專題10統(tǒng)計（考題猜想，易錯必刷3大題型）【題型一】線性回歸方程【題型二】非線性回歸方程【題型三】獨立性檢驗【題型一】線性回歸方程一、單選題1．（23-24高二下·福建泉州·期末）在研究線性回歸模型時，樣本數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點均在直線上，用表示解釋變量與響應(yīng)變量之間的線性相關(guān)程度，則（

）A． B． C．1 D．32．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知5個成對數(shù)據(jù)的散點圖如下，若去掉點，則下列說法正確的是（）A．變量x與變量y呈正相關(guān) B．變量x與變量y的相關(guān)性變強C．殘差平方和變大 D．樣本相關(guān)系數(shù)r變大3．（23-24高二下·遼寧朝陽·期末）已知一組數(shù)據(jù)滿足線性回歸關(guān)系，且經(jīng)驗回歸方程為，若，則（

）A．30 B．60 C．630 D．12004．（23-24高二下·四川德陽·期末）高溫可以使病毒中的蛋白質(zhì)失去活性，從而達到殺死病毒的效果，某科研團隊打算構(gòu)建病毒的成活率與溫度的某種數(shù)學(xué)模型，通過實驗得到部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：溫度x（℃）6810病毒數(shù)量y（萬個）302220由上表中的數(shù)據(jù)求得回歸方程為，可以預(yù)測當(dāng)溫度為14℃時，病毒數(shù)量為（

）參考公式：，A．12 B．10 C．9 D．11二、解答題5．（23-24高二下·河北石家莊·期末）某學(xué)院為了加強學(xué)生身體素質(zhì)，特推出“校園輕氧打卡”活動，以下是前9天的打卡人數(shù)散點圖．(1)求出每天打卡人數(shù)y關(guān)于天數(shù)x的經(jīng)驗回歸方程；(2)利用經(jīng)驗回歸方程試著預(yù)測第10天的打卡人數(shù)；附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．6．（23-24高二下·山東泰安·期末）2023年全國競走大獎賽，暨世錦賽及亞運會選拔賽3月4日在安徽黃山開賽.重慶隊的賀相紅以2小時22分55秒的成績打破男子35公里競走亞洲紀(jì)錄.某田徑協(xié)會組織開展競走的步長和步頻之間的關(guān)系的課題研究，得到相應(yīng)的試驗數(shù)據(jù)：步頻（單位：s）0.280.290.300.310.32步長（單位：）909599103117(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到步頻和步長近似為線性相關(guān)關(guān)系，求出關(guān)于的回歸直線方程，并利用回歸方程預(yù)測，當(dāng)步長為時，步頻約是多少？(2)記，其中為觀測值，為預(yù)測值，為對應(yīng)的殘差，求（1）中步頻為0.30的殘差.參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：，.7．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）某大學(xué)組織宣傳小分隊進行法律法規(guī)宣傳，某宣傳小分隊記錄了前9天每天普及的人數(shù)，得到下表：時間x（天）123456789每天普及的人數(shù)y8098129150203190258292310(1)從這9天的數(shù)據(jù)中任選2天的數(shù)據(jù)，以X表示2天中普及人數(shù)不少于200人的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)由于統(tǒng)計人員的疏忽，第5天的數(shù)據(jù)統(tǒng)計有誤，如果去掉第5天的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出每天普及的人數(shù)y關(guān)于天數(shù)x的線性回歸方程.參考數(shù)據(jù)：，，.附：對于一組數(shù)據(jù)（，），（，），……，（，），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.8．（23-24高二下·陜西西安·期末）某中醫(yī)藥企業(yè)根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投入（億元）與產(chǎn)品收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：研發(fā)投入（億元）12345產(chǎn)品收益（億元）3791011(1)計算，的相關(guān)系數(shù)，并判斷是否可以認(rèn)為研發(fā)投入與產(chǎn)品收益具有較高的線性相關(guān)程度？（若，則線性相關(guān)程度一般；若，則線性相關(guān)程度較高）(2)求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測若想收益超過20（億元），則需研發(fā)投入至少多少億元？（結(jié)果保留一位小數(shù)）參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式，相關(guān)系數(shù)的公式分別為，，.參考數(shù)據(jù)：，，.【題型二】非線性回歸方程一、解答題1．（22-23高二下·海南海口·期末）某鄉(xiāng)政府為提高當(dāng)?shù)剞r(nóng)民收入，指導(dǎo)農(nóng)民種植藥材，取得較好的效果.以下是某農(nóng)戶近5年種植藥材的平均收入的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份20182019202020212022年份代碼x12345平均收入y（千元）5961646873(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)有與兩種模型可以擬合y與x之間的關(guān)系，請分別求出兩種模型的回歸方程；（結(jié)果保留一位小數(shù)）(2)統(tǒng)計學(xué)中常通過比較殘差的平方和來比較兩個模型的擬合效果，已知的殘差平方和是3.5，請根據(jù)殘差平方和說明上述兩個方程哪一個擬合效果更好，并據(jù)此預(yù)測2023年該農(nóng)戶種植藥材的平均收入.