第3講平面向量（12個(gè)必刷點(diǎn)）【復(fù)習(xí)目錄】一、平面向量的概念二、平面向量的線性運(yùn)算三、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算四、用基底表示向量五、平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示六、平面向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示七、共線向量八、平面向量共線定理的推論九、求平面向量的模十、求平面向量的夾角十一、投影向量十二、平面向量綜合【精選好題】一、平面向量的概念1．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．向量與向量長(zhǎng)度相等 B．單位向量都相等C．的長(zhǎng)度為，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移動(dòng)【答案】B【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念直接判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以和互為相反向量，長(zhǎng)度相等，方向相反，故A選項(xiàng)正確；單位向量長(zhǎng)度都為，但方向不確定，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)零向量的概念，易知C選項(xiàng)正確；向量只與長(zhǎng)度和方向有關(guān)，與位置無(wú)關(guān)，故任一非零向量都可以平行移動(dòng)，故D選項(xiàng)正確；故選：B.2．下列命題中正確的是（

）A．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同B．兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量C．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量，其終點(diǎn)必相同D．若與是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上【答案】A【分析】根據(jù)向量相等與共線的概念即可解決.【詳解】?jī)蓚€(gè)相等的向量方向相同且長(zhǎng)度相等，因此起點(diǎn)相同時(shí)終點(diǎn)必相同，故A正確；兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，可能方向不同，也可能模長(zhǎng)不同，故B錯(cuò)誤；兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量可能方向不同，也可能模長(zhǎng)不同，終點(diǎn)未必相同，故C錯(cuò)誤；與是共線向量，也可能是AB平行于CD，故D錯(cuò)誤.故選：A3．有下列結(jié)論：①表示兩個(gè)相等向量的有向線段，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同；②若，則，不是共線向量；③若，則四邊形是平行四邊形；④若，，則；⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段.其中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由向量的定義、有關(guān)性質(zhì)逐項(xiàng)判定可得答案.【詳解】對(duì)于①，表示兩個(gè)相等向量的有向線段，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，①正確；對(duì)于②，若也有可能，長(zhǎng)度不等，但方向相同或相反，即共線，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，則，不一定相等，所以四邊形不一定是平行四邊形，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若，，則，④正確；對(duì)于⑤，有向線段不是向量，向量可以用有向線段表示，⑤錯(cuò)誤.綜上，錯(cuò)誤的是②③⑤，共3個(gè).故選：B.二、平面向量的線性運(yùn)算4．在平行四邊形ABCD中，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量加減法規(guī)則求解.【詳解】如圖，根據(jù)平面向量的加法規(guī)則有：

；故選：D.5．的運(yùn)算結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相反向量的概念及向量的加法直接求解.【詳解】，故選：D.6．如圖，在平行四邊形中，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算出結(jié)果.【詳解】.故選：D7．在中，點(diǎn)滿足，則（

）A．點(diǎn)在延長(zhǎng)線上 B．不在直線上C．點(diǎn)在延長(zhǎng)線上 D．點(diǎn)在線段上【答案】A【分析】由題意可得到，根據(jù)加法的平行四邊形法則即可求解【詳解】由，知，可知，，三點(diǎn)共線且是中點(diǎn)，所以在延長(zhǎng)線上．故選：A8．（多選）下列各式中結(jié)果一定為零向量的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用向量的加法運(yùn)算，結(jié)合零向量的意義逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【詳解】對(duì)于A，，A是；對(duì)于B，，不一定是零向量，B不是；對(duì)于C，，C是；對(duì)于D，，D是.故選：ACD9．（多選）如圖，在平行四邊形中，下列計(jì)算正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)向量加法運(yùn)算及其幾何意義，相反向量的概念即可判斷各選項(xiàng)的正誤．【詳解】根據(jù)向量加法運(yùn)算及其幾何意義，相反向量的概念，，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；，故D正確．故選：BCD．三、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算10．已知菱形的邊長(zhǎng)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接根據(jù)向量數(shù)量積的公式計(jì)算即可.【詳解】.故選：A11．已知非零向量，的夾角為，，，則______．【答案】9【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求得答案.【詳解】由及，夾角為可知，又，解得，則，故，故答案為：912．如圖，是半徑為3的圓的兩條直徑，，則__________．

【答案】【分析】根據(jù)平面向量的加減法、數(shù)乘運(yùn)算，以及數(shù)量積的運(yùn)算律求解.【詳解】由題意可得，，,,故答案為:.13．如圖，是邊長(zhǎng)為1的正六邊形的中心，A，B，C是三個(gè)頂點(diǎn)，則___________.

