一、知識(shí)鋪墊：二次函數(shù)最值的本質(zhì)與基本求解方法演講人知識(shí)鋪墊：二次函數(shù)最值的本質(zhì)與基本求解方法總結(jié)與升華課堂練習(xí)與反饋（節(jié)選）解題策略總結(jié)：從“會(huì)解題”到“用數(shù)學(xué)”典型例題分類解析：從基礎(chǔ)到綜合的遞進(jìn)目錄2025九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)二次函數(shù)最值問題典型例題解析課件各位同學(xué)、同仁，今天我們圍繞“二次函數(shù)最值問題”展開深入解析。作為九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)的核心內(nèi)容之一，二次函數(shù)的最值不僅是中考的高頻考點(diǎn)，更是后續(xù)學(xué)習(xí)微積分中極值問題的基礎(chǔ)。在多年的教學(xué)實(shí)踐中，我深刻體會(huì)到，這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)需要從“理解本質(zhì)—掌握方法—靈活應(yīng)用”三個(gè)層次遞進(jìn)，才能真正實(shí)現(xiàn)從“解題”到“用數(shù)學(xué)”的跨越。接下來，我將結(jié)合典型例題，帶大家系統(tǒng)梳理這一知識(shí)點(diǎn)。01知識(shí)鋪墊：二次函數(shù)最值的本質(zhì)與基本求解方法知識(shí)鋪墊：二次函數(shù)最值的本質(zhì)與基本求解方法要解決二次函數(shù)的最值問題，首先需要明確其數(shù)學(xué)本質(zhì)。二次函數(shù)的一般形式為(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），其圖像是一條拋物線。當(dāng)(a>0)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最小值；當(dāng)(a<0)時(shí)，開口向下，頂點(diǎn)處取得最大值。因此，二次函數(shù)的最值本質(zhì)上是其圖像頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(x=-\frac{2a})。1無約束條件下的最值求解當(dāng)題目中未對(duì)自變量(x)的取值范圍作限制時(shí)（即(x\in\mathbb{R})），二次函數(shù)的最值可直接通過頂點(diǎn)公式計(jì)算。此時(shí)，最值為(y=\frac{4ac-b^2}{4a})（也可通過將頂點(diǎn)橫坐標(biāo)代入原函數(shù)求得）。例1：求函數(shù)(y=2x^2-4x+5)的最小值。解析：首先判斷開口方向，(a=2>0)，開口向上，故存在最小值。頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(x=-\frac{2a}=-\frac{-4}{2\times2}=1)，代入原函數(shù)得(y=2\times1^2-4\times1+5=3)。因此，函數(shù)的最小值為3，無最大值（因開口向上，(y)可趨向正無窮）。2有區(qū)間限制的最值求解01在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容實(shí)際問題中，自變量(x)往往受限于某個(gè)區(qū)間([m,n])，此時(shí)需結(jié)合拋物線的開口方向及頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是否在區(qū)間內(nèi)，分情況討論：02在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容（1）若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(x_0=-\frac{2a})在區(qū)間([m,n])內(nèi)，則最值可能在頂點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處；03例2：求函數(shù)(y=-x^2+2x+3)在區(qū)間([0,3])上的最大值和最小值。（2）若(x_0)不在區(qū)間內(nèi)，則最值一定在區(qū)間的端點(diǎn)處（開口向上時(shí)取離(x_0)較遠(yuǎn)的端點(diǎn)，開口向下時(shí)取離(x_0)較近的端點(diǎn)）。2有區(qū)間限制的最值求解解析：首先，(a=-1<0)，開口向下，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(x_0=-\frac{2}{2\times(-1)}=1)，顯然(1\in[0,3])。計(jì)算頂點(diǎn)處函數(shù)值：(y(1)=-1+2+3=4)；再計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)：(y(0)=0+0+3=3)，(y(3)=-9+6+3=0)。比較得最大值為4（頂點(diǎn)處），最小值為0（端點(diǎn)(x=3)處）。3實(shí)際問題中的最值建模二次函數(shù)的最值問題更多與實(shí)際情境結(jié)合，如銷售利潤、幾何面積、運(yùn)動(dòng)軌跡等。解決這類問題的關(guān)鍵是建立正確的二次函數(shù)模型，明確自變量的實(shí)際意義（如數(shù)量、時(shí)間等），并根據(jù)實(shí)際情境確定自變量的取值范圍（如數(shù)量為非負(fù)整數(shù)、時(shí)間非負(fù)等）。