基于“數(shù)學(xué)理解”主張的教學(xué)實(shí)踐探索在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，數(shù)學(xué)理解一直是人們討論的重要話題，1989年全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)（NationalCouncilofTeachersofMathematics，簡(jiǎn)稱NCTM）明確提出“數(shù)學(xué)課程的重點(diǎn)應(yīng)該是‘?dāng)?shù)學(xué)概念和理解’，數(shù)學(xué)教育研究者和教學(xué)設(shè)計(jì)者要將數(shù)學(xué)理解作為數(shù)學(xué)研究的首要重點(diǎn)”。數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目標(biāo)是學(xué)生的理解。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)幫助學(xué)生形成一種正確的“數(shù)學(xué)觀”—一種分析和理解的偏好、一種理解結(jié)構(gòu)和結(jié)構(gòu)關(guān)系的偏好、一種觀察事物之適應(yīng)力的偏好，教學(xué)的目的應(yīng)該是培養(yǎng)學(xué)生的概念理解能力，而不是教給他們純粹的機(jī)械技能。通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，學(xué)生應(yīng)該學(xué)會(huì)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，并建構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)的深層次的理解。①放眼我國(guó)目前的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，在考試、解題、背記公式定理等等的壓力之下，有多少學(xué)生喜愛(ài)數(shù)學(xué)、樂(lè)于在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中積極地思考，又有多少學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中真正地獲益呢？因此，數(shù)學(xué)理解及其價(jià)值與意義對(duì)全體社會(huì)公民整體素養(yǎng)的提升與發(fā)展將產(chǎn)生越來(lái)越大的作用。而作為現(xiàn)階段學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)理解的最直接、亦是最重要的中介，學(xué)校數(shù)學(xué)課程及教學(xué)無(wú)疑將首當(dāng)其沖，直面社會(huì)變化的激烈挑戰(zhàn)與現(xiàn)實(shí)改革的強(qiáng)大壓力。學(xué)生只有真正理解了數(shù)學(xué)，核心素養(yǎng)才有可能真實(shí)地存在于課堂教學(xué)中，才能夠成為學(xué)生可以直接吸收的營(yíng)養(yǎng)。數(shù)學(xué)理解能有助于學(xué)生以新的視角去認(rèn)識(shí)原有知識(shí)，在個(gè)體內(nèi)部創(chuàng)造更為豐富的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，也有助于教師提升課程實(shí)施的效果。為了使數(shù)學(xué)教學(xué)有意義，教師自己需要對(duì)知識(shí)有深刻的理解，教師對(duì)課程的理解是課程實(shí)施的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)就在于如何促進(jìn)學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。用理解的觀點(diǎn)來(lái)看數(shù)學(xué)，可以讓學(xué)生更好地把握其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，擺脫繁瑣數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)推理的藩籬，消除學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的畏懼感，感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在美和整個(gè)世界的統(tǒng)一美，以達(dá)到從根本上提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)積極性之目的。一、“數(shù)學(xué)理解”教學(xué)主張的形成（一）檢視課堂—觀察思考階段從教多年之后，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生普遍感覺(jué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)枯燥，沒(méi)有興趣，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變成了學(xué)生無(wú)法脫離的苦海。