襄陽四中2024級高二上學期12月月考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設，，若，則k=（）A.4 B. C.17 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為，所以，故選：B2.雙曲線漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令可得.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即．故選：C.3.經(jīng)過點作直線l，若直線l與連接，兩點的線段總有公共點，設l的傾斜角為，l的斜率為k，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由兩點斜率公式可求解斜率，進而得，然后求解三角不等式得答案．【詳解】設直線的傾斜角為，,所以，即，由題意知：，解得：或．傾斜角的取值范圍是故BCD錯誤，A正確，故選：A4.已知圓：關于直線對稱，圓：，則圓與圓的位置關系是（）A.內(nèi)含 B.相交 C.外切 D.外離【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)對稱求出值，然后求出圓心距，進而得出兩圓位置關系.【詳解】因為圓，即關于直線，說明該直線過圓心，則有，解得，所以圓的圓心坐標為，半徑為1，圓的圓心坐標為，半徑為4，而.所以兩圓的位置關系是相交.故選：B.5.、分別為與上任意一點，則的最小值為（）A. B. C.3 D.6【答案】B【解析】【分析】先判斷兩直線平行，再利用兩平行直線距離公式計算即得.【詳解】因直線與直線互相平行，、是兩直線上的點，故當且僅當為兩直線的公垂線段時，取得最小值，即最小值為兩直線之間的距離，為.故選：B.6.已知動點滿足，則點的軌跡是（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】B【解析】【分析】化簡給定方程，再由方程特征確定軌跡.【詳解】由兩邊平方得，整理得，即，因此點的軌跡方程是，所以的軌跡為橢圓.故選：B7.設圓錐曲線的兩個焦點分別為，若曲線上存在點滿足，則曲線的離心率等于A.或 B.或 C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】設，討論兩種情況，分別利用橢圓與雙曲線的定義求出的值，再利用離心率公式可得結果.【詳解】因為，所以可設，若曲線為橢圓則，則；若曲線為雙曲線則，，∴，故選.【點睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率以及雙曲線的定義及離心率，屬于中檔題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．8.如圖，過拋物線的焦點的直線（斜率為正）交拋物線于點兩點（其中點在第一象限），交其準線于點，若，則到拋物線的準線的距離為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】結合圖形特征得出，，得出，再計算得出解得即得.【詳解】如圖，分別過點作準線的垂線，垂足分別為點，設，所以，由拋物線的定義得，所以，在中，，又因為，解得，又記準線與對稱軸交于點，因為，解得，即到拋物線的準線的距離為4.故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.下列命題錯誤的是（）A.若事件與事件互斥，則B.若事件與事件相互獨立，則事件與事件相互獨立．C.事件與事件同時發(fā)生的概率一定比與中恰有一個發(fā)生的概率?。瓺.拋擲一枚均勻的硬幣，如前兩次都是反面，那么第三次出現(xiàn)正面的可能性就比反面大．【答案】ACD【解析】【分析】舉反例判斷AC；根據(jù)獨立事件的概念及乘法公式判斷B；根據(jù)獨立重復試驗概率性質(zhì)判斷D.【詳解】選項A：互斥事件指不能同時發(fā)生的事件，但只有對立事件互斥且必有一個發(fā)生的概率和為.例如，擲骰子時“出現(xiàn)點”與“出現(xiàn)點”互斥，但，故A錯誤．選項B：若與獨立，則.計算：，滿足獨立事件的定義，故與獨立，B正確．選項C：舉反例：若即事件與完全相同，則“與同時發(fā)生”的概率為，“與恰有一個發(fā)生”的概率為，此時，故C錯誤．選項D：拋擲均勻硬幣是獨立重復試驗，每次正面向上的概率均為，前兩次結果不影響第三次的概率，故第三次正面與反面的可能性相等，D錯誤．故選：ACD10.四棱錐的底面為正方形，平面，，，動點在線段上，則（）A.四棱錐的外接球表面積為B.的最小值為C.不存在點，使得D.