參考數(shù)據(jù)及公式：，，其中.，.2．（23-24高二上·安徽馬鞍山·期末）新冠肺炎疫情發(fā)生以來，我國某科研機構(gòu)開展應(yīng)急科研攻關(guān)，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進入二期臨床試驗.根據(jù)普遍規(guī)律，志愿者接種疫苗后體內(nèi)會產(chǎn)生抗體，人體中檢測到抗體，說明有抵御病毒的能力.通過檢測，用表示注射疫苗后的天數(shù)，表示人體中抗體含量水平（單位：，即：百萬國際單位/毫升），現(xiàn)測得某志愿者的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：天數(shù)123456抗體含量水平510265096195根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖.(1)根據(jù)散點圖判斷，與（a，b，c，d均為大于0的實數(shù)）哪一個更適宜作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值；(3)從這位志愿者的前6天的檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取4天的數(shù)據(jù)作進一步的分析，記其中的y值大于50的天數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87其中.參考公式：用最小二乘法求經(jīng)過點，，，，的線性回歸方程的系數(shù)公式，；.3．（23-24高二下·山西太原·期末）山西某地打造旅游特色村，鼓勵當(dāng)?shù)卮迕駥⒆约洪e置房改造成民宿出租，增加農(nóng)民收入.為了解在旅游淡季民宿的出租情況，隨機選取6間民宿進行調(diào)查，統(tǒng)計它們在淡季的100天里的出租情況，得到每間民宿租金（單位：元/日）與其出租率（出租天數(shù)）的對應(yīng)關(guān)系表和散點圖如下：租金88128188288388488出租率0.90.70.50.30.20.15(1)請根據(jù)散點圖判斷，與哪個更適合此模型（不用證明），并根據(jù)下表數(shù)據(jù)（表中），求其相應(yīng)的經(jīng)驗回歸方程（保留小數(shù)點后一位）.261.30.465.4121437.861.97-221.19-1.04(2)已知該地一年旅游淡季按100天計算，在此期間，民宿無論是否出租，每天都要支出租金的的費用.若民宿出租，則每天需要再支付租金的的開支.請用（1）中結(jié)論的模型，計算租金為多少元時，該民宿在這100天內(nèi)的收益最大.附：；對于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗回歸方程為.4．（23-24高二下·湖北·期末）某鄉(xiāng)村企業(yè)希望通過技術(shù)革新增加產(chǎn)品收益，根據(jù)市場調(diào)研，技術(shù)革新投入經(jīng)費（單位：萬元）和增加收益（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下表：46810122742555660為了進一步了解技術(shù)革新投入經(jīng)費對增加收益的影響，通過對表中數(shù)據(jù)進行分析，分別提出了兩個回歸模型：①，②．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計算模型①中與的相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；(2)若，則選擇模型①；否則選擇模型②．根據(jù)（1）的結(jié)果，試建立增加收益關(guān)于技術(shù)革新投入經(jīng)費的回歸模型，并預(yù)測時的值（結(jié)果精確到0.01）．附：i）回歸直線的斜率、截距的最小二乘估計以及相關(guān)系數(shù)分別為：，，ii）參考數(shù)據(jù)：設(shè)，，，，，．5．（23-24高二下·河北石家莊·期末）一個調(diào)查學(xué)生記憶力的研究團隊從某中學(xué)隨機挑選100名學(xué)生進行記憶測試，通過講解100個陌生單詞后，相隔十分鐘進行聽寫測試，間隔時間t（分鐘）和答對人數(shù)y的統(tǒng)計表格如下：時間t（分鐘）102030405060708090100答對人數(shù)y9870523630201511551.991.851.721.561.481.301.181.040.70.7時間t與答對人數(shù)y和的散點圖如下：附：，，，，，對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，．請根據(jù)表格數(shù)據(jù)回答下列問題：(1)根據(jù)散點圖判斷，與哪個更適宜作為線性回歸模型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，建立y與的回歸方程；（a，b或c，d的計算結(jié)果均保留到小數(shù)點后三位）(3)根據(jù)（2）請估算要想答對人數(shù)不少于75人，至多間隔多少分鐘需要重新記憶一遍．（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，）．【題型三】獨立性檢驗一、單選題1．（23-24高二下·河北張家口·期末）某研究中心對治療哮喘的兩種藥物的療效是否有差異進行實驗，并運用列聯(lián)表進行檢驗，零假設(shè)：兩種藥物的療效無差異，計算出，根據(jù)下面的小概率值的獨立性檢驗表，認(rèn)為“兩種藥物的療效存在差異”犯錯誤的概率不超過（