如果沒(méi)有高考，恐怕絕大多數(shù)學(xué)生都會(huì)放棄數(shù)學(xué)。我有一個(gè)學(xué)生，曾獲得廣西數(shù)學(xué)奧賽第一名，并憑此保送清華大學(xué)，他選的專業(yè)是生物科學(xué)。被保送后，他就再也不看數(shù)學(xué)書了，這讓我感觸頗多。究其原因，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)于強(qiáng)調(diào)形式化訓(xùn)練，而很少注意對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的意義進(jìn)行深層次的挖掘，很多教師只會(huì)就教材教教材，缺乏對(duì)知識(shí)的深度解讀，缺乏對(duì)學(xué)科育人目標(biāo)和學(xué)生自主發(fā)展的整體設(shè)計(jì)，這些問(wèn)題不僅致使課堂效率低下，學(xué)生的數(shù)————————————————————————————————①AlanH.Schoenfeld，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維:數(shù)學(xué)中的問(wèn)題解決、超認(rèn)知和數(shù)學(xué)意識(shí)，載:D.A.格勞斯主編，《數(shù)學(xué)教學(xué)研究手冊(cè)》，上海教育出版社，1999年4月，P.364學(xué)素養(yǎng)更是無(wú)法獲得有效提升。我深刻地認(rèn)識(shí)到，原有的教學(xué)方式必須進(jìn)行改革，應(yīng)該創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生喜歡的數(shù)學(xué)課堂。從那以后，我更加關(guān)注自己的教學(xué)，借助書本理論和其他教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)不斷的進(jìn)行自我探索，根據(jù)教學(xué)對(duì)象、教學(xué)內(nèi)容和自身的優(yōu)勢(shì)設(shè)計(jì)教學(xué)，努力尋找最適合自己的教學(xué)方式，深化認(rèn)知，努力發(fā)展自己對(duì)教學(xué)的認(rèn)識(shí)和理解。（二）學(xué)習(xí)反思—實(shí)踐積累階段隨著教學(xué)實(shí)踐的開(kāi)展，我對(duì)教學(xué)的認(rèn)識(shí)和理解也隨著實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的積累而越發(fā)廣泛和深刻，開(kāi)始思考自己的教學(xué)定位。為了更好地提高教學(xué)實(shí)效，我結(jié)合自身的優(yōu)勢(shì)開(kāi)展了課題研究。因?yàn)槲覍?duì)計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)有濃厚的興趣，從2001年開(kāi)始，我先后主持了兩個(gè)桂林市A類重點(diǎn)課題《網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下數(shù)學(xué)CAI模式研究》和《基于<幾何畫板>的數(shù)學(xué)探究教學(xué)的實(shí)證研究》。經(jīng)過(guò)多年研究，交上了滿意的答卷：在刊物上發(fā)表多篇研究論文，撰寫了3萬(wàn)字的研究報(bào)告，完成了幾何畫板積件庫(kù)和教學(xué)應(yīng)用案例集，由于成果豐富，課題結(jié)題時(shí)評(píng)定等級(jí)為A等，并獲得桂林市教育科研成果一等獎(jiǎng)。課題研究給我的課堂教學(xué)帶來(lái)深刻影響，將自己對(duì)教學(xué)觀念上的認(rèn)知付諸實(shí)踐，不斷在實(shí)踐中進(jìn)行檢驗(yàn)，反思總結(jié)，形成了自身對(duì)教學(xué)獨(dú)有的思考。2011年是我專業(yè)成長(zhǎng)的最重要的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，經(jīng)過(guò)學(xué)校推薦和省教育廳的遴選，我參加了“廣西基礎(chǔ)教育名師培養(yǎng)工程”培訓(xùn)。在培訓(xùn)中，我了解到許多教育教學(xué)領(lǐng)域的新成果，特別是關(guān)于新課改的相關(guān)理念和做法，通過(guò)與教育專家和同行教師的深入交流，自身的專業(yè)理論水平又有了很大的提高，對(duì)教學(xué)的理解也更為深刻。名師班三年高水平的培訓(xùn)學(xué)習(xí)，使我的教育觀念和教學(xué)思想有了質(zhì)的變化，對(duì)教育的認(rèn)識(shí)也逐漸由感性上升到理性，初步形成了自己的教學(xué)觀點(diǎn)和主張。