第頁高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第一章題型歸納題型1空間向量的線性運(yùn)算題型1空間向量的線性運(yùn)算1．求a+2b?3A．2a+32b?2cB．【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算以及加減運(yùn)算的性質(zhì)，求解即可得出答案.【解答過程】原式=a+3×22．空間四邊形ABCD，連接AC，BD．M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，則AB+12BC+

A．ADB．GAC．AGD．MG【解題思路】利用數(shù)形結(jié)合思想和空間向量加法法則化簡即可．【解答過程】∵M(jìn)，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，∴12BC=∴AB+13．化簡下列算式：(1)32a?b?4【解題思路】（1）根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算即可求得答案；（2）根據(jù)向量的線性運(yùn)算，即可求得答案.【解答過程】（1）32（2）OA?題型2題型2空間向量數(shù)量積的計算1．如圖，在四面體ABCD中，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=45°，AD=2，AB=AC=3.則BC?BD=

A．32B．52C．92【解題思路】根據(jù)圖形，轉(zhuǎn)化向量，利用向量數(shù)量積公式，即可求解.【解答過程】BC==3×2×22．如圖，在底面為矩形的四棱錐E-ABCD中，AE⊥底面ABCD，AE=AB，G為棱BE的中點(diǎn).(1)證明：AG⊥平面BCE.(2)若AB=4，AD=6，ED=3EF，求【解題思路】（1）根據(jù)已知，利用線面垂直的判定定理可得BC⊥平面ABE，從而得到BC⊥AG，利用等腰三角形的中線性質(zhì)得到AG⊥BE，然后利用線面垂直的判定定理證明AG⊥平面BCE；（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.求出AG,【解答過程】（1）證明：因?yàn)锳E⊥底面ABCD，所以AE⊥BC，又AB⊥BC，AB∩AE=A，AB,AE?平面ABE，所以BC⊥平面ABE，則BC⊥AG.因?yàn)镚為棱BE的中點(diǎn)，AE=AB，所以AG⊥BE，又BC∩BE=B，BC,BE?平面BCE.所以AG⊥平面BCE.（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.依題意可得A0,0,0，C4,6,0，G2,0,2因?yàn)锳G=2,0,2，CF=題型3題型3用空間基底表示向量1．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.已知四棱錐P?ABCD是陽馬，PA⊥平面ABCD，且PE=3EC，若AB=a,AD

A．38a+38b?34【解題思路】結(jié)合已知條件，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則求解即可.【解答過程】因?yàn)镻E=3EC，所以因?yàn)锳C=AB+AD=所以DE=2．如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，P為ADA．12a+b+12c【解題思路】根據(jù)空間向量的加法，減法，數(shù)乘向量運(yùn)算的定義求解即可.【解答過程】CP=故選：C.3．如圖所示，在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，AB=a，AD=b，AA′=

(1)AP；(2)AM；(3)AN.【解題思路】（1）（2）（3）連接AC，AD′，AC′，根據(jù)在平行六面體中各向量對應(yīng)線段與AB，AD，AA′對應(yīng)線段位置關(guān)系，用【解答過程】（1）連接AC，AD′，

AP=（2）AM=（3）AN=題型4題型4由空間向量基本定理求參數(shù)1．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分別是BB1和A1C1A．?1,12,12B．?1,1【解題思路】根據(jù)題意用空間基底向量表示向量，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算求解.【解答過程】由題意可得：MN=故x=?1,y=12．已知矩形ABCD,P為平面ABCD外一點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)M,N滿足PM=12PC，PN=23A．?1B．1C．?12【解題思路】根據(jù)題意，由平面向量基本定理結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【解答過程】

因?yàn)镻M=12PC=2因?yàn)镸N=xAB+yAD+zAP，所以x=?123．如圖所示，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在(1)求證：A，E，C1，F(xiàn)(2)若EF=xAB+y【解題思路】（1）根據(jù)空間向量基本定理即可證明；（2）把AB,【解答過程】（1）證明：∵=AB+13AA1+AD（2）∵EF∴x=?1，y=1，z=題型5題型5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示1．已知空間向量a=2,?1,2,b=A．4,?2,4B．2,?1,2C．3,0,3D．1,?2,1【解題思路】利用空間向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算法則得到答案.【解答過程】2a?2．若點(diǎn)A1,2,3，點(diǎn)B4,?1,0，且AC=2CB，則點(diǎn)A．3,0,1B．2,1,2C．32,?3【解題思路】設(shè)Cx,y,z，根據(jù)AC【解答過程】設(shè)Cx,y,z，則AC因?yàn)锳C=2CB，所以x?1=24?xy?2=2?1?yz?3=2?z3．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD?A′B′C′D(1)向量AC′，BD(2)AC′+2【解題思路】（1）先寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的坐標(biāo)；（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算加法和減法即可.【解答過程】（1）由已知A0,0,0則AC′=1,2,3（2）ACAC題型6題型6空間向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示1．若a=2,3,2,b=A．?1B．0C．1D．2【解題思路】直接利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得.【解答過程】因?yàn)閍=2,3,2,b2．已知向量a=(1,1,x)，b=(?2,2,3)，若(2a?bA．?3B．3C．?1D．6【解題思路】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得2a【解答過程】由題意知，2a?b=(4,0,2x?3)由解得x=3.故選：B.3．已知向量a，b，c滿足2a+b=0,?5,10，c【解題思路】將b=0,?5,10?2【解答過程】由已知b?4．已知向量a→=4,2,?4，b(1)2a→?3b→；(2)a【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)的線性運(yùn)算即可求解，（2）（3）根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解，【解答過程】（1）由a→=4,2,?4得2a（2）a→（3）a?題型7題型7利用空間向量證明線、面間的平行關(guān)系1．如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=2AA1，當(dāng)A．1B．2C．3D．5【解題思路】根據(jù)題意可知，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用共線定理和線面平行的向量解法可確定實(shí)數(shù)【解答過程】如下圖所示：以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系；設(shè)則A1(0,0,1),B(2,0,0),C(2,2,0),即A1C=(2,2,?1)，A1即x=2λ,y=2設(shè)平面BDC1的一個法向量為m=(所以m·BC1=2y1+z1=0m·BD=?2x1+22．在正方體ABCD?A1B1C1D1中，若