）0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A． B． C． D．2．（23-24高二下·天津濱海新·期末）現(xiàn)在，很多人都喜歡騎“共享單車”，但也有很多市民并不認(rèn)可．為了調(diào)查人們對這種交通方式的認(rèn)可度，某同學(xué)從交通擁堵嚴(yán)重的A城市和交通擁堵不嚴(yán)重的B城市分別隨機調(diào)查了20名市民，得到了一個市民是否認(rèn)可的樣本，具體數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表：AB總計認(rèn)可15823不認(rèn)可51217總計2020400.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.879附：．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列說法中，正確的是（

）A．沒有95%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”B．有97.5%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”C．可以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”D．可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”二、解答題3．（23-24高二下·青海西寧·期末）某學(xué)校高三年級有學(xué)生1000人，經(jīng)調(diào)查，其中750人經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為A類同學(xué)），另外250人不經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為B類同學(xué)）.現(xiàn)用按比例分配的分層抽樣方法（按A類?B類分兩層）從該年級的學(xué)生中共抽查100人，如果以身高達到作為達標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的100人，得到以下列聯(lián)表（單位：人）：身高達標(biāo)身高不達標(biāo)總計經(jīng)常參加體育鍛煉40不經(jīng)常參加體育鍛煉15總計100(1)完成上表；(2)依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為經(jīng)常參加體育鍛煉與身高達標(biāo)有關(guān)系？注：.附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.8284．（23-24高二上·貴州黔東南·期末）期末考試后，某校對甲、乙兩個文科班的數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計，規(guī)定：大于或等于120分的為優(yōu)秀，120以下的為非優(yōu)秀.統(tǒng)計結(jié)束后，得到如下2×2列聯(lián)表.已知在甲、乙兩個文科班的110人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為(1)請完成2×2列聯(lián)表.優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10乙班30總計110(2)是否有99.9%的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與班級有關(guān)”0.0500.0100.0013.8416.63510.8285．（23-24高二下·廣西玉林·期末）某校進行健康體檢，發(fā)現(xiàn)學(xué)生中近視率與性別有關(guān)．若將近視率超過50%的班級稱為“近視班”，未超過的稱為“非近視班”．現(xiàn)從該校隨機抽取200人進行分析，得到數(shù)據(jù)如下所示：近視班男生：60人，女生：70人．非近視班男生：40人，女生：30人．合計男生：100人，女生：100人．(1)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為“近視班”與性別有關(guān)聯(lián)？(2)若從隨機抽取的非近視班學(xué)生中采用分層抽樣的方法抽取7人，再從7人中抽取3人，求這3人中至少有2名男生的概率．附：下表給出了獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8286．（23-24高二下·四川眉山·期末）某校體育鍛煉時間準(zhǔn)備提供三項體育活動供學(xué)生選擇.為了解該校學(xué)生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態(tài)度（態(tài)度分為同意和不同意），隨機調(diào)查了200名學(xué)生，數(shù)據(jù)如下圖：單位：人男生女生合計同意7050120不同意305080合計100100200(1)依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為學(xué)生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態(tài)度與性別有關(guān)？(2)現(xiàn)有足球、籃球、跳繩供學(xué)生選擇.①若甲、乙兩名學(xué)生從這三項運動中隨機選一種，且他們的選擇情況相互獨立互不影響.記事件為“甲學(xué)生選擇足球”，事件為“甲、乙兩名學(xué)生的選擇不同”，判斷事件是否獨立，并說明理由.②若該校所有學(xué)生每分鐘跳繩個數(shù).根據(jù)往年經(jīng)驗，該校學(xué)生經(jīng)過訓(xùn)練后，跳繩個數(shù)都有明顯進步.假設(shè)經(jīng)過訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個數(shù)比開始時個數(shù)增加10，該校有1000名學(xué)生，預(yù)估經(jīng)過訓(xùn)練后該校每分鐘跳182個以上人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）.參考公式和數(shù)據(jù)：，其中.0.0250.0100.0055.0246.6357.879若，則，，.