（三）名師培養(yǎng)—建構(gòu)深化階段2018年4月我被遴選成為教育部“國(guó)培計(jì)劃”首屆中小學(xué)領(lǐng)航名師。作為首屆中小學(xué)領(lǐng)航名師，以西南大學(xué)教師教育學(xué)院為依托，得到了西南大學(xué)領(lǐng)航基地的系統(tǒng)指導(dǎo)，不僅從教育理論提升、教育科學(xué)研究、教學(xué)能力發(fā)展等方面得到了全面的學(xué)習(xí)提升，基地還為每一位領(lǐng)航名師配備了學(xué)識(shí)淵博的理論導(dǎo)師和實(shí)踐導(dǎo)師，可以隨時(shí)隨地進(jìn)行溝通請(qǐng)教。通過(guò)多次集中研修的機(jī)會(huì)，在陳時(shí)見(jiàn)、宋乃慶、于波、陳婷等導(dǎo)師的精心指點(diǎn)下，“數(shù)學(xué)理解”教學(xué)主張研究取得了實(shí)質(zhì)性的突破，有了明確的研究方向。在西南大學(xué)領(lǐng)航名師基地的指導(dǎo)下，2019年還成立了教育部中小學(xué)名師領(lǐng)航工程趙建宏名師工作室，工作室以“數(shù)學(xué)理解”為核心教育主張，致力于建設(shè)新時(shí)代高素質(zhì)專業(yè)化創(chuàng)新形教師隊(duì)伍，引領(lǐng)區(qū)域教師構(gòu)建能夠彰顯知識(shí)本質(zhì)和學(xué)科育人方向的數(shù)學(xué)課堂。二、“數(shù)學(xué)理解”的研究進(jìn)展（一）國(guó)外相關(guān)研究國(guó)外數(shù)學(xué)理解研究分為三個(gè)階段。第一階段是數(shù)學(xué)理解的理論探索（20世紀(jì)30s到90s）。1976年斯根普（Skemp，R。）將理解分為工具性理解和關(guān)系性理解兩種模式，隨后，他的學(xué)生赫斯庫(kù)維斯（Her-scovies，N.）和維納（S.Vinner）將數(shù)學(xué)理解分為四種模式（工具性理解，關(guān)系性理解，直覺(jué)性理解和形式性理解）。1990年，皮瑞和基倫（Pirie＆Kieren）深入研究了數(shù)學(xué)理解的增長(zhǎng)趨勢(shì)和表征，建立了超回歸數(shù)學(xué)理解模型，將數(shù)學(xué)理解分為八個(gè)水平，分別為原始認(rèn)知、產(chǎn)生表象、形成表象、關(guān)注性質(zhì)、形式化、觀察反思、結(jié)構(gòu)化和發(fā)明創(chuàng)造。這一階段主要以理論思辨研究為主，教學(xué)實(shí)踐研究較少，第二階段是數(shù)學(xué)理解的教學(xué)實(shí)踐研究（20世紀(jì)90s初至21世紀(jì)初）。隨著數(shù)學(xué)理解理論逐漸被完善，研究者開(kāi)始從教學(xué)實(shí)踐角度驗(yàn)證、修正數(shù)學(xué)理解理論，以提高數(shù)學(xué)理解效果。根據(jù)研究?jī)?nèi)容、研究視角等的不同，數(shù)學(xué)理解的教學(xué)實(shí)踐研究又可以分為教師教學(xué)方式研究、學(xué)生學(xué)習(xí)方式研究和數(shù)學(xué)理解的評(píng)價(jià)研究三個(gè)方面。研究者試圖從多個(gè)角度闡述、論證什么是真正的數(shù)學(xué)理解，在實(shí)踐層面上找出表面理解與真正理解、淺層理解與深層理解的區(qū)別。如美國(guó)數(shù)學(xué)課堂廣泛地采用探究性教學(xué)、合作性教學(xué)等教學(xué)方式，學(xué)生主動(dòng)探索和同伴合作交流受到了極大歡迎，學(xué)者們調(diào)查研究了在這些教學(xué)方式下教師扮演的角色和學(xué)生數(shù)學(xué)理解的效果。第三階段是數(shù)學(xué)理解的橫向比較研究（21世紀(jì)初至今）。人們開(kāi)始關(guān)注數(shù)學(xué)理解的橫向比較研究，并且主要從課堂實(shí)踐的角度比較各國(guó)教師、學(xué)生在數(shù)學(xué)理解上的差異，研究方法包括觀察法、訪談法、作業(yè)分析法等。美國(guó)特拉華大學(xué)蔡金法教授2017年研究了中國(guó)優(yōu)秀教師的數(shù)學(xué)理解觀，調(diào)查了中國(guó)優(yōu)秀教師對(duì)數(shù)學(xué)理解的理解，結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)案例闡述如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)理解。美國(guó)學(xué)者斯蒂格勒和希爾伯特認(rèn)為不同的民族有不同的文化路徑（如亞洲國(guó)家與美國(guó)文化思維不同），不同國(guó)家的課例研究有助于教師理解課程、理解學(xué)生，重新審視自己的教學(xué)觀，提高教學(xué)效率，實(shí)現(xiàn)教育目標(biāo)。