2025-2026學(xué)年廣東省深圳市龍崗?fù)鈬?guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷

（12月份）

一、選擇題

1．（3分）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（6，﹣1），則它的圖象所在的象限為（）

A．第一、三象限B．第二、四象限

C．第一、四象限D(zhuǎn)．第二、三象限

2．（3分）若，則＝（）

A．B．C．D．

3．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A．k＞2B．k≥2C．k＜2D．k≤2

4．（3分）為了估計(jì)湖里有多少條魚(yú)，先從湖里捕撈100條魚(yú)做上標(biāo)記，然后放回湖里去，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，

帶有標(biāo)記的魚(yú)完全混合于魚(yú)群后，小剛又從湖里捕撈200條魚(yú)，發(fā)現(xiàn)有15條有標(biāo)記，那么你估計(jì)湖里

里有多少條魚(yú)（）

A．300條B．1333條C．1500條D．3000條

5．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程3x2﹣2xy﹣y2＝0，則＝（）

A．1B．1或C．1或D．

6．（3分）如圖，點(diǎn)A、B、C均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tan∠BAC＝（）

A．B．C．D．

7．（3分）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°，將△DAE繞

點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．若AE＝2，則FM的長(zhǎng)為（）

第1頁(yè)（共23頁(yè)）

A．4B．5C．6D．6.5

8．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2），其對(duì)稱(chēng)軸為直

線x＝﹣1．下列結(jié)論中正確的是（）

A．3a+c＞0

B．若點(diǎn)（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函數(shù)圖象上，則y1＜y2

C．關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

D．滿足ax2+bx+c＞2的x的取值范圍為﹣2＜x＜0

二、填空題

9．（3分）在△ABC中，若（其中∠A，∠B為銳角），則△ABC的形狀

是．

10．（3分）已知線段AB＝4，點(diǎn)P是它的黃金分割點(diǎn)，AP＜BP，則AP＝．

11．（3分）一張圓桌旁有四個(gè)座位，A先坐在如圖所示的座位上，B，C，D三人隨機(jī)坐到其他三個(gè)座位上，

則A與B不相鄰而坐的概率為．

第2頁(yè)（共23頁(yè)）

12．（3分）如圖，點(diǎn)A是雙曲線y＝上的動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)B，將線段AB繞B順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BC，點(diǎn)C在雙曲線y＝上的運(yùn)動(dòng)，則k＝．

13．（3分）如圖，n個(gè)邊長(zhǎng)為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點(diǎn)M1，M2，M3，…Mn為邊B1B2，

B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中點(diǎn)，△B1C1M1的面積為S1，△B2C2M2的面積為S2，…△Bn?nMn的面積

為，則n＝．

三、解答題

14．（8分）（1）解一元二次方程：x2﹣6x﹣7＝0；

（2）計(jì)算：．

15．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）尺規(guī)作圖：作⊙O，使它過(guò)點(diǎn)A、C，且圓心O在AB上，（必須保留清晰的作圖痕跡，不寫(xiě)作

法）；

（2）在（1）所作的⊙O中，求證：點(diǎn)B在⊙O上．

16．（8分）化學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，楊老師帶來(lái)了Mg（鎂）、Al（鋁）、Zn（鋅）、Cu（銅）四種金屬材料及其元

素卡片（如圖，除正面信息不同外，其余均相同），將四張?jiān)乜ㄆ趁娉舷磩?，讓學(xué)生隨機(jī)抽取一

第3頁(yè)（共23頁(yè)）

張，然后用抽取到的金屬與鹽酸反應(yīng)來(lái)制取氫氣．（根據(jù)金屬活動(dòng)順序可知：Mg、Al、Zn可以置換出氫

氣，而Cu不能置換出氫氣）

（1）小云隨機(jī)從中抽取一張卡片，抽到“Al”的概率為；

（2）小云隨機(jī)從中抽取一張卡片，記下金屬后，放回洗勻，小南再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，請(qǐng)用列表或畫(huà)

