線的斜率相乘等于，兩平行直線斜率相等；D選項，由向量積公式求定點坐標．【詳解】對于A，四邊形的面積可以看成兩個直角三角形的面積之和，即，最短時，面積最小，故當時，最短，即，，故A錯誤；由上述可知，時，最短，故最小，且最小值為，所以，故B正確；當最短時，則，又，所以，，，可設(shè)的直線方程為，圓心到直線的距離，解得或，由于直線在圓心的右側(cè)，且在直線的左側(cè)，所以，所以，即直線的方程為，故C錯誤；設(shè)圓上一點，，，，，，易知，由于，所以，同理，，，，即，令，解得，所以直線過定點為，故D錯誤．故選：B．【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.二、填空題5．（23-24高二上·山東聊城·期末）寫出經(jīng)過坐標原點，且被圓截得的弦長為的直線的方程.【答案】或【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系及點到直線的距離公式、弦長公式計算即可.【詳解】由題意可知圓心，半徑，顯然橫軸與圓相切，不妨設(shè)，由點到直線的距離公式可知C到l的距離為或，所以的方程為：或.故答案為：或.6．（23-24高二上·安徽·期末）過點的直線被圓：所截得的弦長的最小值為．【答案】【分析】首先分類討論得圓心到直線的距離最大值，結(jié)合弦長公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意：直線過定點，判斷可知點在圓內(nèi)，而圓，若直線斜率存在時，設(shè)，圓心到直線的距離為，所以，若，則，若，則，解得或，直線斜率存在時，，此時，若直線斜率不存在時，即，圓心到直線的距離為，綜上所述，圓心到直線的距離最大值為，所以所截的弦長的最小值為．故答案為：.【題型四】直線與圓相切及參數(shù)問題一、單選題1．（23-24高二上·安徽淮北·期末）從原點向圓引兩條切線，則兩條切線間圓的劣弧長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線與圓相切求得直線的斜率，得到切線的傾斜角，結(jié)合圖形求得兩條切線間圓的劣弧所對的圓心角，用弧長公式即得.【詳解】

由配方得：，即圓心為,半徑為.如圖，設(shè)過原點的圓的兩條切線與圓切于點,連接.設(shè)切線的方程為：，由圓心到切線的距離為，解得：，設(shè)其中一條切線的傾斜角為，滿足，解得：，故,則兩條切線間圓的劣弧長為.故選：B.2．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知圓關(guān)于直線對稱，過點分別作圓的兩條切線，切點分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知直線過圓心，代入解得，再根據(jù)切線性質(zhì)可得，結(jié)合倍角公式運算求解.【詳解】圓可化為．可知圓心為，半徑，因為圓關(guān)于對稱，即直線過圓心，則，解得，可得，且，所以．故選：D．3．（23-24高二上·浙江·期末）已知圓與直線，過上任意一點向圓引切線，切點為和，若線段長度的最小值為，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】推導出垂直平分，分析可知，當PC取最小值時，AB取最小值，此時，，利用點到直線的距離公式可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑為，如下圖所示：由圓的幾何性質(zhì)可知，，因為，，，所以，，所以，，則，設(shè)，則為的中點，由勾股定理可得，由等面積法可得，所以，當PC取最小值時，AB取最小值，由，可得，所以，PC的最小值為，當與直線垂直時，PC取最小值，則，因為，解得.故選：D.【點睛】方法點睛：本題考查圓的切點弦長的計算，一般方法有如下兩種：（1）求出切點弦所在直線的方程，然后利用勾股定理求解；（2）利用等面積法轉(zhuǎn)化為直角三角形斜邊上的高，作為切點弦長的一般求解.二、多選題4．（23-24高二上·新疆阿克蘇·期末）過點作圓的切線，所得切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)切線斜率是否存在分類討論，利用圓心到切線距離等于半徑可求結(jié)果．【詳解】由圓心為，半徑為1，過點斜率存在時，設(shè)切線為，則，可得，所以，即；斜率不存在時，，顯然與圓相切，綜上，切線方程為：或．故選：AB．三、填空題5．（23-24高二上·北京延慶·期末）已知圓，求經(jīng)過點的圓的切線方程．【答案】【分析】由題可知切線的斜率存在，設(shè)出切線方程利用圓心到切線的距離為半徑可求斜率，從而得到切線方程.【詳解】由題可知切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，即，，解得，所以切線方程為.故答案為：.6．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知圓，，過點向圓引兩條切線、，、為切點，則.【答案】【分析】由圓的幾何性質(zhì)可知，，利用勾股定理可求得的值.【詳解】圓的圓心為坐標原點，半徑長為，由已知可得，由圓的幾何性質(zhì)可得，由勾股定理可得.故答案為：.【題型五】直線與圓中的距離最值、范圍問題一、單選題1．（23-24高二上·福建福州·期末）直線過定點Q，若為圓上任意一點，則的最大值為（