從上述研究歷程可以發(fā)現(xiàn)這樣一種趨勢(shì)：研究視角從理論延伸到實(shí)踐，從縱向延伸到橫向；研究?jī)?nèi)容從理論層面關(guān)注知識(shí)本位（即數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)是什么）到實(shí)踐層面關(guān)注認(rèn)識(shí)本位（即教學(xué)如何促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解）。通過(guò)不斷探索，研究者們對(duì)數(shù)學(xué)理解內(nèi)涵的解讀由單一視角到多重視角，對(duì)數(shù)學(xué)理解模型的認(rèn)識(shí)更有深度。—————————————①余瑤，張春莉.國(guó)外數(shù)學(xué)理解研究的進(jìn)展與展望[J].教育學(xué)報(bào)，2018，14(1):35-44（二）國(guó)內(nèi)相關(guān)研究1.數(shù)學(xué)理解的認(rèn)識(shí)李士琦認(rèn)為：“學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念、原理、法則，如果在心理上能組織起適當(dāng)?shù)挠行У恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個(gè)人內(nèi)部的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么就說(shuō)明是理解了。”陳瓊認(rèn)為：“數(shù)學(xué)理解是學(xué)習(xí)者先認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的外部表征，構(gòu)建相應(yīng)的心理表象，然后在建立新舊知識(shí)聯(lián)系的動(dòng)態(tài)過(guò)程中，打破原有的認(rèn)識(shí)平衡，將數(shù)學(xué)對(duì)象的心理表象進(jìn)行改造、整理、重組，重新達(dá)到新的平衡，以便抽取數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征及規(guī)律，從而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的理解?！?.數(shù)學(xué)理解的層次王光明等通過(guò)調(diào)查得出數(shù)學(xué)理解可分為三個(gè)層次，操作性理解、關(guān)系性理解和遷移性理解。①周建華將數(shù)學(xué)理解劃分為直接性理解、解釋性理解、推斷性理解和創(chuàng)造性理解四個(gè)層次。②香港中文大學(xué)梁貫成將理解分為明顯理解和隱含理解，前者指能明確地說(shuō)出不同數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系，并清楚地指明與某一數(shù)學(xué)概念相關(guān)的“知識(shí)群”，后者指盡管自身已經(jīng)達(dá)到了關(guān)系性理解，但卻不能清楚地表述出來(lái)。③呂林海提出學(xué)生理解發(fā)展的階段性（EFSC模型），將數(shù)學(xué)理解分為：經(jīng)驗(yàn)性理解、形式化理解、結(jié)構(gòu)化理解與文化性理解這四個(gè)發(fā)展階段。④黃燕玲、喻平根據(jù)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的分類，認(rèn)為數(shù)學(xué)理解應(yīng)涵蓋對(duì)陳述性知識(shí)、程序性知識(shí)及過(guò)程性知識(shí)的理解等3個(gè)方面。⑤于新華、楊之將數(shù)學(xué)理解的層次分為零層次、常識(shí)性層次、邏輯性層次、觀念性層次和無(wú)盡的層次。⑥以上關(guān)于數(shù)學(xué)理解層次（水平）的劃分，雖然不盡相同，均表現(xiàn)出一定的主觀性和模糊性，但都說(shuō)明數(shù)學(xué)理解是有不同程度、層次和水平的，是具有一定的量的特征的，同時(shí)具有模糊性。3.數(shù)學(xué)理解的評(píng)價(jià)陳明選和鄧喆提出理解性學(xué)習(xí)評(píng)價(jià),以理解促進(jìn)人的發(fā)展,以追求學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度理解為核心價(jià)值,以核心知識(shí)為評(píng)價(jià)載體,以學(xué)生理解水平為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),創(chuàng)設(shè)有利于理解的學(xué)習(xí)環(huán)境，通過(guò)多元評(píng)價(jià)和貫穿始終的過(guò)程性評(píng)價(jià)促進(jìn)學(xué)習(xí)者創(chuàng)新思維的發(fā)展。⑦徐兆洋認(rèn)為理解取向的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)策略應(yīng)提供表現(xiàn)性評(píng)價(jià).⑧①王光明.數(shù)學(xué)教學(xué)效率研究[D].