02典型例題分類解析：從基礎(chǔ)到綜合的遞進(jìn)典型例題分類解析：從基礎(chǔ)到綜合的遞進(jìn)為幫助大家系統(tǒng)掌握，我將典型例題分為三類：基礎(chǔ)型、綜合型、實(shí)際應(yīng)用型，逐步提升難度，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解與應(yīng)用。1基礎(chǔ)型：直接利用頂點(diǎn)公式求解此類題目通常給出二次函數(shù)的表達(dá)式，直接要求求最值，或已知最值求參數(shù)。重點(diǎn)考查對(duì)頂點(diǎn)公式的熟練應(yīng)用。例3：已知二次函數(shù)(y=ax^2+4x+c)的最大值為3，且圖像過點(diǎn)((1,2))，求(a)和(c)的值。解析：因函數(shù)有最大值，故(a<0)。頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為(\frac{4ac-b^2}{4a}=3)，代入(b=4)得(\frac{4ac-16}{4a}=3)，化簡(jiǎn)為(ac-4=3a)，即(ac=3a+4)（①）。又函數(shù)過點(diǎn)((1,2))，代入得(a+4+c=2)，即(a+c=-2)（②）。1基礎(chǔ)型：直接利用頂點(diǎn)公式求解聯(lián)立①②，由②得(c=-2-a)，代入①得(a(-2-a)=3a+4)，即(-2a-a^2=3a+4)，整理為(a^2+5a+4=0)，解得(a=-1)或(a=-4)。當(dāng)(a=-1)時(shí)，(c=-2-(-1)=-1)，驗(yàn)證頂點(diǎn)縱坐標(biāo)：(\frac{4\times(-1)\times(-1)-16}{4\times(-1)}=\frac{4-16}{-4}=3)，符合條件；1基礎(chǔ)型：直接利用頂點(diǎn)公式求解當(dāng)(a=-4)時(shí)，(c=-2-(-4)=2)，驗(yàn)證頂點(diǎn)縱坐標(biāo)：(\frac{4\times(-4)\times2-16}{4\times(-4)}=\frac{-32-16}{-16}=3)，也符合條件。因此，(a=-1,c=-1)或(a=-4,c=2)。易錯(cuò)點(diǎn)提醒：部分同學(xué)易忽略(a<0)的條件，但題目中“最大值”已隱含這一信息，需注意挖掘。2綜合型：含區(qū)間限制的最值問題此類題目需結(jié)合二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，分析頂點(diǎn)與區(qū)間的位置關(guān)系，比較頂點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值，是中考的常見題型。例4：已知函數(shù)(y=x^2-2mx+m^2+1)（(m)為常數(shù)），求該函數(shù)在區(qū)間([0,2])上的最小值。解析：函數(shù)可化為頂點(diǎn)式(y=(x-m)^2+1)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為((m,1))，開口向上（(a=1>0)）。需分三種情況討論：（1）當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(m\leq0)時(shí)，區(qū)間([0,2])在頂點(diǎn)右側(cè)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，最小值在(x=0)處，(y(0)=0-0+m^2+1=m^2+1)；2綜合型：含區(qū)間限制的最值問題（2）當(dāng)(0<m<2)時(shí)，頂點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，最小值為頂點(diǎn)縱坐標(biāo)(1)；（3）當(dāng)(m\geq2)時(shí)，區(qū)間([0,2])在頂點(diǎn)左側(cè)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，最小值在(x=2)處，(y(2)=4-4m+m^2+1=m^2-4m+5)。綜上，最小值為(\begin{cases}m^2+1&(m\leq0)\1&(0<m<2)\m^2-4m+5&(m\geq2)\end{cases})。方法總結(jié)：處理含參數(shù)的區(qū)間最值問題，關(guān)鍵是確定頂點(diǎn)與區(qū)間的位置關(guān)系，通過分類討論（以頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是否在區(qū)間內(nèi)為分界點(diǎn)）逐個(gè)求解。3實(shí)際應(yīng)用型：建模求解生活中的最值問題這類問題需要從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，重點(diǎn)考查“數(shù)學(xué)建模”能力，常見于利潤最大化、面積最大化、路徑最高點(diǎn)等問題。3實(shí)際應(yīng)用型：建模求解生活中的最值問題3.1銷售利潤問題例5：某商店銷售一種成本為每件20元的商品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量(y)（件）與銷售單價(jià)(x)（元）滿足關(guān)系(y=-10x+500)（(20\leqx\leq40)）。設(shè)每天的銷售利潤為(w)元，求(w)的最大值及此時(shí)的銷售單價(jià)。解析：利潤(w=(x-20)y=(x-20)(-10x+500)=-10x^2+700x-10000)。這是一個(gè)開口向下的二次函數(shù)（(a=-10<0)），頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(x=-\frac{700}{2\times(-10)}=35)，且(35\in[20,40])。