樹(shù)狀圖的方法求小云和小南抽到的金屬均能置換出氫氣的概率．

17．（8分）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接OE，過(guò)點(diǎn)B

作BF∥AC交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF．

（1）求證：四邊形AOBF為矩形；

（2）若，BD＝2AC，求AB的長(zhǎng)及點(diǎn)A到BC的距離．

18．（8分）中華人民共和國(guó)第十五屆運(yùn)動(dòng)會(huì)于2025年11月9日至21日在廣東、香港、澳門(mén)召開(kāi)．徽章

作為運(yùn)動(dòng)會(huì)第一批特許商品早于2025年8月開(kāi)售，并深受大家的喜愛(ài)．某商店以每枚45元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)

某款徽章，以每枚68元的價(jià)格出售，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，2025年8月份的銷(xiāo)售量為256枚，2025年10月份的銷(xiāo)

售量為400枚．

（1）求該款徽章2025年8月份到10月份銷(xiāo)售量的月平均增長(zhǎng)率；

（2）從11月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷(xiāo)的方式回饋顧客，經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該款徽章每降價(jià)1元，月銷(xiāo)

售量就會(huì)增加20枚，當(dāng)該款徽章降價(jià)多少元時(shí)，月銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)8400元？

19．（8分）綜合與實(shí)踐

在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．在矩形ABCD中，E為射線

BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE．

第4頁(yè)（共23頁(yè)）

（1）當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，將△ABE沿AE翻折，使點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線BD上點(diǎn)F處，AE交BD于

點(diǎn)G．

基礎(chǔ)探究：

①如圖1，若，則∠AFB的度數(shù)為．

深入探究：

②如圖2，當(dāng)，且EF＝EC時(shí)，求AB的長(zhǎng)．

拓展探究：

（2）在②所得矩形ABCD中（僅保留AB，BC長(zhǎng)），將矩形ABCD沿AE進(jìn)行翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

C'，當(dāng)點(diǎn)E，C'，D三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng)．

20．（8分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸的交點(diǎn)分別為A（﹣3，0）和B（1，0），與y軸交

于點(diǎn)C，連接AC、BC，點(diǎn)M是線段OA上，不與點(diǎn)O、A重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作DM⊥x軸，交

拋物線于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)H．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能否使線段DE＝CE？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△PHC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第5頁(yè)（共23頁(yè)）

2025-2026學(xué)年廣東省深圳市龍崗?fù)鈬?guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷

（12月份）

參考答案與試題解析

一．選擇題（共8小題）

題號(hào)12345678

答案BADBCCBD

一、選擇題

1．（3分）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（6，﹣1），則它的圖象所在的象限為（）

A．第一、三象限B．第二、四象限

C．第一、四象限D(zhuǎn)．第二、三象限

【答案】B

【解答】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（6，﹣1），

∴k＝6×（﹣1）＝﹣6，

∵k＜0，

∴反比例函數(shù)圖象分布在第二、四象限．

故選：B．

2．（3分）若，則＝（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解答】解：∵，

∴＝，

∴＝1+＝，

∴＝，

故選：A．

3．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

第6頁(yè)（共23頁(yè)）

A．k＞2B．k≥2C．k＜2D．k≤2

【答案】D

【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有實(shí)數(shù)根，

∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×2k＝16﹣8k≥0，

∴k≤2．

故選：D．

4．（3分）為了估計(jì)湖里有多少條魚(yú)，先從湖里捕撈100條魚(yú)做上標(biāo)記，然后放回湖里去，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，

帶有標(biāo)記的魚(yú)完全混合于魚(yú)群后，小剛又從湖里捕撈200條魚(yú)，發(fā)現(xiàn)有15條有標(biāo)記，那么你估計(jì)湖里

