試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2026年上海市復(fù)旦附中浦東分校九年級(jí)畢業(yè)生自主招生考試數(shù)學(xué)試題1．已知，則．2．若滿足關(guān)于的不等式的解的最大值為，則．3．已知x，y為正整數(shù)，滿足，則．4．已知，且，則．5．10名選手進(jìn)行單循環(huán)下棋比賽，勝者記2分，平者記1分，負(fù)者記0分，比賽結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)每名選手的得分各不相同，且第二名選手的分?jǐn)?shù)為后5名選手總分的，則第二名選手得分為．6．如圖，為邊上一點(diǎn)，，則．7．如圖，為的切線，割線交于，交線段于點(diǎn)，，則．8．如圖，為斜邊上的高，延長(zhǎng)至E，連接，過(guò)C作于F交于點(diǎn)，則．9．已知開(kāi)口向上的二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，且與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若的外接圓與軸相切，且，則的最小值是．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．【分析】取每個(gè)方程的倒數(shù)，將原分式方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于、、的方程組，然后求解該方程組得到的值，進(jìn)而求出．本題考查了方程組的解法，熟練掌握取倒數(shù)轉(zhuǎn)化方程組是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由，得；由，得；由，得；設(shè)，，，則方程組變形為：將三個(gè)方程相加：故減去第一個(gè)方程：減去第二個(gè)方程：因此，所以，故答案為：．2．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值、解不等式，由不等式解的最大值為，可知時(shí)不等式成立，且時(shí)不等式不成立，代入得，即，分別驗(yàn)證和，發(fā)現(xiàn)時(shí)，滿足不等式，故排除；，時(shí)滿足且時(shí)不滿足，因此符合條件．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，不等式化為，即，解得：，當(dāng)時(shí)，代入，可得：，不等式成立，但，與最大值為矛盾；當(dāng)時(shí)，代入，可得：，成立；當(dāng)時(shí)，，，左邊，當(dāng)時(shí)，，故不等式不成立；滿足條件．故答案為：．3．或【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用以及正整數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握因式分解（分組分解法）并結(jié)合正整數(shù)的范圍分析是解題的關(guān)鍵．先對(duì)已知等式展開(kāi)化簡(jiǎn)，得到關(guān)于、的關(guān)系式，再結(jié)合正整數(shù)的條件確定、的值，進(jìn)而求出．【詳解】解：，，，，，為正整數(shù)，∴，，分情況討論：當(dāng)，時(shí)，，，則，當(dāng)，時(shí)，，，則，同理，交換、可得，當(dāng)，時(shí)，，，則；當(dāng)，時(shí)，，，則．故答案為：或．4．【分析】由，得，故，，故是一元二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故，，變形化簡(jiǎn)計(jì)算即可．本題考查了一元二次方程，化簡(jiǎn)求值，熟練掌握解方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由，得，故，，由；故，故是一元二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故，，故又，故原式，故答案為：．5．16分【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意是解決本題的關(guān)鍵．由題意知每個(gè)選手和其他九位各賽一場(chǎng)，因此共45場(chǎng)，總得分90分，且得分互不相等，由于所有選手得分各不相同，且最高分不超過(guò)18分，故第二名的得分必然小于18分，又因?yàn)榈诙x手的得分恰好是最后五名選手的得分之和的，且分?jǐn)?shù)是5的倍數(shù)，故據(jù)此推算第二名的得分．【詳解】解：10名選手進(jìn)行單循環(huán)比賽：每個(gè)選手要和其他9名選手各賽1場(chǎng)，∴10個(gè)選手共賽場(chǎng)，但每場(chǎng)比賽被2名選手重復(fù)計(jì)算了，∴實(shí)際總場(chǎng)次是場(chǎng)，∵每場(chǎng)比賽無(wú)論“勝或負(fù)”還是“平局”，總得分都是2分（勝得2分負(fù)得0分，平各得1分），∴比賽總得分為分．∵后5名選手之間也要互相比賽，∴每個(gè)選手和其他4名后5名選手各賽1場(chǎng)，共賽場(chǎng)，∴后5名內(nèi)部比賽的總得分至少為分（每場(chǎng)至少得2分），∴設(shè)后5名選手的總分為，則，又∵第二名得分是，∴必須是5的倍數(shù)，∵每名選手得分各不相同，且第一名最多得分（贏了所有9場(chǎng)比賽），∴第二名得分，即，結(jié)合且是5的倍數(shù)，只有符合條件，∴第二名得分是分．故答案為：16分．6．##【分析】作的中垂線交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，得到，確定，設(shè)，則根據(jù)勾股定理，解答即可．本題考查了中垂線，勾股定理，平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：作的中垂線交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，故，，又，，，，由，，，設(shè)，則根據(jù)勾股定理，得，解得故故答案為：．7．【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解一元二次方程，切線的知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．連接，，，，，連接交于點(diǎn)H，先證明，，設(shè)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，代入數(shù)值求解即可．【詳解】解：連接，，，，，連接交于點(diǎn)H，∵，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∵，∴，即∵為的切線，∴，∴，∴，∵，∴，∴∴設(shè)，∴，故，又∵，∴，，解得：，（負(fù)的舍去），即，故答案為：．8．【分析】先證明，再證明，列比例式解答即可．本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，解得，故答案為：．9．【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)和圓的性質(zhì)可知，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：，根據(jù)勾股定理可得：，因?yàn)?，根?jù)圓周角定理可得，所以可得，從而可得：，可得，所以可得，分情況求解即可．【詳解】解：如下圖所示，設(shè)二次函數(shù)解析為，由題意可知，，，設(shè)方程的兩個(gè)根為、，其中，則，，，，在中，