專題10統(tǒng)計（考題猜想，易錯必刷3大題型）【題型一】線性回歸方程【題型二】非線性回歸方程【題型三】獨立性檢驗【題型一】線性回歸方程一、單選題1．（23-24高二下·福建泉州·期末）在研究線性回歸模型時，樣本數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點均在直線上，用表示解釋變量與響應(yīng)變量之間的線性相關(guān)程度，則（

）A． B． C．1 D．3【答案】A【分析】利用負(fù)相關(guān)性的定義求解即可.【詳解】由樣本數(shù)據(jù)可知解釋變量與響應(yīng)變量之間具有負(fù)相關(guān)性，所以又因為對應(yīng)的點均在直線上，故，故A正確.故選：A2．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知5個成對數(shù)據(jù)的散點圖如下，若去掉點，則下列說法正確的是（）A．變量x與變量y呈正相關(guān) B．變量x與變量y的相關(guān)性變強C．殘差平方和變大 D．樣本相關(guān)系數(shù)r變大【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合變量間的相關(guān)關(guān)系，結(jié)合圖象分析判斷即可.【詳解】由散點圖可知，去掉點后，與的線性相關(guān)加強，且為負(fù)相關(guān)，所以B正確，A錯誤；由于與的線性相關(guān)加強，所以殘差平方和變小，所以C錯誤，由于與的線性相關(guān)加強，且為負(fù)相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)的絕對值變大，而相關(guān)系數(shù)為負(fù)的，所以樣本相關(guān)系數(shù)r變小，所以D錯誤.故選：B.3．（23-24高二下·遼寧朝陽·期末）已知一組數(shù)據(jù)滿足線性回歸關(guān)系，且經(jīng)驗回歸方程為，若，則（

）A．30 B．60 C．630 D．1200【答案】D【分析】根據(jù)樣本中心點在回歸直線方程上代入計算可得結(jié)果.【詳解】易知樣本數(shù)據(jù)的中心點在回歸直線方程上，易知，所以，即，可得.故選：D4．（23-24高二下·四川德陽·期末）高溫可以使病毒中的蛋白質(zhì)失去活性，從而達到殺死病毒的效果，某科研團隊打算構(gòu)建病毒的成活率與溫度的某種數(shù)學(xué)模型，通過實驗得到部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：溫度x（℃）6810病毒數(shù)量y（萬個）302220由上表中的數(shù)據(jù)求得回歸方程為，可以預(yù)測當(dāng)溫度為14℃時，病毒數(shù)量為（

）參考公式：，A．12 B．10 C．9 D．11【答案】C【分析】設(shè)回歸方程，利用表中數(shù)據(jù)，根據(jù)最小二乘原理求得系數(shù)，即得方程，再用方程代入溫度預(yù)測病毒數(shù)量即可.【詳解】y關(guān)于x的線性回歸方程為，直線過樣本中心點由表格數(shù)據(jù)得，，，，故根據(jù)最小二乘原理知，所以，即線性回歸方程為；將代入方程，得，即可預(yù)測病毒數(shù)量為.故選：C二、解答題5．（23-24高二下·河北石家莊·期末）某學(xué)院為了加強學(xué)生身體素質(zhì)，特推出“校園輕氧打卡”活動，以下是前9天的打卡人數(shù)散點圖．(1)求出每天打卡人數(shù)y關(guān)于天數(shù)x的經(jīng)驗回歸方程；(2)利用經(jīng)驗回歸方程試著預(yù)測第10天的打卡人數(shù)；附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．【答案】(1)(2)340【分析】（1）依據(jù)題中所給數(shù)據(jù)先依次求出、、、，再結(jié)合最小二乘法即可求出和，進而得解.（2）將代入（1）所得經(jīng)驗回歸方程即可得解.【詳解】（1）由題得，，，，所以，每天打卡人數(shù)y關(guān)于天數(shù)x的經(jīng)驗回歸方程為.（2）由（1）當(dāng)時，，所以第10天的打卡人數(shù)預(yù)測為人.6．（23-24高二下·山東泰安·期末）2023年全國競走大獎賽，暨世錦賽及亞運會選拔賽3月4日在安徽黃山開賽.重慶隊的賀相紅以2小時22分55秒的成績打破男子35公里競走亞洲紀(jì)錄.某田徑協(xié)會組織開展競走的步長和步頻之間的關(guān)系的課題研究，得到相應(yīng)的試驗數(shù)據(jù)：步頻（單位：s）0.280.290.300.310.32步長（單位：）909599103117(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到步頻和步長近似為線性相關(guān)關(guān)系，求出關(guān)于的回歸直線方程，并利用回歸方程預(yù)測，當(dāng)步長為時，步頻約是多少？(2)記，其中為觀測值，為預(yù)測值，為對應(yīng)的殘差，求（1）中步頻為0.30的殘差.參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：，.