點到直線的距離的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A項，將該四棱錐補為長方體，求出長方體的體對角線即可得出該四棱錐外接球的半徑，根據(jù)表面積公式即可得出答案；對于B項，將四棱錐沿剪開得到平面圖，最小值即為，根據(jù)已知求出各邊邊長，進而計算即可得出答案；對于C項，假設存在點，建立空間直角坐標系，表示出的坐標.進而根據(jù)，得出，列出方程解出的值，即可得出判斷；對于D項，表示出，進而根據(jù)向量法表示出點到直線的距離.結合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出最小值.【詳解】對于A項，將該四棱錐補為長方體，可知即為該長方體的一條體對角線，且.且該長方體的外接球即為該四棱錐的外接球，半徑為，表面積為，故A正確；對于B項，如圖1，將四棱錐沿剪開得到平面圖，連接，交于點，易知均為直角三角形，且全等，且，，，則，且，即有，所以，即的最小值為.故B正確；對于C項，假設存在點，使得如圖2，以點為坐標原點，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系.則，則，，.設，，則.因為，所以，解得.故存在點，使得.故C項錯誤；對于D項，由已知可得，，所以點到直線的距離，，，所以，當時，點到直線的距離的最小值為.故D正確.故選：ABD.11.已知橢圓，是其左右焦點，是橢圓上任意一點，則下列說法正確的是（）A.的最大值是4B.的最大值是4C.取最小值時，點的坐標為D.若也在拋物線上，則到點的最小距離為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)橢圓及拋物線的定義，再結合基本不等式及柯西不等式可得.【詳解】由，得，即.如圖：對于A：由橢圓的定義得，當且僅當時等號成立，所以A正確；對于B：因為，所以，又因為，所以，又因為，所以，當且僅當時等號成立.所以B錯誤；對于C：由，所以，即，當且僅當，即代入，解得或，所以當時，有最小值，故C正確；對于D：因為點在拋物線上，拋物線的焦點為，根據(jù)拋物線的定義，到點的距離等于P點到準線的距離.因為，所以，得，所以到點的距離，當且僅當，即（負值舍去）時等號成立.故D正確.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.橢圓的焦距為__________．【答案】【解析】【分析】由橢圓方程確定長半軸的平方，短半軸的平方，根據(jù)橢圓中、、的關系求出半焦距的平方，從而得到半焦距，由橢圓的焦距為計算焦距.【詳解】由橢圓方程可知，橢圓的焦點在軸上因為，其中長半軸的平方，短半軸的平方.根據(jù)橢圓中、、的關系，計算得：，故.橢圓的焦距為，因此焦距為.故答案為：.13.教材頁第題：在空間直角坐標系中，已知向量，點，點若直線經(jīng)過點，且以為方向向量，是直線上的任意一點，求證：；若平面經(jīng)過點，且以為法向量，是平面內(nèi)的任意一點，求證：利用教材給出的材料，解決下面的問題：已知平面的方程為，直線是平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)教材習題的結論，分別求得平面的法向量和直線的方向向量，再根據(jù)線面角的向量求法，求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】平面方程為，平面的一個法向量，同理，可得平面的一個法向量，平面的一個法向量，設平面與平面的交線的方向向量為，則，取，則，設直線與平面所成角為，則．故答案為：.14.已知，則的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】設，原式化為，設，則可以看成點到點兩點的距離之差，可求最大值.【詳解】因為，設，，令，則，則上式為，設，點為雙曲線位于第一象限的點，可以看成點到點兩點的距離之差，又，所以的最大值是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（1）若一條光線從點射出，與軸相交于點，經(jīng)軸反射，求入射光線和反射光線所在直線的方程；（2）若直線經(jīng)過點，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，求直線的方程．【答案】（1）入射光線所在直線的方程為，反射光線所在直線的方程為；（2）或或．【解析】【分析】（1）由點的坐標求得入射光線的方程，進而得到入射光線的斜率，根據(jù)對稱求得反射光線的斜率，根據(jù)反射光線過點求得反射光線的方程；（2）討論直線在兩坐標軸上的截距等于零和不等于零兩種情況，當在兩坐標軸上的截距均為零時，設直線的方程為；當在兩坐標軸上的截距均不為零時，設直線的方程為.分別代入點，可求得直線的方程．【詳解】【小問1】設入射光線為，反射光線為，光線從點射出，與軸相交于點，入射光線的方程為，整理得，入射光線的斜率，反射光線的斜率，又反射光線要經(jīng)過點，反射光線的方程為，即.