重慶市渝北中學(xué)校學(xué)年高二上學(xué)期階段一質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（全卷共四大題小題，總分分，考試時(shí)長分鐘）注意事項(xiàng)：答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、班級(jí)等填寫在答題卡規(guī)定的位置上.答選擇題時(shí)，必須使用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.答非選擇題時(shí)，必須使用毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共85分每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.直線的一個(gè)方向向量是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出該直線的斜率，即可得出該直線的一個(gè)方向向量.【詳解】直線方程可化為，該直線的斜率為，故直線的一個(gè)方向向量是，故選：A.2.已知兩條直線平行，則（）A.3B.C.或3D.或2【答案】B【解析】【分析】利用兩直線平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，解之即可.【詳解】由已知可得，解得.故選：B.3.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則它的離心率為（）第1頁/共18頁A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，得出，再結(jié)合離心率公式，即可得出答案.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，其漸近線為點(diǎn)在漸近線上，所以，所以離心率為故選：D.4.若實(shí)數(shù)滿足，則雙曲線與的（）A.實(shí)軸長相等B.虛軸長相等C.焦距相等D.離心率相等【答案】C【解析】【分析】由題意根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦距，實(shí)軸長與虛軸長的關(guān)系后可判斷．【詳解】由，得，所以兩雙曲線的焦點(diǎn)均在軸上，因?yàn)?，所以兩雙曲線的焦距相等，故C正確，而實(shí)軸長前者為8，后者為，虛軸長前者為，后者為6，均無法相等，離心率前者為，后者為，也不相等，故ABD錯(cuò)誤，故選：C．5.在手工課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個(gè)近似北京鳥巢體育場(chǎng)的金屬模型，其俯視圖可近似看成是40cm20cm8cm，則小橢圓的長軸長為（）第2頁/共18頁A.20cmB.16cmC.12cmD.10cm【答案】B【解析】【分析】由題意得到兩橢圓離心率相同，從而得到兩橢圓長軸長與短軸長的比例相同，由此得解.【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)橢圓的扁平程度相同，所以兩個(gè)橢圓的離心率相同，所以兩橢圓長軸長與短軸長的比例相同，則，即，得，所以小橢圓的長軸長為：．故選：B．6.已知雙曲線的離心率為截得的線段長為，則實(shí)數(shù)的值為（）A.3B.1C.D.2【答案】C【解析】【分析】由離心率為得，求得漸近線方程，再求得圓心到直線的距離，由弦長公式，解方程即可得所求值．【詳解】由題意得，所以，雙曲線漸近線方程為，圓的圓心為半徑，所以圓心到直線的距離為，第3頁/共18頁故選：C．7.已知直線是圓的對(duì)稱軸，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則（）A.B.C.5D.【答案】B【解析】及半徑經(jīng)過圓心圓的切線長公式即得.【詳解】由題可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，可知圓心的坐標(biāo)，半徑為，因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以直線經(jīng)過圓心，則，解得，故，由于過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，.故選：B.8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過且與軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】由可得出，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的第4頁/共18頁坐標(biāo)，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求得該橢圓的離心率的值.【詳解】由，可得，故，且，不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，將代入橢圓方程得，解得，即點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，由得，即，解得，即點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程得，因?yàn)?，故有，解?故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共46分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線，則下列說法正確的是（）A直線恒過定點(diǎn)B.若直線與直線垂直，則C.若直線在軸上的截距為1，則D.若，則直線的傾斜角的取值范圍為【答案】AC【解析】第5頁/共18頁【分析】考查直線過定點(diǎn)和直線方程，根據(jù)選項(xiàng)依次求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以直線恒過定點(diǎn)，選項(xiàng)A正確；若直線與直線垂直，則解得，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；直線在軸上的截距為1，則，解得，選項(xiàng)C正確；若，則，必有，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC10.已知圓C：，下列說法正確的是（）A.的取值范圍是B.若，圓與圓相交C.若，過的直線與圓相交所得弦長為，方程為D.若，直線恒過圓的圓心，則恒成立【答案】ABD【解析】公式，基本不等式求解即可.【詳解】方程表示圓則，，解得，選項(xiàng)A正確；若，則圓C：，圓心為，半徑為，圓大于兩半徑差的絕對(duì)值1，小于兩半徑之和3，則兩圓相交，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)直線為時(shí)，直線過點(diǎn)且與圓相交所得弦長為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；將代入，得到，即，所以，當(dāng)，即取等號(hào)，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD第6頁/共18頁則下列說法正確的是（）A.的周長為B.面積的最大值為C.的取值范圍為D.的取值范圍為【答案】BCD【解析】A為短軸頂點(diǎn)時(shí)，可判斷B選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算并結(jié)合橢圓的范圍可判斷C選項(xiàng)；求得，利用橢圓的定義結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】由可得，，，.對(duì)于A選項(xiàng)，的周長為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，，則，所以當(dāng)點(diǎn)為短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，最大面積為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，，、，則，，則.