【答案】(1)，秒(2)【分析】（1）根據(jù)最小二乘法即可求解，（2）由殘差的計算公式即可求解.【詳解】（1）依題意可得，，，，所以回歸直線方程為，將代入得，解得，所以當(dāng)步長為時，步頻約是秒.（2）根據(jù)（1）得到，；所以步長為0.30殘差和為.7．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）某大學(xué)組織宣傳小分隊進行法律法規(guī)宣傳，某宣傳小分隊記錄了前9天每天普及的人數(shù)，得到下表：時間x（天）123456789每天普及的人數(shù)y8098129150203190258292310(1)從這9天的數(shù)據(jù)中任選2天的數(shù)據(jù)，以X表示2天中普及人數(shù)不少于200人的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)由于統(tǒng)計人員的疏忽，第5天的數(shù)據(jù)統(tǒng)計有誤，如果去掉第5天的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出每天普及的人數(shù)y關(guān)于天數(shù)x的線性回歸方程.參考數(shù)據(jù)：，，.附：對于一組數(shù)據(jù)（，），（，），……，（，），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.【答案】(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）利用超幾何分布與數(shù)學(xué)期望公式即可得解；（2）去掉第天數(shù)據(jù)后，結(jié)合的計算公式進行轉(zhuǎn)化整理求得其值，從而得解.【詳解】（1）普及人數(shù)不少于200人的天數(shù)為4天，則X的所有可能取值為0，1，2，又，，.故X的分布列為：012.（2）去掉第天的數(shù)據(jù)可得統(tǒng)計表如下：時間天12346789每天普及的人數(shù)8098129150190258292310設(shè)原來數(shù)據(jù)的樣本中心點為，去掉第5天的數(shù)據(jù)后樣本中心點為，所以，，，；去掉第5天數(shù)據(jù)后，.所以，，所以剩下的數(shù)據(jù)求得的回歸直線方程為：.8．（23-24高二下·陜西西安·期末）某中醫(yī)藥企業(yè)根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投入（億元）與產(chǎn)品收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：研發(fā)投入（億元）12345產(chǎn)品收益（億元）3791011(1)計算，的相關(guān)系數(shù)，并判斷是否可以認(rèn)為研發(fā)投入與產(chǎn)品收益具有較高的線性相關(guān)程度？（若，則線性相關(guān)程度一般；若，則線性相關(guān)程度較高）(2)求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測若想收益超過20（億元），則需研發(fā)投入至少多少億元？（結(jié)果保留一位小數(shù)）參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式，相關(guān)系數(shù)的公式分別為，，.參考數(shù)據(jù)：，，.【答案】(1)，相關(guān)程度較高(2)，9.3億元【分析】（1）通過計算相關(guān)系數(shù)來進行判斷.（2）先計算回歸直線方程，并由此作出預(yù)測.【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可知，，，，，，則，故相關(guān)程度較高；（2），，則，，故，令，解得，故研發(fā)投入至少9.3億元.【題型二】非線性回歸方程一、解答題1．（22-23高二下·海南?？凇て谀┠赤l(xiāng)政府為提高當(dāng)?shù)剞r(nóng)民收入，指導(dǎo)農(nóng)民種植藥材，取得較好的效果.以下是某農(nóng)戶近5年種植藥材的平均收入的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份20182019202020212022年份代碼x12345平均收入y（千元）5961646873(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)有與兩種模型可以擬合y與x之間的關(guān)系，請分別求出兩種模型的回歸方程；（結(jié)果保留一位小數(shù)）(2)統(tǒng)計學(xué)中常通過比較殘差的平方和來比較兩個模型的擬合效果，已知的殘差平方和是3.5，請根據(jù)殘差平方和說明上述兩個方程哪一個擬合效果更好，并據(jù)此預(yù)測2023年該農(nóng)戶種植藥材的平均收入.參考數(shù)據(jù)及公式：，，其中.，.【答案】(1)，．(2)擬合效果更好，2023年農(nóng)戶種植藥材的平均收入8萬元．