【小問2】當直線的截距為時，設直線的方程為.因為直線經(jīng)過點，所以，所以直線方程為，即，當直線的截距不為時，設直線的方程為，則解得或．若，則直線的方程為，即若則直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為：或或．16.如圖，一個正八面體八個面分別標以數(shù)字到，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為記事件“得到的點數(shù)為偶數(shù)”，記事件“得到的點數(shù)不大于”，記事件“得到的點數(shù)為質(zhì)數(shù)”．（1）請寫出具體的樣本空間；（2）請證明：；（3）連續(xù)拋擲次這個正八面體，記事件為第次拋擲這個正八面體事件發(fā)生，求連續(xù)拋擲次這個正八面體事件只發(fā)生次的概率．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由題意得到正八面體與地面接觸的面上的數(shù)字，即可求解樣本空間；（2）由題意求出事件所含的樣本點，事件所含的樣本點，事件所含的樣本點，事件所含的樣本點，利用古典概型概率公式求解即可證明；（3）結合對立事件概率公式，根據(jù)互斥事件概率加法公式和獨立事件乘法公式求解即可.【小問1詳解】因為正八面體八個面分別標以數(shù)字到，任意拋擲一次，與地面接觸的面上的數(shù)字可能是，，，，，，，，所以樣本空間．【小問2詳解】事件所含的樣本點為：，事件所含的樣本點為：，事件所含的樣本點為：，故事件所含的樣本點為：，所以，又，所以，【小問3詳解】依題意知每次拋擲這個正八面體的結果都互不影響，即互相獨立，記為第次拋擲這個正八面體發(fā)生事件，則，所以事件只發(fā)生次的概率為：．17.已知雙曲線的左頂點為，離心率為，是上的兩點．（1）求的標準方程；（2）若（不在直線上)，證明：直線過定點．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率及的值，求出的值，代入雙曲線方程即可.（2）設出直線方程并與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理得到兩根之和和兩根之積，根據(jù)進行化簡，進而求出定點坐標.【小問1詳解】因為，，所以，故的標準方程為.【小問2詳解】證明：設直線的方程為，，.由，得，則，，，又，則，，因為，所以，即，即，即，整理得，解得或，當時，直線，直線過點，不符合題意，舍去；當時，直線，則直線過定點.綜上，直線過定點．18.如圖，已知平行六面體的底面是菱形，且且為銳角．（1）求證：；（2）當?shù)闹禐槎嗌贂r，能使平面？請給出證明；（3）若在底面的正投影為菱形的對角線交點，且，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2），證明見解析（3）【解析】【分析】（1）借助空間向量線性運算法則計算即可得；（2）結合線面垂直性質(zhì)定理與空間向量線性運算法則計算即可得；（3）利用投影定義結合線面垂直性質(zhì)定理與空間向量線性運算法則計算可得與的數(shù)量關系，再找出平面與平面所成角的平面角，結合三角函數(shù)定義與同角三角函數(shù)基本關系計算即可得.【小問1詳解】設，，，，則，由題意可得，則，故，即；【小問2詳解】當時，平面，證明如下：設時，平面，由平面，則，，又，，，有，由，則恒成立，即恒有，有，則，故當且僅當時，平面；【小問3詳解】取中點，連接，由，且底面是菱形，故點即為菱形的對角線交點，且為等邊三角形，則底面，又平面，則，，，則，即有，則，過點作于點，則即為平面與平面所成角的平面角，由，則，則，則，即平面與平面的夾角的余弦值為.19.公元前180年，古希臘數(shù)學家狄俄克利斯（Diocles）獨立發(fā)明了蔓葉線，其方程為,如左圖所示，蔓葉線與半個圓周一起，形狀看上去像常春藤蔓的葉子，如右圖所示，平面內(nèi)給定圓和直線,從坐標軸原點O引射線分別交圓C和直線于點A、B,在射線上取一點M滿足.（1）求蔓葉線的橫坐標的取值范圍；（2）求證：點M蔓葉線上；（3）已知：直線與蔓葉線交于三點,記直線的斜率為,直線與圓C交于點,若,求的值.參考公式：若是一元三次方程的三個根，則,,.【答案】（1）[0,2)（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）將蔓葉線方程中的與分離，根據(jù)解得的范圍；（2）依據(jù)向量相等的性質(zhì)得到點的坐標，再將點的橫坐標代入蔓葉線方程的右邊，通過化簡計算與進行比較，若相等則可證明點在蔓葉線上；（3）求的值，可先由直線與圓的交點表示，得到，再結合直線與蔓