南京：南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，2005.②周建華.試論“理解”的層次結(jié)構(gòu)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，1998(6):3-5.③鄭毓信.數(shù)學(xué)教育:從理論到實(shí)踐[M].上海:上海教育出版社,2001.④呂林海.數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)與教學(xué)研究[D].上海：華東師范大學(xué)教科院課程與教學(xué)系，2005.⑤黃燕玲,喻平.對(duì)數(shù)學(xué)理解的再認(rèn)識(shí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002,11(3):40-43.⑥于新華，楊之.數(shù)學(xué)理解的層次性及其教學(xué)意義[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005,14(2):23-25.⑦陳明選,鄧喆.教育信息化進(jìn)程中學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的轉(zhuǎn)型—基于理解的視角[J].電化教育研究，2015(10):12-19⑧徐兆洋.為理解而設(shè)計(jì)教學(xué)[J].現(xiàn)代中小學(xué)教育，2013(11):13-17呂林海指出在實(shí)踐層面上對(duì)數(shù)學(xué)理解評(píng)價(jià)應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)以下三個(gè)方面：既運(yùn)用非正規(guī)評(píng)價(jià)，也運(yùn)用正規(guī)評(píng)價(jià)，由于理解的形成需要較長(zhǎng)時(shí)間，所以評(píng)價(jià)要反映理解的持續(xù)發(fā)展過(guò)程，要特別強(qiáng)調(diào)并關(guān)注推理的層次。①吳新靜和盛群力認(rèn)為教師要確定能夠證明學(xué)生已經(jīng)獲得理解的有效證據(jù)，每個(gè)學(xué)習(xí)單元設(shè)置一定的評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)，利用這些評(píng)估反饋了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，并進(jìn)一步指導(dǎo)自身的教學(xué)，這個(gè)階段教師需要完成三個(gè)任務(wù)（選擇合適的評(píng)估方式、設(shè)計(jì)真實(shí)的情境任務(wù)、制定評(píng)估量表）。②三、“數(shù)學(xué)理解”教學(xué)主張的理論基礎(chǔ)（一）《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2020年修訂版)》的相關(guān)內(nèi)容和要求《課程標(biāo)準(zhǔn)》將數(shù)學(xué)定義為是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過(guò)符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。數(shù)學(xué)與人類生活和社會(huì)發(fā)展緊密關(guān)聯(lián)。數(shù)學(xué)不僅是運(yùn)算和推理的工具，還是表達(dá)和交流的語(yǔ)言。數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過(guò)程中發(fā)揮著不可替代的作用。數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能。數(shù)學(xué)教育幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想和方法；提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界；促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展，探尋事物變化規(guī)律，增強(qiáng)社會(huì)責(zé)任感；在學(xué)生形成正確人生觀、價(jià)值觀、世界觀等方面發(fā)揮獨(dú)特作用。③《課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，樹(shù)立了四大課程基本理念：一是學(xué)生發(fā)展為本，立德樹(shù)人，提升素養(yǎng)；二是優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，突出主線，精選內(nèi)容；三是把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué)；四是重視過(guò)程評(píng)價(jià)，聚焦素養(yǎng)，提高質(zhì)量。