【分析】（1）根據(jù)最小二乘法結(jié)合條件可得回歸方程；（2）根據(jù)回歸方程分別計算殘差平方和，進而可得擬合效果更好，然后根據(jù)回歸方程結(jié)合條件即得.【詳解】（1）根據(jù)農(nóng)戶近5年種植藥材的平均收入情況的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得：，，所以，，則，．設(shè)，則，所以，則，．所以，兩種模型的回歸方程分別為，．（2）回歸方程為時，將值代入可得估計值分別為59，60.8，63.8，68，73.4，則殘差平方和為．而的殘差平方和是3.5，則，所以回歸方程擬合效果更好，應(yīng)選擇該方程進行擬合．當(dāng)時，故預(yù)測2023年該農(nóng)戶種植藥材的平均收入為80千元，即8萬元．2．（23-24高二上·安徽馬鞍山·期末）新冠肺炎疫情發(fā)生以來，我國某科研機構(gòu)開展應(yīng)急科研攻關(guān)，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進入二期臨床試驗.根據(jù)普遍規(guī)律，志愿者接種疫苗后體內(nèi)會產(chǎn)生抗體，人體中檢測到抗體，說明有抵御病毒的能力.通過檢測，用表示注射疫苗后的天數(shù)，表示人體中抗體含量水平（單位：，即：百萬國際單位/毫升），現(xiàn)測得某志愿者的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：天數(shù)123456抗體含量水平510265096195根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖.(1)根據(jù)散點圖判斷，與（a，b，c，d均為大于0的實數(shù)）哪一個更適宜作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值；(3)從這位志愿者的前6天的檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取4天的數(shù)據(jù)作進一步的分析，記其中的y值大于50的天數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87其中.參考公式：用最小二乘法求經(jīng)過點，，，，的線性回歸方程的系數(shù)公式，；.【答案】(1)(2)，40(3)分布列見解析，【分析】（1）由于這些點分布在一條曲線的附近，從而可選出回歸方程；（2）設(shè)，，則建立w關(guān)于x的回歸方程，然后根據(jù)公式和表中的數(shù)據(jù)求解回歸方程即可，再將代入回歸方程可求得在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值；（3）由題意可知x的可能取值為0，1，2，然后求對應(yīng)的概率，從而可求出分布列和期望.【詳解】（1）根據(jù)散點圖可知這些點分布在一條曲線的附近，所以更適合作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類型.（2）設(shè)，變換后可得，設(shè)，建立w關(guān)于x的回歸方程，，所以所以w關(guān)于x的回歸方程為，所以，當(dāng)時，，即該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值約為4023.87.（3）由表格數(shù)據(jù)可知，第5，6天的y值大于50，故x的可能取值為0，1，2，，，，X的分布列為012.3．（23-24高二下·山西太原·期末）山西某地打造旅游特色村，鼓勵當(dāng)?shù)卮迕駥⒆约洪e置房改造成民宿出租，增加農(nóng)民收入.為了解在旅游淡季民宿的出租情況，隨機選取6間民宿進行調(diào)查，統(tǒng)計它們在淡季的100天里的出租情況，得到每間民宿租金（單位：元/日）與其出租率（出租天數(shù)）的對應(yīng)關(guān)系表和散點圖如下：租金88128188288388488出租率0.90.70.50.30.20.15(1)請根據(jù)散點圖判斷，與哪個更適合此模型（不用證明），并根據(jù)下表數(shù)據(jù)（表中），求其相應(yīng)的經(jīng)驗回歸方程（保留小數(shù)點后一位）.261.30.465.4121437.861.97-221.19-1.04(2)已知該地一年旅游淡季按100天計算，在此期間，民宿無論是否出租，每天都要支出租金的的費用.若民宿出租，則每天需要再支付租金的的開支.請用（1）中結(jié)論的模型，計算租金為多少元時，該民宿在這100天內(nèi)的收益最大.附：；對于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗回歸方程為.【答案】(1)選，；(2)元.【分析】（1）觀察散點圖確定回歸模型，換元，利用最小二乘法公式求出回歸方程.（2）結(jié)合（1）求出收益的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性并求出取最大值時的x值.【詳解】（1）由散點圖知，應(yīng)選更合適.由，得，則，，所以.