代入得(w=-10\times35^2+700\times35-10000=-12250+24500-10000=2250)。因此，當(dāng)銷售單價(jià)為35元時(shí)，利潤最大為2250元。3實(shí)際應(yīng)用型：建模求解生活中的最值問題3.1銷售利潤問題拓展思考：若題目中要求銷售量(y)為整數(shù)，是否需要調(diào)整單價(jià)？此時(shí)需檢查(x=35)時(shí)(y=-10\times35+500=150)（整數(shù)），故無需調(diào)整；若(x)為小數(shù)時(shí)(y)非整數(shù)，需取附近整數(shù)驗(yàn)證利潤。3實(shí)際應(yīng)用型：建模求解生活中的最值問題3.2幾何面積問題例6：用長為20米的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，一面靠墻（墻足夠長），求圍成的矩形面積的最大值。解析：設(shè)垂直于墻的一邊長為(x)米，則平行于墻的一邊長為(20-2x)米（因籬笆圍三邊），面積(S=x(20-2x)=-2x^2+20x)。這是開口向下的二次函數(shù)（(a=-2<0)），頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(x=-\frac{20}{2\times(-2)}=5)，此時(shí)(20-2x=10)，面積(S=5\times10=50)平方米。因此，最大面積為50平方米。關(guān)鍵步驟：準(zhǔn)確設(shè)定變量，明確各邊長度與變量的關(guān)系，注意實(shí)際情境中邊長為正數(shù)，即(x>0)且(20-2x>0)，故(0<x<10)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(x=5)在此區(qū)間內(nèi)，有效。3實(shí)際應(yīng)用型：建模求解生活中的最值問題3.3運(yùn)動(dòng)軌跡問題例7：某運(yùn)動(dòng)員拋出的鉛球運(yùn)動(dòng)軌跡可近似為二次函數(shù)(y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3})（(x)為水平距離，(y)為高度，單位：米），求鉛球能達(dá)到的最大高度及此時(shí)的水平距離。解析：函數(shù)開口向下（(a=-\frac{1}{12}<0)），頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(x=-\frac{\frac{2}{3}}{2\times(-\frac{1}{12})}=-\frac{2}{3}\times(-\frac{12}{2})=4)，代入得(y=-\frac{1}{12}\times16+\frac{2}{3}\times4+\frac{5}{3}=-\frac{4}{3}+\frac{8}{3}+\frac{5}{3}=3)。因此，鉛球的最大高度為3米，此時(shí)水平距離為4米。03解題策略總結(jié)：從“會(huì)解題”到“用數(shù)學(xué)”解題策略總結(jié)：從“會(huì)解題”到“用數(shù)學(xué)”通過以上例題，我們可以總結(jié)出解決二次函數(shù)最值問題的“四步策略”：1明確類型，確定方法首先判斷題目類型：是無約束條件、區(qū)間限制還是實(shí)際應(yīng)用問題。無約束條件直接用頂點(diǎn)公式；區(qū)間限制需結(jié)合頂點(diǎn)與區(qū)間的位置；實(shí)際應(yīng)用需先建模再求解。2分析開口方向，確定最值類型根據(jù)(a)的符號(hào)判斷開口方向，確定是求最大值（(a<0)）還是最小值（(a>0)），避免方向錯(cuò)誤。3計(jì)算頂點(diǎn)與端點(diǎn)，比較取值對(duì)于區(qū)間限制問題，需計(jì)算頂點(diǎn)坐標(biāo)和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，比較后確定最值；對(duì)于實(shí)際問題，需驗(yàn)證頂點(diǎn)是否在自變量的實(shí)際取值范圍內(nèi)（如正數(shù)、整數(shù)等）。4回歸實(shí)際，檢驗(yàn)合理性實(shí)際問題中，求得的最值需符合現(xiàn)實(shí)意義（如數(shù)量不能為負(fù)、利潤不能為負(fù)等），必要時(shí)調(diào)整取值（如取附近整數(shù)）。04課堂練習(xí)與反饋（節(jié)選）課堂練習(xí)與反饋（節(jié)選）為鞏固所學(xué)，現(xiàn)提供兩組練習(xí)（因篇幅限制，僅列部分題目）：1基礎(chǔ)練習(xí)求函數(shù)(y=3x^2-6x+2)的最小值。已知二次函數(shù)(y=-2x^2+bx+5)的最大值為7，求(b)的值。2綜合練習(xí)求函數(shù)(y=x^2-4x+3)在區(qū)間([1,4])上的最大值和最小值。某水果批發(fā)店銷售一種水果，成本為每千克4元，售價(jià)為每千克6元時(shí)，每天可售出100千克。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，售價(jià)每提高0.5元，銷量減少10千克（售價(jià)不超過10元）。設(shè)售價(jià)為(x)元，每天利潤為(w)元，求(w)的最大值。（答案與解析可通過課堂討論或課后批改完成，重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生對(duì)分類討論和建模步驟的掌握。）05總結(jié)與升華總結(jié)與升華二次函數(shù)的最值問題，本質(zhì)是對(duì)拋物線頂點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)