【答案】【分析】直接應(yīng)用數(shù)量積公求解.【詳解】因?yàn)?，由正六邊形的性質(zhì)知，，即，易知與的夾角為，所以.故答案為：四、用基底表示向量14．在平行四邊形中，M為的中點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的線性運(yùn)算的幾何意義進(jìn)行分解即可.【詳解】

.故選：A.15．已知，點(diǎn)D滿足，若，則_________．【答案】【分析】由平面向量基本定理結(jié)合可得，即可求出的值.【詳解】由，得，所以，即，所以，所以，，故．故答案為：.16．如圖，在中，，點(diǎn)是線段上一點(diǎn).(1)若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試用和表示向量；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則求解；（2）根據(jù)向量線性運(yùn)算利用表示，結(jié)合平面向量基本定理列方程求的值.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且，所以.所以；（2）設(shè)，則，又，所以，因?yàn)椋?，所?五、平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示17．設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)及即可求解.【詳解】，所以.故選：A.18．已知，，則等于（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，則．故選：D．19．已知，，．（1）求的坐標(biāo)；（2）求滿足條件的實(shí)數(shù)，．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求的坐標(biāo).（2）由已知線性關(guān)系，結(jié)合坐標(biāo)表示得到，解方程組即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，，，，則,,,,，（2）根據(jù)題意，若，即,,,，則有，解可得，故.六、平面向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示20．設(shè)向量，，則________.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所?故答案為：21．已知向量，，（），則（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積坐標(biāo)表示，即可求得答案.【詳解】由題意向量，，可得，故，故選：B22．直角三角形中，，，若點(diǎn)滿足，則（

）A． B． C． D．0【答案】B【分析】以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)，求得，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】如圖所示，以為原點(diǎn)，以和所在的直線分別為軸、軸，建立平面直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，因?yàn)?，可得，解得，即，則，所以.故選：B.七、共線向量23．下列命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則與可能共線 D．若，則一定不與共線【答案】C【解析】利用共線向量、模的計(jì)算公式，即可得出.【詳解】因?yàn)橄蛄考扔写笮∮钟蟹较?，所以只有方向相?大小(長(zhǎng)度)相等的兩個(gè)向量才相等，因此A錯(cuò)誤；兩個(gè)向量不相等，但它們的?？梢韵嗟?，故B錯(cuò)誤；無(wú)論兩個(gè)向量的模是否相等，這兩個(gè)向量都可能共線，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C24．（多選）下列說法中，正確的有（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則三點(diǎn)共線【答案】BD【分析】結(jié)合平面向量共線定理逐一判斷選項(xiàng)可得結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)中也成立，故錯(cuò)誤；B選項(xiàng)中當(dāng)時(shí)，，與任一向量平行，當(dāng)時(shí)，，故正確；C選項(xiàng)中時(shí)不平行，故錯(cuò)誤；D選項(xiàng)依據(jù)共線定理可知正確.故選：BD．25．已知，若，則k=（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示，列方程求解，即得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：C．26．已知向量，，若與平行，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】先求與的坐標(biāo)，然后由向量平行的坐標(biāo)表示可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，又與平行，所以，解得.故選：D27．已知、、三點(diǎn)共線，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出、，可知，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)椤?、，則，，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，則，所以，即．故選：C.28．已知向量，，若與方向相反，則______．【答案】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，列方程即可求得答案.【詳解】由，共線，則，得，即，又與方向相反，故，故答案為：29．已知向量，，，若點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)_________．【答案】【分析】根據(jù)向量共線定理可知，根據(jù)向量坐標(biāo)計(jì)算即可.【詳解】，，因?yàn)辄c(diǎn)，，三點(diǎn)共線，所以，解得.故答案為：.30．已知，．(1)若，，且A、B、C三點(diǎn)共線，求m的值．(2)當(dāng)k為何值時(shí)，與共線．【答案】(1)；(2)【分析】（1）計(jì)算出，，利用三點(diǎn)共線得到方程，求出m的值；（2）計(jì)算出，，利用共線方程，求出答案.【詳解】（1），，∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴，即．（2）∵，，∴，，又與共線，∴，即.八、平面向量共線定理的推論31．在中，是邊上一點(diǎn)，且是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量基本定理用表示，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，利用系數(shù)和為1求解結(jié)果.【詳解】由，得出，由得，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得.故選：D.32．如圖所示，在中，，P是BN上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，可得，再利用共線向量的推論列式計(jì)算作答.【詳解】在中，，即，又，因此，而點(diǎn)B，P，N共線，于是，解得，所以實(shí)數(shù)m的值為.故選：C33．如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作一條直線與邊分別相交于點(diǎn)，若，則__________．【答案】【分析】利用線性運(yùn)算得到，然后根據(jù)三點(diǎn)共線得到，最后解不等式即可.【詳解】，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得.故答案為：.九、求平面向量的模34．已知向量滿足，則（