（2）依題意，，求導(dǎo)得，令，得，解得，當(dāng)時，，隨著的增大而增大，當(dāng)時，，隨著的增大而減小，所以當(dāng)元時，民宿在這100天內(nèi)的收益最大.【點睛】易錯點睛：非純屬回歸方程的求解，換元轉(zhuǎn)化為線性回歸方程求解，再利用最小二乘法求解時，要代入對應(yīng)值.4．（23-24高二下·湖北·期末）某鄉(xiāng)村企業(yè)希望通過技術(shù)革新增加產(chǎn)品收益，根據(jù)市場調(diào)研，技術(shù)革新投入經(jīng)費（單位：萬元）和增加收益（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下表：46810122742555660為了進一步了解技術(shù)革新投入經(jīng)費對增加收益的影響，通過對表中數(shù)據(jù)進行分析，分別提出了兩個回歸模型：①，②．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計算模型①中與的相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；(2)若，則選擇模型①；否則選擇模型②．根據(jù)（1）的結(jié)果，試建立增加收益關(guān)于技術(shù)革新投入經(jīng)費的回歸模型，并預(yù)測時的值（結(jié)果精確到0.01）．附：i）回歸直線的斜率、截距的最小二乘估計以及相關(guān)系數(shù)分別為：，，ii）參考數(shù)據(jù)：設(shè)，，，，，．【答案】(1)(2)，約為萬元【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出，，，，，即可求出相關(guān)系數(shù)；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可判斷選擇模型②，令，求出關(guān)于的線性回歸方程，即可求出關(guān)于的經(jīng)驗方程，再代入計算可得.【詳解】（1）因為，，所以，，，模型①中，相關(guān)系數(shù)，（2）因為，所以選擇模型②，令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，由于，，所以關(guān)于的線性回歸方程為，即，當(dāng)時，（萬元），所以若投入經(jīng)費萬元，收益約為萬元.5．（23-24高二下·河北石家莊·期末）一個調(diào)查學(xué)生記憶力的研究團隊從某中學(xué)隨機挑選100名學(xué)生進行記憶測試，通過講解100個陌生單詞后，相隔十分鐘進行聽寫測試，間隔時間t（分鐘）和答對人數(shù)y的統(tǒng)計表格如下：時間t（分鐘）102030405060708090100答對人數(shù)y9870523630201511551.991.851.721.561.481.301.181.040.70.7時間t與答對人數(shù)y和的散點圖如下：附：，，，，，對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，．請根據(jù)表格數(shù)據(jù)回答下列問題：(1)根據(jù)散點圖判斷，與哪個更適宜作為線性回歸模型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，建立y與的回歸方程；（a，b或c，d的計算結(jié)果均保留到小數(shù)點后三位）(3)根據(jù)（2）請估算要想答對人數(shù)不少于75人，至多間隔多少分鐘需要重新記憶一遍．（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，）．【答案】(1)更適宜作為線性回歸類型；(2)；(3)19分鐘.【分析】（1）根據(jù)給定的兩個散點圖即可得答案.（2）先求得的線性回歸方程，再將對數(shù)式化為指數(shù)式即得與的回歸方程.（3)）解不等式即可得答案.【詳解】（1）觀察兩個散點圖知，更適宜作為線性回歸類型.（2）依題意，，，由（1）知，，根據(jù)最小二乘法得：，，于是，因此y與的回歸方程.（3）依題意，，即，則，而，于是，解得，所以要想答對人數(shù)不少于75人，至多間隔19分鐘需要重新記憶一遍.【題型三】獨立性檢驗一、單選題1．（23-24高二下·河北張家口·期末）某研究中心對治療哮喘的兩種藥物的療效是否有差異進行實驗，并運用列聯(lián)表進行檢驗，零假設(shè)：兩種藥物的療效無差異，計算出，根據(jù)下面的小概率值的獨立性檢驗表，認(rèn)為“兩種藥物的療效存在差異”犯錯誤的概率不超過（

）0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，得到犯錯誤的概率不超過.【詳解】，，故“兩種藥物的療效存在差異”犯錯誤的概率不超過.故選：A2．（23-24高二下·天津濱海新·期末）現(xiàn)在，很多人都喜歡騎“共享單車”，但也有很多市民并不認(rèn)可．為了調(diào)查人們對這種交通方式的認(rèn)可度，某同學(xué)從交通擁堵嚴(yán)重的A城市和交通擁堵不嚴(yán)重的B城市分別隨機調(diào)查了20名市民，得到了一個市民是否認(rèn)可的樣本，具體數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表：AB總計認(rèn)可15823不認(rèn)可51217總計2020400.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.879附：．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列說法中，正確的是（