里有多少條魚(yú)（）

A．300條B．1333條C．1500條D．3000條

【答案】B

【解答】解：設(shè)湖里中魚(yú)的總數(shù)為x條，

100：x＝15：200，

解得，

故選：B．

5．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程3x2﹣2xy﹣y2＝0，則＝（）

A．1B．1或C．1或D．

【答案】C

【解答】解：∵3x2﹣2xy﹣y2＝0

∴3（）2﹣2﹣1＝0，

解得：＝1或﹣．

故選：C．

6．（3分）如圖，點(diǎn)A、B、C均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tan∠BAC＝（）

第7頁(yè)（共23頁(yè)）

A．B．C．D．

【答案】C

【解答】解：設(shè)正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，如圖所示：

則BC＝2，

根據(jù)勾股定理得：AC＝＝，CD＝＝，BD＝＝，

∴AD＝AC﹣CD＝，

又∵CD2+BD2＝4，BC2＝4，

∴CD2+BD2＝BC2，

∴△BCD是直角三角形，

∴∠BDC＝∠BDA＝90°，

在Rt△ABD中，tan∠BAC＝＝＝．

故選：C．

7．（3分）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°，將△DAE繞

點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．若AE＝2，則FM的長(zhǎng)為（）

A．4B．5C．6D．6.5

【答案】B

【解答】解：由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠EDF＝45°，△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△

DCM．AE＝2，

得△DAE≌△DCM，DE＝DM，MC＝AE＝2，

得∠ADE+∠CDF＝45°＝∠MDC+∠CDF，

第8頁(yè)（共23頁(yè)）

得∠MDF＝∠EDF＝45°，

得△DFE≌△DFM，

得EF＝FM＝x，F(xiàn)C＝x﹣2，BF＝6﹣FC＝8﹣x，BE＝6﹣AE＝4，

由∠B＝90°，

得42+（8﹣x）2＝x2，

得FM＝x＝5．

故選：B．

8．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2），其對(duì)稱(chēng)軸為直

線x＝﹣1．下列結(jié)論中正確的是（）

A．3a+c＞0

B．若點(diǎn)（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函數(shù)圖象上，則y1＜y2