求證：(1)BO1//D1O2；(2)BO1【解題思路】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1的方向分別為x軸、y軸、（2）求出平面ACD1的法向量n，及直線的方向向量BO1，從而得到（3）可以利用A1C1//平面ACD【解答過程】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1的方向分別為

依題意知：B(1,1,0)，O1(12,∴BO1=(?12,?12,1)（2）設(shè)平面ACD1的法向量為n=(x,y,z)∵A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1=(0,0,1)，∴AC=(?1,1,0)由n?AC=0n?AD1=0可得，?x+y=0又BO1=(?12又BO1?平面ACD1（3）證法一

∵A1(1,0,1),C1(0,1,1)∴A1C1又AC?平面ACD1，A1C1?平面又由（2）知BO1//平面AC且A1C1?平面BA1C1，證法二

設(shè)平面BA1則u?A1C1=0u?BO1由（2）知平面ACD1的一個法向量n=(1,1,1)，∴n=u∴平面ACD1//題型8題型8利用空間向量證明線、面間的垂直關(guān)系1．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D①平面EFC1⊥平面AA1C1

②MP⊥AA．①②B．①②④C．②③④D．①④【解題思路】對于①，根據(jù)題意得A1C1⊥B1D1，B1D1//BD，AA1⊥平面ABCD，得A1C1⊥BD,AA1【解答過程】由題知，在正方體ABCD?A1B1C如圖，連接A1C1,B1D1,AC1因?yàn)锳1C1∩AA1=因?yàn)樵凇鰾CD中，E,F分別為CD,BC中點(diǎn)，所以EF//BD，所以EF⊥平面AA因?yàn)镋F?平面EFC1所以平面EFC由題知，D1A1⊥D1C1⊥因?yàn)镋,F,M分別為所在棱的中點(diǎn)，P為下底面的中心，所以M(2,0,1),P(1,1,0),A所以MP=(?1,1,?1),因?yàn)镸P·所以MP⊥A1D又由①中得，B1D1//BD，因?yàn)镋F?平面AD1B1，B1D1?2．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，已知AB=2，PA=2．

(1)求證：AE⊥PD；(2)求證：平面PBD⊥平面PAC．【解題思路】（1）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明AE⊥PD．（2）運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)定理可證得PA⊥BD，進(jìn)而運(yùn)用線面垂直的判定定理可證得BD⊥平面PAC，進(jìn)而可證得面面垂直.【解答過程】（1）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(1,1,1)，所以AE=(1,1,1)，PD所以AE?PD=2?2=0（2）連接BD，AC，如圖所示，

因?yàn)镻A⊥面ABCD，BD?面ABCD，所以PA⊥BD，又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BD⊥AC，又因?yàn)锳C∩AP=A，AC、AP?面PAC，所以BD⊥面PAC，又因?yàn)锽D?面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．第一章《空間向量與立體幾何》綜合檢測卷（基礎(chǔ)卷）1．已知正四面體的棱長為1，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量減法的三角形法則和向量的數(shù)量積的定義和正四面體的定義即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?根據(jù)向量的減法法則，得，所以.故選：C.2．已知空間向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．且 B．且C．且 D．以上都不對【答案】C【分析】根據(jù)空間向量垂直平行的性質(zhì)判斷即可【詳解】由題，因?yàn)?，故，又，故故選：C3．已知正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)該正面體的棱長為，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，所以，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，所以有，，根據(jù)異面直線所成角的定義可知直線BN與直線DM所成角的余弦值為，故選：B4．如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)，分別在，上，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則用，，表示出，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計算可得.【詳解】解：，，．又，，，所以，，，所以，所以.故選：A．5．如圖所示，在正方體中，是底面正方形的中心，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則直線，的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交 C．異面垂直 D．異面不垂直【答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，再計算可得即可得直線，異面垂直.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為2，則，，，.∴，，∴，∴直線，異面垂直.故選：C6．已知是直線l的方向向量，是平面a的法向量．若，則_________．【答案】【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合法向量的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得再求解即可【詳解】∵，∴，∴，故，解得，∴．故答案為：7．已知是平面的一個法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為_________.【答案】【分析】利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離即可.【詳解】由題可得，又是平面的一個法向量，∴則點(diǎn)P到平面的距離為.故答案為：.8．設(shè)，，且.記.(1)求與y軸正方向的夾角的余弦值；(2)若，，，向量與、都垂直，且，求的坐標(biāo).【答案】(1)；(2)或【分析】（1）由向量的夾角公式計算即可.（2）由向量的模長公式以及數(shù)量積公式直接計算即可得到答案.【詳解】(1)y軸正方向的單位向量，，.(2)若，，，，，即，設(shè).由已知得解得或即或.9．如圖，在直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)，已知，．(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的正弦值；(3)求到平面的距離．【分析】（1）連接，，連接，即可得到，從而得證；（2）（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得；【詳解】(1)證明：連接，，連接，在直三棱柱中為矩形，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，平面，平面．平面．(2)解：，，，，．由直三棱柱中，底面，底面，，．以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則