課程目標(biāo)由“雙基”轉(zhuǎn)變?yōu)椤八幕?，“三能”轉(zhuǎn)變?yōu)椤八哪堋?，由提高?shù)學(xué)基本能力轉(zhuǎn)變?yōu)榘l(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過(guò)學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、—————————————①呂林海.數(shù)學(xué)理解之面面觀[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2003(12):1-4.②吳新靜，盛群力.理解為先促進(jìn)設(shè)計(jì)模式—一種理解性教學(xué)設(shè)計(jì)的框架[J].當(dāng)代教師教育，2017,10(2):40-46.③中華人民共和國(guó)教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社.2020，6.數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立、又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有基礎(chǔ)性、綜合性、階段性和個(gè)體差異性?；A(chǔ)性是指數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對(duì)人的影響是長(zhǎng)久的。它是從育人的高度把對(duì)學(xué)生終身發(fā)展具有奠基意義的、具有高度統(tǒng)攝性的數(shù)學(xué)思想、方法以及知識(shí)抽象出來(lái)所形成。從價(jià)值取向上看，它是個(gè)體適應(yīng)未來(lái)優(yōu)質(zhì)生活和終身發(fā)展所必需的。綜合性是指數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)習(xí)者對(duì)其所擁有的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)態(tài)度、數(shù)學(xué)品質(zhì)等的有效整合。當(dāng)其內(nèi)化后，在特定情境之下表現(xiàn)出來(lái)的綜合素養(yǎng)，它強(qiáng)調(diào)三者之間的統(tǒng)整，而不是簡(jiǎn)單的相加。階段性是指學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在不同的發(fā)展階段有不同層次的要求和表現(xiàn)。個(gè)體差異性是指不同的個(gè)體在發(fā)展過(guò)程中其數(shù)學(xué)素養(yǎng)不是整齊劃一的，而是表現(xiàn)出個(gè)體的差異性。（二）斯根普對(duì)數(shù)學(xué)理解的研究斯根普則進(jìn)一步提出了事物理解的兩種模式：工具性理解和關(guān)系性理解。①斯根普認(rèn)為，工具性理解是指一種語(yǔ)義理解，即符號(hào)所指代的事物是什么；或者是一種程序性理解，即一個(gè)規(guī)則所指定的每一個(gè)步驟是什么，如何操作。關(guān)系性理解則還需加上對(duì)符號(hào)意義和替代物本身結(jié)構(gòu)上的認(rèn)識(shí)，獲得符號(hào)指代物意義的途徑，以及規(guī)則本身有效性的邏輯依據(jù)等。他發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)公式時(shí)，由于對(duì)代表學(xué)習(xí)對(duì)象的符號(hào)形式不熟悉，往往把注意力集中于對(duì)符號(hào)本身含義的描述，而不是它的指代物的意義上，即所從事的是促進(jìn)“工具性理解”形成的活動(dòng)。他還指出，關(guān)系性理解本身就是一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目的，有益于學(xué)習(xí)者解決新的問(wèn)題，容易記憶，有助于形成高質(zhì)量的知識(shí)結(jié)構(gòu)，所以更多的理解應(yīng)當(dāng)定位于“關(guān)系性理解”。斯根普關(guān)于理解的兩種模式清楚地指出了數(shù)學(xué)理解的兩個(gè)不同層面及其關(guān)系，即只有從工具性理解達(dá)到關(guān)系性理解，個(gè)體才能真正把握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)。在斯根普看來(lái)，理解數(shù)學(xué)符號(hào)所代表的意義既是把握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)的核心，更是數(shù)學(xué)理解所追求的目標(biāo)，只有從工具性理解達(dá)到關(guān)系性理解，個(gè)體才能真正把握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)。