C．關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

D．滿足ax2+bx+c＞2的x的取值范圍為﹣2＜x＜0

【答案】D

【解答】解：由題意，∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝﹣＝﹣1，

∴b＝2a．

又由圖象，可得當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a+b+c＜0，

第9頁(yè)（共23頁(yè)）

∴3a+c＜0，故A錯(cuò)誤．

∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝﹣1，

∴當(dāng)x＝﹣4時(shí)的函數(shù)值與當(dāng)x＝﹣1+3＝2時(shí)的函數(shù)值相等為y1．

∵拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝﹣1，

∴當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而減?。?/p>

又∵2＜3，且拋物線過(guò)（2，y1），（3，y2），

∴y1＞y2，故B錯(cuò)誤．

由題意，令y＝﹣1，

∴拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．

∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故C錯(cuò)誤．

∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，

又∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝﹣1，

∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝2．

又拋物線開(kāi)口向下，

∴滿足ax2+bx+c＞2的x的取值范圍為﹣2＜x＜0，故D正確．

故選：D．

二、填空題

9．（3分）在△ABC中，若（其中∠A，∠B為銳角），則△ABC的形狀是

鈍角三角形或等腰三角形．

【答案】鈍角三角形或等腰三角形．

【解答】解：由題意得，，

∴，，

∵∠A，∠B為銳角，

∴∠A＝30°，∠B＝30°，

∴∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°，

∴△ABC是鈍角三角形或等腰三角形，

故答案為：鈍角三角形或等腰三角形．

10．（3分）已知線段AB＝4，點(diǎn)P是它的黃金分割點(diǎn)，AP＜BP，則AP＝6﹣2．

第10頁(yè)（共23頁(yè)）

【答案】6﹣2．

【解答】解：∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＜BP，

∴＝，

∵AB＝4，

∴BP＝AB＝×4＝2﹣2，

∴AP＝AB﹣BP＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2，

故答案為：6﹣2．

11．（3分）一張圓桌旁有四個(gè)座位，A先坐在如圖所示的座位上，B，C，D三人隨機(jī)坐到其他三個(gè)座位上，

則A與B不相鄰而坐的概率為．

【答案】．

【解答】解：將三個(gè)座位順次記為①②③，A先坐在如圖所示的座位上，B，C，D三人隨機(jī)坐到其他

三個(gè)座位上，作樹(shù)狀圖如下：

由于A的位置已經(jīng)確定，B、C、D隨機(jī)而坐的情況共有6種（如圖所示）：6種情況出現(xiàn)的可能性相

同．其中A與B不相鄰而坐的情況共有2種，

∴所求概率是：．

故答案為：．

12．（3分）如圖，點(diǎn)A是雙曲線y＝上的動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)B，將線段AB繞B順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BC，點(diǎn)C在雙曲線y＝上的運(yùn)動(dòng)，則k＝﹣9．

第11頁(yè)（共23頁(yè)）

【答案】﹣9

【解答】解：∵雙曲線y＝關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．

∴OA＝OB．

連接OC，AC，如圖所示．

∵將線段AB繞B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BC，

∴△ABC是等邊三角形，OA＝OB，

∴OC⊥AB，∠BAC＝60°，

∴tan∠OAC＝＝，

∴OC＝OA．

過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸，垂足為F，

∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，

∴∠AEO＝∠OFC，∠AOE＝90°﹣∠FOC＝∠OCF，

∴△AEO∽△OFC．

∴＝＝．

∵OC＝OA，

∴OF＝AE，F(xiàn)C＝EO．

設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，b），

∵點(diǎn)A在第一象限，

∴AE＝a，OE＝b．

∴OF＝AE＝a，F(xiàn)C＝EO＝b．

∵點(diǎn)A在雙曲線y＝上，

∴ab＝3．

第12頁(yè)（共23頁(yè)）

∴FC?OF＝b?a＝3ab＝9，

設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），

∵點(diǎn)C在第四象限，

∴FC＝x，OF＝﹣y．

∴FC?OF＝x?（﹣y）＝﹣xy＝9．

∴xy＝﹣9．

∵點(diǎn)C在雙曲線y＝上，

∴k＝xy＝﹣9．

故答案為：﹣9．

13．（3分）如圖，n個(gè)邊長(zhǎng)為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點(diǎn)M1，M2，M3，…Mn為邊B1B2，

B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中點(diǎn)，△B1C1M1的面積為S1，△B2C2M2的面積為S2，…△Bn?nMn的面積

為，則n＝128．

【答案】128．

【解答】解：∵Bn?n∥B1C1，

∴△MnBn?n∽△MnB1C1，

∴＝，

第13頁(yè)（共23頁(yè)）

∴＝，

∴Bn?n＝，

∴Sn＝××＝，

∵△Bn?nMn的面積為，

∴＝，

則n＝128．

經(jīng)檢驗(yàn)n＝128是原方程的解，

故答案為：128．

三、解答題

14．（8分）（1）解一元二次方程：x2﹣6x﹣7＝0；

（2）計(jì)算：．

【答案】（1）1x＝7，x2＝﹣1；

（2）．

【解答】解：（1）x2﹣6x﹣7＝0，

∴（x﹣7）（x+1）＝0，

∴x﹣7＝0或x+1＝0，

∴x1＝7，x2＝﹣1；

（2）原式＝

＝

＝．

15．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）尺規(guī)作圖：作⊙O，使它過(guò)點(diǎn)A、C，且圓心O在AB上，（必須保留清晰的作圖痕跡，不寫(xiě)作