）A．2 B． C．8 D．【答案】B【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和模的運(yùn)算法則可得，由此根據(jù)已知條件可求得答案.【詳解】∵,又∵∴，∴，∴，故選：B.35．向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知條件可得，化簡(jiǎn)后結(jié)合已知條件求出，【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，故選：D36．已知向量，，，則___________.【答案】【分析】由向量線性關(guān)系坐標(biāo)表示得，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)，進(jìn)而應(yīng)用坐標(biāo)公式求模.【詳解】由，又，所以，可得.所以，故故答案為：37．設(shè)向量滿足，則________．【答案】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式計(jì)算，得到答案.【詳解】，故.故答案為：.38．設(shè)為單位向量，且，則______________.【答案】【分析】整理已知可得：，再利用為單位向量即可求得，對(duì)變形可得：，問題得解.【詳解】因?yàn)闉閱挝幌蛄?，所以，所以解得：所以故答案為?9．若平面向量與的夾角為，，，則____．【答案】【分析】直接化簡(jiǎn)得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】，化簡(jiǎn)，解得或（舍去）.故答案為：.40．已知向量，且，則___________.【答案】【分析】利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又，所以，解得，所以，?故答案為：.41．已知向量，若，則__________.【答案】【分析】由得，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得的值，進(jìn)而求得.【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，此時(shí)，則.故答案為:.十、求平面向量的夾角42．已知向量，滿足，，則向量，的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由兩邊平方求得，再根據(jù)兩個(gè)向量夾角的余弦公式求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以．故選：A.43．已知，，，則與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知求得，平方可得，繼而求出，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】由可得，則，即得，故，則，故，由于，故，故選：C.44．已知向量，．則________；________．【答案】5【分析】直接根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)化運(yùn)算以及向量夾角公式即可得到答案.【詳解】，，，.故答案為：5；.45．已知向量，滿足，，則________.【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，進(jìn)而可求結(jié)果.【詳解】由題意可得，兩式相加可得，即，可得，所以.故答案為：.46．已知向量，，為向量與的夾角，則______.【答案】【分析】利用平面向量的夾角公式求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且與的夾角，所以.故答案為：.47．若單位向量，滿足，則向量，夾角的余弦值為____________．【答案】【分析】利用性質(zhì)，將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求解即可.【詳解】設(shè)向量，的夾角為，因?yàn)?，所以．又，所以，所以．故答案為?8．若，，，則與的夾角大小為______．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義結(jié)合已知計(jì)算即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，又因，所以與的夾角為.故答案為：.十一、投影向量49．若向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B．（，）C．（，） D．（4，2）【答案】B【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積及向量在向量上的投影向量計(jì)算即可.【詳解】向量在向量上的投影向量為，故選：B50．已知向量，，則在上的投影向量的模為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】求出在上的投影向量的坐標(biāo)，從而求出投影向量的模．【詳解】∵，，∴，，∴在上的投影向量為，則在上的投影向量的模為．故選：C．51．已知向量，滿足，，則在上的投影向量______.【答案】【分析】根據(jù)在上的投影向量即可求解.【詳解】設(shè)與的夾角為，在上的投影向量.故答案為：.52．已知向量和的夾角為150°，且，，則在上的投影為___________.【答案】或【分析】對(duì)兩邊平方化簡(jiǎn)，求出，再利用數(shù)量積的幾何意義可求得結(jié)果【詳解】由，得，因?yàn)橄蛄亢偷膴A角為150°，且，所以，得，，所以或，當(dāng)時(shí)，在上的投影為，當(dāng)時(shí)，在上的投影為，綜上，在上的投影為或，故答案為：或53．已知向量，，，__________；在上的投影向量的坐標(biāo)為__________．【答案】/；.【分析】由條件結(jié)合向量的模的坐標(biāo)表示求，根據(jù)向量的模與數(shù)量積的關(guān)系由條件求，再由投影向量的定義求在上的投影向量的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)椋?，由可得，所以，即所以，所以在上的投影向量為．故在上的投影向量的坐?biāo)為.故答案為：；.十二、平面向量綜合54．（多選）已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的坐標(biāo)為B．，其中C．線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為D．【答案】ABD【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示以及向量模長(zhǎng)計(jì)算公式判斷每個(gè)選項(xiàng).【詳解】由向量的坐標(biāo)表示可得，A正確；，，所以，B正確；的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，D正確.故選：ABD55．若，且與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是__________．【答案】【分析】由已知得且不共線，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，，且與的夾角為鈍角，所以且不共線，則，解得且，即.故答案為：.56．已知向量，且.(1)求向量，的夾角