斯根普所提工具性理解和關(guān)系性理解在教學(xué)中同時(shí)存在，工具性理解指向結(jié)果，也為了結(jié)果；關(guān)系性理解指向過(guò)程，也是一種過(guò)程。不具發(fā)展性的教學(xué)常限于以“工具性理解”為目標(biāo)，忽略培養(yǎng)學(xué)生的“關(guān)系性理解”，以致學(xué)生未能完全清楚地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。而教師之所以常常選擇指向結(jié)果的工具性理解，是因?yàn)殛P(guān)系性理解的掌握太困難，需要花費(fèi)太長(zhǎng)時(shí)間，而選擇工具性理解可以應(yīng)對(duì)大多數(shù)考試。需要指出的是，兩種理解是交融的，為了達(dá)成關(guān)系性理解有時(shí)需要工具性理解的支撐?！亳R復(fù).試論數(shù)學(xué)理解的兩種類型[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2001,10(3):50-53.（三）“超回歸”數(shù)學(xué)理解模型“超回歸”數(shù)學(xué)理解模型誕生于上世紀(jì)末，由英國(guó)的皮瑞和與加拿大的基倫通過(guò)反思之前數(shù)學(xué)理解之研究成果并通過(guò)大量實(shí)證研究提出，該理論模型以認(rèn)知觀為基礎(chǔ)，為數(shù)學(xué)理解領(lǐng)域的研究打開(kāi)了新的視野，主要用來(lái)探索學(xué)習(xí)過(guò)程中理解水平及其發(fā)展規(guī)律，是一套較為成熟的數(shù)學(xué)理解評(píng)價(jià)理論與模型，較全面地展示了數(shù)學(xué)理解的過(guò)程，深刻地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)理解的發(fā)展層次。該模型認(rèn)為，理解是一個(gè)進(jìn)行中的、動(dòng)態(tài)的、分水平的過(guò)程，從“分水平”的角度出發(fā)，把數(shù)學(xué)理解分為8個(gè)不同理解階段，分別為：原始認(rèn)識(shí)、產(chǎn)生表象、形成表象、性質(zhì)認(rèn)知、形式化、觀察評(píng)述、構(gòu)造化、發(fā)明創(chuàng)造。①1.初步認(rèn)識(shí)(Primitiveknowing)：它是形成數(shù)學(xué)理解過(guò)程中的第一個(gè)水平。在這里，“初步的”并不是暗指水平低，而是指任何一個(gè)特定的數(shù)學(xué)理解形成的起點(diǎn)。大多數(shù)的教育工作者都認(rèn)為這是一個(gè)人要達(dá)到理解性學(xué)習(xí)的前提條件。“初步認(rèn)識(shí)”指通過(guò)一些具體的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，或從原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)或生活體驗(yàn)出發(fā)，對(duì)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容有了初步的了解，例如具體的實(shí)例、粗糙的語(yǔ)言表述、一定的推論。2.產(chǎn)生表象(Imagemaking)：學(xué)習(xí)者需要憑借第一個(gè)水平對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)，歸結(jié)它的特征，制作嶄新的表象來(lái)代表。3.形成表象(Imagehaving)：學(xué)習(xí)者將之前具體活動(dòng)中產(chǎn)生的特殊表象組織起來(lái)，形成一般的表象，從而代替先前個(gè)別具體的表象，這是作為抽象的第一個(gè)水平。達(dá)到這一水平的學(xué)習(xí)者可以脫離之前的具體活動(dòng)、事例，利用一般表象思考問(wèn)題。4.關(guān)注性質(zhì)(Propertynoticing)：在這一水平，學(xué)習(xí)者可以運(yùn)用并組合數(shù)學(xué)對(duì)象的一系列表象，構(gòu)造出獨(dú)一無(wú)二的、與之相關(guān)的性質(zhì)。具體表現(xiàn)為：學(xué)習(xí)者通過(guò)觀察表象，發(fā)現(xiàn)表象間的不同點(diǎn)和相似點(diǎn)，從而創(chuàng)建表象間的關(guān)系，猜想、驗(yàn)證所學(xué)知識(shí)存在的特性或規(guī)律。教師通過(guò)提出思考性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注性質(zhì)。5.形式化(Formalizing)：當(dāng)學(xué)習(xí)者能通過(guò)認(rèn)識(shí)前面的概念表象，概括和歸納得到有關(guān)的性質(zhì)，進(jìn)而構(gòu)建形式化的數(shù)學(xué)對(duì)象，那么學(xué)習(xí)者就實(shí)現(xiàn)了“形式化”。