2026屆高三數(shù)學(xué)測(cè)試題（三）姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，每題四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求1．已知集合，，則（）A．B．C．D．2．復(fù)數(shù)的實(shí)部為（）A． B． C． D．3．已知向量，則（）A． B． C． D．4．若，則（）A． B． C． D．5．一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，側(cè)棱，底面邊上的高為.當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)水面高度為（如圖①）.當(dāng)側(cè)面水平放置時(shí)（如圖②），水面高度為（）A． B． C． D．6．已知展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，則等于（）C． D． C． D．7．函數(shù)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．8．隨機(jī)變是服從正態(tài)分布，令函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．是增函數(shù)C．是偶函數(shù) D．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱二、多選題：本題共3小題，每題6分，共18分，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)部分得分，有選錯(cuò)得0分9．下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)的第百分位數(shù)為B．一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對(duì)稱，且右邊“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)C．已知隨機(jī)變量，若，則D．運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為，則在次射擊中，最有可能擊中的次數(shù)是次10．已知函數(shù)，則（）A．的極小值為B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．存在使得關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根D．的解集為11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．C．D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12．若等比數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的公比.13．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則．14．已知，分別為雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)（其中在第一象限），的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，若，則直線的斜率為.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，且．(1)求的值；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng)．16．在一個(gè)不透明的盒子中裝有除顏色外其余完全相同的若干個(gè)小球，其中有個(gè)白球，個(gè)黑球，個(gè)黑白相間的球，且從盒子中隨機(jī)摸出個(gè)球，摸到黑白相間的球的概率為．(1)從盒子中隨機(jī)摸出個(gè)球，求在摸出的球上帶有黑色的條件下，摸出黑白相間的球的概率；(2)從盒子中次隨機(jī)取出個(gè)球，取出后不放回，共取次，設(shè)取出的黑球數(shù)量為，求的分布列與期望．17．如圖，在直四棱柱中，，，，，分別為的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求證：平面平面；(3)若，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.18．已知雙曲線的漸近線方程為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在上.(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，問直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由；(3)將圓心在軸上，且與的兩支各恰有一個(gè)公共點(diǎn)的圓稱為“子圓”，若兩個(gè)“子圓”外切于點(diǎn)，圓心距為，求.19．已知函數(shù)，．(1)若在處取得極值，討論的單調(diào)性；(2)設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線為，證明：除點(diǎn)外，曲線段總在的下方；(3)設(shè)，證明：．2026屆高三數(shù)學(xué)測(cè)試題參考答案（三）一、單選題1．【解析】B或，，故選：B2．【解析】A由題意可得，故的實(shí)部為，故選：A3．【解析】D，，所以，，所以，故選：D4．【解析】A，，故選：A5．【解析】D設(shè)底面的面積為，當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)水面高度為16，所以水的體積為，設(shè)側(cè)面水平放置時(shí)，水呈四棱柱體，設(shè)四棱柱體的底面梯形的面積為，則水的體積為，所以，所以，設(shè)四棱柱體的底面梯形的高為，則可得，解得，故選：D6．【解析】B對(duì)于可知：，可知展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，即，解得或（舍去），且，所以，故選：B7．【詳解】A通過五點(diǎn)法作出周期函數(shù)的圖象，再通過兩點(diǎn)法作出單調(diào)函數(shù)的圖象，因?yàn)?