）A．沒有95%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”B．有97.5%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”C．可以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”D．可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”【答案】C【分析】先計算出卡方值，再分別與各選項中的相應(yīng)的小概率值比較，根據(jù)獨立性檢驗的原理，即可作出判斷【詳解】由對于A，因，故有95%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”，即A錯誤；對于B，因，故沒有97.5%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”，即B錯誤；對于C，因，故可以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”，即C正確；對于D，因，故在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下不能認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”，即D錯誤.故選：C.二、解答題3．（23-24高二下·青海西寧·期末）某學(xué)校高三年級有學(xué)生1000人，經(jīng)調(diào)查，其中750人經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為A類同學(xué)），另外250人不經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為B類同學(xué)）.現(xiàn)用按比例分配的分層抽樣方法（按A類?B類分兩層）從該年級的學(xué)生中共抽查100人，如果以身高達到作為達標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的100人，得到以下列聯(lián)表（單位：人）：身高達標(biāo)身高不達標(biāo)總計經(jīng)常參加體育鍛煉40不經(jīng)常參加體育鍛煉15總計100(1)完成上表；(2)依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為經(jīng)常參加體育鍛煉與身高達標(biāo)有關(guān)系？注：.附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格見解析；(2)無關(guān)聯(lián).【分析】（1）根據(jù)題目含義填寫表格即可，（2）利用列聯(lián)表結(jié)合卡方計算求解即可.【詳解】（1）填寫列聯(lián)表（單位：人）如下：身高達標(biāo)身高不達標(biāo)總計經(jīng)常參加體育鍛煉403575不經(jīng)常參加體育鍛煉101525總計5050100（2）零假設(shè)為：經(jīng)常參加體育鍛煉與身高達標(biāo)無關(guān)聯(lián).由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，.根據(jù)的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)證明不成立，即認(rèn)為經(jīng)常參加體育鍛煉與身高達標(biāo)無關(guān)聯(lián).4．（23-24高二上·貴州黔東南·期末）期末考試后，某校對甲、乙兩個文科班的數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計，規(guī)定：大于或等于120分的為優(yōu)秀，120以下的為非優(yōu)秀.統(tǒng)計結(jié)束后，得到如下2×2列聯(lián)表.已知在甲、乙兩個文科班的110人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為(1)請完成2×2列聯(lián)表.優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10乙班30總計110(2)是否有99.9%的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與班級有關(guān)”0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)表格見解析(2)沒有的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與班級有關(guān)”【分析】（1