在這期間，學(xué)習(xí)者的認(rèn)知能夠舍棄之前完善的表象，把數(shù)學(xué)對(duì)象變成一類進(jìn)行思考。這一水平的理解可能在結(jié)構(gòu)化和發(fā)明創(chuàng)造兩個(gè)水平中再一次發(fā)生，進(jìn)行再抽象。6.觀察評(píng)述(Observing)：在這一水平，對(duì)數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)達(dá)到形式化的學(xué)習(xí)者能夠反思并調(diào)控該過(guò)程，包括對(duì)內(nèi)層水平的思維過(guò)程進(jìn)行反思、對(duì)概括的知識(shí)進(jìn)行思考和檢驗(yàn)，并用自己的語(yǔ)言描述、掌握數(shù)學(xué)思想和方法。最后進(jìn)行整理，歸納和應(yīng)用。此時(shí)，學(xué)習(xí)者的思維具有一定的嚴(yán)密性，具體表現(xiàn)為能夠解釋之前—————————————①李淑文,張同君.“超回歸”數(shù)學(xué)理解模型及其啟示[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2002,11(1):21-23.的想法是正確的。7.結(jié)構(gòu)化(CStructuring)：當(dāng)學(xué)習(xí)者試圖將前一水平整理與組織的結(jié)果(新學(xué)的知識(shí)內(nèi)容)作為一種理論，或者是與學(xué)習(xí)者已有的知識(shí)之間建立聯(lián)系，通過(guò)新舊知識(shí)相互作用將新知識(shí)納入到原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中時(shí)，結(jié)構(gòu)化就產(chǎn)生了。此時(shí)，學(xué)習(xí)者需要反思所學(xué)的新知識(shí)與已有的數(shù)學(xué)知識(shí)之間是否存在聯(lián)系，是否相互依賴，并利用邏輯或演繹推理的方法進(jìn)行證明。8.發(fā)明創(chuàng)造(Inventing)：處于模型的最外層，在這一水平，學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象有了整體的、深刻的、結(jié)構(gòu)性的理解，可以互相遷移、舉一反三、靈活應(yīng)用了。與此同時(shí)，還有可能在此基礎(chǔ)上，提出新的思考和新的理論。該模型明確指出了不同水平的具體表現(xiàn)，對(duì)8個(gè)水平進(jìn)行了詳盡的闡述與釋義，客觀地描述了數(shù)學(xué)理解過(guò)程中“回歸”現(xiàn)象發(fā)生之原因，在這里，對(duì)“回歸”現(xiàn)象做了細(xì)致之解釋，強(qiáng)調(diào)8個(gè)理解水平之發(fā)展過(guò)程不是一步到位的，而是非線性的，從“回歸”這一特點(diǎn)出發(fā)，體現(xiàn)了理解之反反復(fù)復(fù)之建構(gòu)過(guò)程。該模型直觀地描述了數(shù)學(xué)理解的過(guò)程和理解水平之間的相互關(guān)系，可以用具有一個(gè)公共切點(diǎn)的8個(gè)嵌套的圓來(lái)表示，一般認(rèn)為，切點(diǎn)是知識(shí)的基點(diǎn)，外層包含內(nèi)層，圓的半徑依次增大，圓的大小表示對(duì)知識(shí)理解的廣度與深度，逐步拓廣。該理解模型用二維形式描述，包含著超越與回歸，不是單向的發(fā)展過(guò)程，先前知識(shí)是后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)，理解總的方向是向外發(fā)展的，外層理解是內(nèi)層理解的升華。知識(shí)理解的過(guò)程中，由外層返回到內(nèi)層而后再到外層的理解活動(dòng)過(guò)程就叫做“回歸"。該模型有兩點(diǎn)顯著的特征：(1)超越性。居于內(nèi)側(cè)的理解水平包含于外側(cè)的理解水平，并且被外側(cè)的理解水平協(xié)調(diào)地統(tǒng)一起來(lái)，外側(cè)理解水平的發(fā)展超越內(nèi)側(cè)發(fā)展水平。(2)回歸性。學(xué)生無(wú)論在哪種理解水平上，當(dāng)碰到一個(gè)無(wú)法理解或解決的問(wèn)題時(shí)，會(huì)折回到低一級(jí)的水平上，即對(duì)無(wú)法解決的問(wèn)題進(jìn)行降維處理。（四）SOLO分類理論SOLO分類理論最先是由1982年澳大利亞的教育心理學(xué)家比格斯（J.B.Biggs）提出。它的理論基礎(chǔ)是結(jié)構(gòu)主義學(xué)說(shuō)，它的本質(zhì)是認(rèn)知發(fā)展理論，它去除了皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段理論中的不合理因素，并對(duì)其中的合理因素進(jìn)行了發(fā)展。比格斯認(rèn)為，認(rèn)知的產(chǎn)物就是理解，為了更好地促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展，必