第7頁/共18頁又，所以，所以的取值范圍為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由可得，，由C知，，所以，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)或時(shí)，的值為，但是且，所以的取值范圍為，D對(duì).故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共分.12.若雙曲線的離心率為2，虛軸長為6，則該雙曲線的實(shí)軸長為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線基本量的關(guān)系求解即可.【詳解】依題意可得，解得，則所以該雙曲線的實(shí)軸長為．故答案為：.13.已知點(diǎn)，圓，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，則第8頁/共18頁的最小值為__________.【答案】8【解析】關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)與圓相交于點(diǎn)x軸相交于點(diǎn)點(diǎn)之間線段最短的原則，知點(diǎn)與點(diǎn)的位置重合時(shí)，最小.【詳解】將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心，半徑，如下圖所示：作點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與圓相交于點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)，則，又，所以最小值為8.故答案為：8.14.已知橢圓和圓，過橢圓C上一點(diǎn)P引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則橢圓C的離心率的取值范圍是__________．【答案】【解析】到點(diǎn)據(jù)已知條件列不等式得出的范圍，最后利用離心率公式求出離心率的取值范圍．第9頁/共18頁【詳解】為圓的切線，，，，，，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，若存在滿足條件，則，即，，，，又，．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的頂點(diǎn)邊上的高BD所在直線方程為邊上的中線BE所在直線方程為.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)及BC邊所在直線方程.【答案】（1）（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，所在直線方程為【解析】1）解直線BD與直線BE的方程組成的方程組，即可得點(diǎn)B的坐標(biāo).第10頁/共18頁（2）求出直線AC的方程，與直線BE的方程聯(lián)立求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出BC邊所在直線方程.【小問1詳解】依題意，點(diǎn)B是直線BD與直線BE的交點(diǎn)，由解得，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是.【小問2詳解】因?yàn)?，則設(shè)直線AC的方程為，又點(diǎn)，則，解得，直線AC：，由，解得，所以邊AC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得點(diǎn)，直線BC的方程為，即.16.已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦AB長為6，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】（2）分直線斜率存在和不存在兩種情況，利用垂徑定理求出直線方程.【小問1詳解】第11頁/共18頁因?yàn)閳A的圓心在直線上，所以設(shè)圓C的圓心，因?yàn)榕c直線相切于點(diǎn)，所以CP垂直于直線，故有，解得，所以圓心，圓C的半徑為，所以圓C的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為，即，由（1）知，圓C半徑為，而直線l被圓C截得的弦AB長為6.由勾股定理可得，圓心C到直線l的距離為2.所以，解得，此時(shí)直線l的方程為；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，符合題意；故直線l的方程為或.17.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為和，上下頂點(diǎn)分別為和，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】1）依據(jù)條件到直線的距離為，根據(jù)等面積法得到，即可求得橢圓方程；第12頁/共18頁據(jù)弦長公式求出的長度，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)O到直線AB的距離，再根據(jù)面積公式即可求出結(jié)果.【小問1詳解】由題意得，因?yàn)?，即，所?所以橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，由，得，即，所以直線的方程為，即.聯(lián)立得，則，，，∴，又點(diǎn)O到直線AB的距離，第13頁/共18頁∴，即△OAB的面積為.18.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，設(shè)圓半徑為1，圓心在直線上.（1）若圓心也在直線上，①過點(diǎn)作圓的切線，求切線方程；②斜率存在且過點(diǎn)的直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求直線斜率；（2）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】（1）①或,②.（2）.【解析】【分析】(1)①聯(lián)立兩條直線方程求出交點(diǎn)，即為圓心，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為②設(shè)直線方程為質(zhì)即可得到當(dāng)面積最大時(shí)直線斜率。(2)求出點(diǎn)的軌跡方程為：，根據(jù)點(diǎn)也在圓上，所以圓與圓有交點(diǎn)，根據(jù)圓心的距離與半徑的關(guān)系可得.【小問1詳解】①圓心在直線上，在直線上，所以聯(lián)立，第14頁/共18頁所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，的切線方程為，化簡(jiǎn)得，兩邊平方得：，因此，切線方程為：，即.若切線斜率不存在，則，此時(shí)圓心到直線的距離為：，也符合；因此，切線方程為：或.②設(shè)直線方程為，圓心到直線的距離為：，弦長為：，所以面積為：，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，可取得最大值，因此我們有：，兩邊平方得：，即，解得第15頁/共18頁【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，則，兩邊平方得：，即，所以點(diǎn)在圓上，因?yàn)辄c(diǎn)也在圓上，所以圓與圓有交點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為，所以，化簡(jiǎn)得，平方得：，所以，所以圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍為：.19.已知橢圓的方程為，過點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓的右焦點(diǎn)，M，N是橢圓上的兩點(diǎn)且直線MN與曲線相切，證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是.第16頁/共18頁【答案】（1）（2）證明見解析【解析】1）由橢圓過已知點(diǎn)和離心率列方程組，求解即得；（2）必要性：由三點(diǎn)共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；充分性：設(shè)直線，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長公式可得，進(jìn)而可得，即可得解.【小問1詳解】由題意，解得所以橢圓方程為；【小問2詳解