法）；

（2）在（1）所作的⊙O中，求證：點(diǎn)B在⊙O上．

第14頁(yè)（共23頁(yè)）

【答案】（1）作圖見(jiàn)解答；

（2）證明過(guò)程見(jiàn)解答．

【解答】（1）解：如圖，⊙O為所求；

（2）證明：如圖，連接OC，

由（1）O點(diǎn)為AC的垂直平分線與AB的交點(diǎn)，

∴OC＝OA，

∴∠A＝∠OCA，

∵∠ACB＝90°，

∴∠B+∠A＝90°，

∵∠OCA+∠OCB＝90°，

∴∠B＝∠OCB，

∴OC＝OB，

即OC＝OB＝OA，

∴A、B、C三點(diǎn)共圓，

即點(diǎn)B在⊙O上．

16．（8分）化學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，楊老師帶來(lái)了Mg（鎂）、Al（鋁）、Zn（鋅）、Cu（銅）四種金屬材料及其元

素卡片（如圖，除正面信息不同外，其余均相同），將四張?jiān)乜ㄆ趁娉舷磩颍寣W(xué)生隨機(jī)抽取一

張，然后用抽取到的金屬與鹽酸反應(yīng)來(lái)制取氫氣．（根據(jù)金屬活動(dòng)順序可知：Mg、Al、Zn可以置換出氫

第15頁(yè)（共23頁(yè)）

氣，而Cu不能置換出氫氣）

（1）小云隨機(jī)從中抽取一張卡片，抽到“Al”的概率為；

（2）小云隨機(jī)從中抽取一張卡片，記下金屬后，放回洗勻，小南再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，請(qǐng)用列表或畫(huà)

樹(shù)狀圖的方法求小云和小南抽到的金屬均能置換出氫氣的概率．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中抽到“Al”的結(jié)果有1種，