）A．1 B．3 C．4 D．2【答案】B【分析】求出直線定點坐標、圓心坐標、半徑，再由點與圓的圓心之間的距離加半徑求解【詳解】由，得，所以直線過定點，由，知圓心坐標，半徑為2，所以到圓心的距離為，則在圓內(nèi)，則的最大值為，故選：B2．（23-24高二下·甘肅白銀·期末）已知直線與圓交于A,B兩點，則當弦最短時，直線l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直線恒過定點，可得點在圓內(nèi)，可得當時弦最短,利用直線的點斜式方程可得答案.【詳解】，所以直線恒過定點，，因為，所以點在圓內(nèi)，所以當時，弦最短,設(shè)直線的斜率為，則,所以直線的方程為，即.故選：D.3．（24-25高二上·云南文山·期末）已知點O0,0，點滿足，則點到直線的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意知，點的軌跡為以點為圓心，半徑為的圓，直線經(jīng)過定點，結(jié)合圖形可得，當且僅當軸時，點到直線的距離最大，即可求得.【詳解】

如圖，因點滿足，則點的軌跡為以點為圓心，半徑為的圓，又直線經(jīng)過定點，由圖知，要使點到直線的距離最大，只需使圓心到直線的距離最大，即當且僅當軸時，點到直線的距離最大，為.（理由：如圖，過點另作一條直線，過點作于點，在中顯然有，故當且僅當軸時，點到直線的距離最大）.故選：B.4．（23-24高二上·河南·期末）直線被圓所截得的最短弦長等于（

）A． B． C．2 D．1【答案】C【分析】首先求出直線過定點坐標，當圓被直線截得的弦最短時，圓心到弦的距離最大，此時圓心與定點的連線垂直于弦，求出弦心距，利用弦長公式求出結(jié)果即可．【詳解】由題可知，直線過定點，由圓的方程可知圓心為，半徑為.圓心到直線的最大距離為點的距離，即，所以所截得的最短弦長為.故選：C.5．（23-24高二上·江蘇·期末）設(shè)點P為圓上的動點，Q為圓上的動點，O為坐標原點，C是x軸上的定點，且，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】首先由，可以求出點的坐標，然后可轉(zhuǎn)換成求的最小值即可，結(jié)合三角形三邊關(guān)系以及定點到圓上點的距離的最值即可得解，注意取等條件是否滿足.【詳解】如圖，

設(shè)，因為，所以，即，此方程與圓表示同一個圓，故.又，所以，等號成立當且僅當點在線段上.故選：B.6．（23-24高二上·貴州貴陽·期末）點，點在軸上，則的最小值為（

）A． B．5 C．4 D．【答案】B【分析】求得關(guān)于軸的對稱點，根據(jù)三點共線時取到最小值，進一步計算即可求解【詳解】如圖所示，關(guān)于軸的對稱點為,則,當三點共線時等號成立，又,故的最小值為5,故選：B.7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知點Mx1,y1在直線，點Nx2,y2A． B． C． D．5【答案】D【分析】根據(jù)兩點距離公式將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為點Mx1,y1到點的距離與點Nx2,y2到點的距離和，過點作，垂足為【詳解】由已知表示點Mx1,y表示點Nx2,y所以，過點作，垂足為，因為直線的方程為，，所以，又直線與直線平行，，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，又，當且僅當三點共線時等號成立，所以當點為線段與直線的交點時，取最小值，最小值為，因為過點與直線垂直的直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以點的坐標為，所以，所以的最小值為，故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)兩點距離公式將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為求線段的距離和問題，進一步結(jié)合圖形將問題轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離問題.8．（23-24高二下·廣西南寧·期末）已知直線l與圓交于M，N兩點，若以MN為直徑的圓過點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)設(shè)，，MN的中點，根據(jù)圓的方程可得，再結(jié)合以MN為直徑的圓過點可得，分析可知點Q在圓心為、半徑為的圓上，結(jié)合圓的性質(zhì)分析OQ的最小值進而可得MN的最大值.【詳解】設(shè)，，MN的中點，則，．又因為，，則，所以．若以MN為直徑的圓過點，則，且，，可得，即，整理得，所以Q在圓心為、半徑為的圓上．因為，可知點O在圓外，則，所以．故選：C．【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)題意分析可知：MN的中點Q在圓心為、半徑為的圓上，結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.【題型六】圓與圓的公共弦和公切線一、單選題1．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知圓與圓，則兩圓公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先找出兩圓的位置關(guān)系，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系求出公切線的數(shù)量.【詳解】兩圓圓心分別為，半徑分別為2和3，而圓心距為5，故兩圓外切，所以兩圓的公切線共有3條，故選：C2．（23-24高二上·四川成都·期末）圓和圓的公共弦所在的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩圓公共弦方程特征進行求解即可.【詳解】兩個圓的方程相減，得，故選：C3．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）已知圓和圓相交于A，B兩點，則弦AB的長為（

）．A． B． C．4 D．2【答案】A【分析】判斷兩圓相交，求出兩圓的公共弦方程，根據(jù)圓的弦長的幾何求法，即可求得答案.【詳解】由題意知圓，即圓，圓心為，半徑，圓，即圓，圓心為，半徑，則，即兩圓相交，將圓和圓的方程相減，可得直線的方程為，則到直線的距離為，故弦的長為，故選：A4．（23-24高二上·天津濱海新·期末）已知圓：和圓：交于A，B兩點，則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)為（

）①兩圓的圓心距；②直線AB