永年二中高二理科數(shù)學(xué)期末試題第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.4.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢(xún)問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)．老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī)．看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)．根據(jù)以上信息，則（）A．乙可以知道四人的成績(jī)B．丁可以知道四人的成績(jī)C．乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)D．乙、丁可以知道自己的成績(jī)5.四位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率A.B.C.D.6.在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中有這樣的一首歌謠：“遠(yuǎn)看巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”這首古詩(shī)描述的這個(gè)寶塔其古稱(chēng)浮屠，本題說(shuō)它一共有7層，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的2倍，共有381盞燈，問(wèn)塔頂有幾盞燈？（）A．5B．6C．47.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A.0.8B.0.75C.0.68.設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x∈[0，1]，,\f(1,x)，x∈1，e]))(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則eq\i\in(0,e,)f(x)dx的值為()A.eq\f(4,3)B．2CD.eqD.eq\f(2,3)9、下列命題是真命題的是A.充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A．16 B．14 C．12 D．10第II卷（選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分.15.某班有50名學(xué)生，一次考試后數(shù)學(xué)成績(jī)?chǔ)?ξ∈N)服從正態(tài)分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)為_(kāi)_______．三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且asinB＝－bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3))).(1)求A；(2)若△ABC的面積S＝eq\f(\r(3),4)c2，求sinC的值．19.（本小題滿(mǎn)分12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C：y＝eq\f(x2,4)與直線(xiàn)l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N兩點(diǎn)．(1)當(dāng)k＝0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線(xiàn)方程；(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM＝∠OPN？說(shuō)明理由．20．（本小題滿(mǎn)分12分）為研究家用轎車(chē)在高速公路上的車(chē)速情況，交通部門(mén)隨機(jī)選取100名家用轎車(chē)駕駛員進(jìn)行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時(shí)的平均車(chē)速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車(chē)速超過(guò)100km/h的有40人，不超過(guò)100km/h的有15人；在45名女性駕駛員中，平均車(chē)速超過(guò)100km/h(1)完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷有多大的把握認(rèn)為“平均車(chē)速超過(guò)100km/h與性別有關(guān)”？平均車(chē)速超過(guò)100km/h平均車(chē)速不超過(guò)100km/h總計(jì)男性駕駛員女性駕駛員總計(jì)附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0100.0050.001k02.0722.7063.8416.6357.87910.828(2)在被調(diào)查的駕駛員中，從平均車(chē)速不超過(guò)100km/h的人中隨機(jī)抽取2人，求這2人恰好是1名男性駕駛員和1名女性駕駛員的概率；(3)以上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體，從高速公路上行駛的家用轎車(chē)中隨機(jī)抽取3輛，記這3輛車(chē)平均車(chē)速超過(guò)100km/h且為男性駕駛員的車(chē)輛數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)．請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多選，則按所做的第一題計(jì)分.（本題10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程求曲線(xiàn)C和直線(xiàn)l的普通方程；若、、成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值。（本題10分）選修4—5：不等式選講

永年二中高二理科數(shù)學(xué)期末試題答案CCCDDDAABDAA810三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．解：(1)∵asinB＝－bsin，∴由正弦定理得sinAsinB＝－sinBsin，則sinA＝－sin，即sinA＝－sinA－cosA，化簡(jiǎn)得tanA＝－，∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)∵A＝，∴sinA＝，由S＝bcsinA＝bc＝c2，得b＝c，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝7c2，則a＝c，由正弦定理得sinC＝＝18、（Ⅰ）證明：在中，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?………………2分設(shè)，連接，因?yàn)闉榱庑危詾橹悬c(diǎn)在中，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?………4分又因?yàn)椋矫?，所以平面平?………………5分（Ⅱ）解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问蔷匦危謩e為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所以平面，因?yàn)闉榱庑?，所以，得兩兩垂?所以以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為的菱形，，，所以，，，，，.……7分所以，.設(shè)平面的法向量為，令，得.……………9分由平面，得平面的法向量為，則.……………11分所以二面角的大小為.………………12分19.解：(1)由題設(shè)可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a)．又y′＝，故y＝在x＝2處的導(dǎo)數(shù)值為，所以C在點(diǎn)(2，a)處的切線(xiàn)方程為y－a＝(x－2)，即x－y－a＝0.y＝在x＝－2處的導(dǎo)數(shù)值為－，所以C在點(diǎn)(－2，a)處的切線(xiàn)方程為y－a＝－(x＋2)，即x＋y＋a＝0.故所求切線(xiàn)方程為x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.(2)存在符合題意的點(diǎn)．證明如下：設(shè)P(0，b)為符合題意的點(diǎn)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線(xiàn)PM，PN的斜率分別為k1，k2.將y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4從而k1＋k2＝＋＝＝.當(dāng)b＝－a時(shí)，有k1＋k2＝0，則直線(xiàn)PM的傾斜角與直線(xiàn)PN的傾斜角互補(bǔ)，故∠OPM＝∠OPN，所以點(diǎn)P(0，－a)符合題意．20．解：(1)完成的2×2列聯(lián)表如下：K2＝≈8.249>7.879，所以有99.5%的把握認(rèn)為“平均車(chē)速超過(guò)100km/h與性別有關(guān)”．(2)平均車(chē)速不超過(guò)100km/h的駕駛員有40人，從中隨機(jī)抽取2人的方法總數(shù)為C，記“這2人恰好是1名男性駕駛員和1名女性駕駛員”為事件A，則事件A所包含的基本事件數(shù)為CC，所以所求的概率P(A)＝＝＝.(3)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從總體中任取1輛車(chē)，平均車(chē)速超過(guò)100km/h且為男性駕駛員的概率為＝，故X～B.所以P(X＝0)＝C03＝；P(X＝1)＝C2＝；P(X＝2)＝C2＝；P(X＝3)＝C30＝.所以X的分布列為X0123PE(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.21、【解析】：（I）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得令解得 當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：0（0，）（，1）1－0+－4－3所以，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù).當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)閇－4，－3].（本題10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程……………5分……………10分23、解：(Ⅰ)