∴小云隨機(jī)從中抽取一張卡片，抽到“Al”的概率為．

故答案為：．

（2）列表如下：

MgAlZnCu

Mg（Mg，Mg）（Mg，Al）（Mg，Zn）（Mg，Cu）

Al（Al，Mg）（Al，Al）（Al，Zn）（Al，Cu）

Zn（Zn，Mg）（Zn，Al）（Zn，Zn）（Zn，Cu）

Cu（Cu，Mg）（Cu，Al）（Cu，Zn）（Cu，Cu）

共有16種等可能的結(jié)果，其中小云和小南抽到的金屬均能置換出氫氣的結(jié)果有：（Mg，Mg），（Mg，

Al），（Mg，Zn），（Al，Mg），（Al，Al），（Al，Zn），（Zn，Mg），（Zn，Al），（Zn，Zn），共9種，

∴小云和小南抽到的金屬均能置換出氫氣的概率為．

17．（8分）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接OE，過(guò)點(diǎn)B

作BF∥AC交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF．

（1）求證：四邊形AOBF為矩形；

（2）若，BD＝2AC，求AB的長(zhǎng)及點(diǎn)A到BC的距離．

第16頁(yè)（共23頁(yè)）

【答案】（1）證明：∵BF∥AC，

∴∠BFE＝∠AOE，E是AB的中點(diǎn)，

∴AE＝BE，

在△AOE和△BFE中，

，

∴△AOE≌△BFE（AAS），

∴EO＝EF，

∴四邊形AOBF是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOB＝90°，

∴平行四邊形AOBF為矩形；

（2）AB的長(zhǎng)為4，點(diǎn)A到BC的距離為．

【解答】（1）證明：∵BF∥AC，

∴∠BFE＝∠AOE，E是AB的中點(diǎn)，

∴AE＝BE，

在△AOE和△BFE中，

，

∴△AOE≌△BFE（AAS），

∴EO＝EF，

∴四邊形AOBF是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOB＝90°，

∴平行四邊形AOBF為矩形；

（2）解：如圖，過(guò)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，

第17頁(yè)（共23頁(yè)）

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC⊥BD，

∴∠AOB＝90°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

∴AB＝2OE＝4，

∴BC＝4，

∵BD＝2AC，

∴OB＝2OA，

∵OA2+OB2＝AB2，

∴OA2+（2OA）2＝（4）2，

解得：OA＝4（負(fù)值已舍去），

∴AC＝2OA＝8，BD＝2AC＝16，

∵AH⊥BC，

∴S菱形ABCD＝BC?AH＝AC?BD，

即4AH＝×8×16，

解得：AH＝，

答：AB的長(zhǎng)為4，點(diǎn)A到BC的距離為．

18．（8分）中華人民共和國(guó)第十五屆運(yùn)動(dòng)會(huì)于2025年11月9日至21日在廣東、香港、澳門(mén)召開(kāi)．徽章

作為運(yùn)動(dòng)會(huì)第一批特許商品早于2025年8月開(kāi)售，并深受大家的喜愛(ài)．某商店以每枚45元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)

某款徽章，以每枚68元的價(jià)格出售，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，2025年8月份的銷(xiāo)售量為256枚，2025年10月份的銷(xiāo)

售量為400枚．

（1）求該款徽章2025年8月份到10月份銷(xiāo)售量的月平均增長(zhǎng)率；

（2）從11月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷(xiāo)的方式回饋顧客，經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該款徽章每降價(jià)1元，月銷(xiāo)

售量就會(huì)增加20枚，當(dāng)該款徽章降價(jià)多少元時(shí)，月銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)8400元？

【答案】（1）該款徽章2025年8月份到10月份銷(xiāo)售量的月平均增長(zhǎng)率為25%；

（2）當(dāng)該款徽章降價(jià)8元時(shí)，月銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)8400元．

第18頁(yè)（共23頁(yè)）

【解答】解：（1）設(shè)該款徽章2025年8月份到10月份銷(xiāo)售量的月平均增長(zhǎng)率為m，

根據(jù)題意得：256（1+m）2＝400，

解得m＝0.25＝25%或m＝﹣2.25（舍去），

∴該款徽章2025年8月份到10月份銷(xiāo)售量的月平均增長(zhǎng)率為25%；

（2）設(shè)當(dāng)該款徽章降價(jià)x元時(shí)，月銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)8400元，

根據(jù)題意得：（68﹣x﹣45）（400+20x）＝8400，

解得x＝8或x＝﹣5（舍去），

∴當(dāng)該款徽章降價(jià)8元時(shí)，月銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)8400元．

19．（8分）綜合與實(shí)踐

在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．在矩形ABCD中，E為射線

BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE．

（1）當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，將△ABE沿AE翻折，使點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線BD上點(diǎn)F處，AE交BD于

點(diǎn)G．

基礎(chǔ)探究：

①如圖1，若，則∠AFB的度數(shù)為60°．

深入探究：

②如圖2，當(dāng)，且EF＝EC時(shí)，求AB的長(zhǎng)．

拓展探究：

（2）在②所得矩形ABCD中（僅保留AB，BC長(zhǎng)），將矩形ABCD沿AE進(jìn)行翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

C'，當(dāng)點(diǎn)E，C'，D三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng)．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠BAD＝90°，

∵，

∴，

第19頁(yè)（共23頁(yè)）

在Rt△ABD中，，

∴∠ABD＝60°，

由折疊的性質(zhì)知AB＝AF，

∴△ABF是等邊三角形，

∴∠AFB＝60°，

故答案為：60°；

②由折疊的性質(zhì)知BF⊥AE，EF＝EB，

∴∠BGE＝90°，

∵EF＝EC，

∴EF＝EB＝EC，

∴BC＝2BE，即，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠BCD＝90°，，

∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CBD＝90°，

∴∠BAE＝∠CBD，

∴△BAE∽△CBD，

∴，即，

解得（負(fù)值已舍）；

（2）如圖3，由題意得，，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴，AD∥BC，

∴∠DCE＝90°，∠CED＝∠B'DA，

由折疊的性質(zhì)知，

第2