，所以通過圖象可判斷它們有個(gè)交點(diǎn)，故選：A8．【解析】D對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A不正確；對(duì)于B，，當(dāng)增大時(shí)，減少，所以在上是減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則，因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，所以關(guān)于對(duì)稱，所以，則，故D正確，故選：D二、多選題9．【解析】BCD對(duì)A選項(xiàng)：把數(shù)據(jù)按從小到大順序排列：1，2，4，5，7，11，16，21，因?yàn)椋栽摻M數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第6，7兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，為：，故A錯(cuò).對(duì)B選項(xiàng)：根據(jù)頻率分布直方圖可知，若頻率分布直方圖單峰不對(duì)稱在右邊“拖尾”，則平均數(shù)變大，中位數(shù)變小，故平均數(shù)大于中位數(shù)，B對(duì)；對(duì)C選項(xiàng)：因?yàn)?，且，所以，所以，故C正確；對(duì)D選項(xiàng)：設(shè)射擊命中的次數(shù)為，則，所以，所以最有可能擊中的次數(shù)是9次，D對(duì)，故選：BCD10．【解析】AC函數(shù)的定義域?yàn)?，，由得或；由得，有極大值，極小值，A正確；由極大值和極小值均小于0知最多一個(gè)零點(diǎn)，B不正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的實(shí)根，C正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，D不正確，故選：AC11．【解析】ACDA選項(xiàng)，，其中，所以是公比為2的等比數(shù)列，A正確；C選項(xiàng)，由A知，，所以，C正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然滿足，故，B錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，故，即為公比為的等比數(shù)列，且，故選：ACD三、填空題12．【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列滿足：，，則，解得，故答案為：.13．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故，所以，所以，所以，，所以，故答案為：.14．【解析】設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，的內(nèi)切圓的圓心為，記邊上的切點(diǎn)分別為，由切線的性質(zhì)可得：，由雙曲線定義可得：，即，則，又.則，又，則，即.同理可得，的內(nèi)切圓也與軸相切于點(diǎn).連接，則與軸垂直，設(shè)圓與相切于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，記垂足為，則.設(shè)直線傾斜角為，則.在四邊形中，注意到，又四邊形內(nèi)角和為，則，在中，，，則，則直線斜率，即，故答案為：.四、解答題15．【解析】（1）在中，，由正弦定理得.（2）由及正弦定理，得，即，則，即，而，則，又，即，解得，，，由的面積為，得，則，又，解得，又，則，解得，所以的周長(zhǎng)為.16．【解析】（1）由從盒子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸到黑白相間的球的概率為，得，解得，盒子中帶有黑色的球有6個(gè)，其中黑白相間的球有2個(gè)，所以在摸出的球上帶有黑色的條件下，摸出黑白相間的球的概率.（2）依題意，的可能值為，則，所以的分布列為：012數(shù)學(xué)期望.17．【解析】（1），，所以又，，又，，，.（2）在直四棱柱中，平面，又平面，所以，，，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，.，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，令，得，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取.，又平面與平面不重合，平面平面.（3）當(dāng)時(shí)，為平面的一個(gè)法向量，，則，設(shè)，，，設(shè)直線與平面所成角為，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.18．【解析】（1）設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入得，即，雙曲線的方程為（2）當(dāng)直線DG的斜率不為零時(shí)，設(shè)直線DG的方程為，，，.由消去整理得，依題意得：，且，即且，，.易知，直線EG的斜率存在，設(shè)直線EG的方程為.令，得.直線EG過定點(diǎn).當(dāng)直線DG的斜率為0時(shí)，直線EG的方程為，過點(diǎn)，綜上，直線EG過定點(diǎn).（3）考慮以為圓心的“子圓”，由的方程與的方程消去，得關(guān)于的二次方程.依題意，該方程的判別式，.對(duì)于外切于點(diǎn)的兩個(gè)“子圓”，，顯然點(diǎn)在軸上，設(shè)，，的半徑分別為，，不妨設(shè)，的圓心分別為，.則，.兩式相減得：，而，.，整理得：.，點(diǎn).，故.19．【解析】（1），，，由在處取得極值，得，解得.當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，且.則當(dāng)時(shí)，，即，故在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，故在單調(diào)遞減；故在處取到極大值，滿足題意.在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減.（2），，，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，.故切線方程為，即；構(gòu)造函數(shù)，，即，其中，則，設(shè)，其中，則，令，得