高中東城區(qū)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期期末統(tǒng)一檢測高一數(shù)學(xué) 2024.7本試卷共4頁，滿分150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知復(fù)數(shù)，，則在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點位于（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限（2）的值為（A）（B）（C）（D）（3）從裝有2張紅色卡片和2張黑色卡片的盒子中任取2張卡片，則下列結(jié)論正確的是（A）“恰有一張黑色卡片”與“都是黑色卡片”為互斥事件（B）“至少有一張紅色卡片”與“至少有一張黑色卡片”為互斥事件（C）“恰有一張紅色卡片”與“都是黑色卡片”為對立事件（D）“至多有一張黑色卡片”與“都是紅色卡片”為對立事件（4）在△中，，則（A） （B）（C）（D）（5）設(shè)，為非零向量，下列結(jié)論中正確的是（A）（B）（C） （D）（6）某高校的入學(xué)面試為每位面試者準(zhǔn)備了3道難度相當(dāng)?shù)念}目.每位面試者最多有三次抽題機(jī)會，若某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止.若李明答對每道題目的概率都是，則他最終通過面試的概率為（A）0.24（B）0.6（C）0.84（D）0.936（7）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象關(guān)于點對稱，則的最小值為（A）（B）（C） （D）（8）設(shè)是兩個不同平面，是兩條不同直線，且，則“”是“”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件ba（C）充分必要條件 ba（9）向量,在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則＝（A）45° （B）60° （C）120° （D）135°（10）如圖，已知正方體的棱長為2，其中分別為棱的中點，那么三棱柱與三棱柱在正方體內(nèi)部的公共部分的體積為（A） （B）（C）（D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）已知向量，，若與垂直，則實數(shù)的值為.（12）已知純虛數(shù)滿足，則可以是.（13）一木塊如圖所示，所有棱長都等于10，點為三角形的中心，過點將木塊鋸開，截面平行于直線和，則截面面積為.（14）某實驗室一天的溫度（單位：℃）隨時間t（單位：h）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：，，為正實數(shù)，若，，則該實驗室這一天的最大溫差為℃；若該實驗室這一天的最大溫差為10℃，則的最大值為.（15）趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作注時介紹了“勾股圓方圖”，即“趙爽弦圖”.下圖是某同學(xué)繪制的趙爽弦圖，其中，點分別是正方形和正方形上的動點，給出下列四個結(jié)論：①；②；③設(shè)與的夾角為，則的值為；④的最大值為其中所有正確結(jié)論的序號是_______．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.（17）（本小題13分）某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法小組和科創(chuàng)小組的情況，數(shù)據(jù)如下表（單位：人）參加書法小組未參加書法小組參加科創(chuàng)小組84未參加科創(chuàng)小組330（=1\*ROMANI）從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個小組的概率；（=2\*ROMANII）在既參加書法小組又參加科創(chuàng)小組的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)，，，，，3名女同學(xué)，，，現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，求被選中且未被選中的概率．（18）（本小題15分）如圖，在四棱錐中，，（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）設(shè)點為的中點，過點的平面與棱交于點，且平面，求的值.（19）（本小題15分）如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量．若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．設(shè).（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)，若，求實數(shù)的值；（Ⅲ）若，，有同學(xué)認(rèn)為“”的充要條件是“”，你認(rèn)為是否正確？若正確，請給出證明；若不正確，請說明理由．（20）（本小題14分）設(shè)函數(shù)（）.從下列三個條件中選擇兩個作為已知，使函數(shù)存在.（Ⅰ）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）若對于任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍．條件=1\*GB3①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點；條件=2\*GB3②：在區(qū)間上單調(diào)遞增；條件=3\*GB3③：是的一條對稱軸．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅰ）問得分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．（21）（本小題15分）設(shè)為正整數(shù)，集合．對于集合中的任意元素和，定義，，以及.（Ⅰ）若，，，，求；（Ⅱ）若，均為中的元素，且，，求的最大值；（Ⅲ）若均為中的元素，其中，且滿足，求的最小值.

東城區(qū)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期期末統(tǒng)一檢測高一數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)2024.7一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）A（2）B（3）A（4）B（5）C（6）D（7）A（8）A（9）D（10）C二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）（12）（答案不唯一）（13）（14）（15）②③ 解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分） 解：（Ⅰ）因為，且，所以，所以.故.........................7分（=2\*ROMANII）因為，且，，所以.........................13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法小組又未參加科創(chuàng)小組的有30人，故至少參加上述一個小組的共有（人，所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個小組的概率為．........................6分（Ⅱ）從5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人的所有基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共15個，其中被選中且未被選中的有，，，，共2個，所以被選中且未被選中的概率為．........................13分（18）（共15分）解：（Ⅰ）因為平面，所以．又因為，,所以平面．........................5分（Ⅱ）因為，，所以．因為平面，所以．又因為所以平面．又因為所以平面平面．........................10分（Ⅲ）因為平面，平面，所以.在△中，點為的中點，所以為的中點．所以........................15分（19）（共15分）解：（Ⅰ）因為，所以兩邊平方得所以.........................5分（Ⅱ）因為，所以存在唯一的實數(shù)，使得，即，所以解得.........................10分（Ⅲ）不正確

.理由如下：

因為，所以，即，則有，所以“”的充要條件是“”，即“”的充要條件是“”是不正確的.........................15分（20）（共14分）解：（Ⅰ）選擇條件=2\*GB3②=3\*GB3③：.由條件=2\*GB3②：在區(qū)間上單調(diào)遞增，有，又，即，所以.......(1)由條件=3\*GB3③：是的一條對稱軸，有，即，所以.......(2)由(1)(2)可得.所以.由，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.........................9分（Ⅱ）因為，所以，所以，.因為對于任意的，都有，所以.........................14分（21）（共15分）解：（Ⅰ）因為，所以，則.由得，又由得，所以.........................5分（Ⅱ）設(shè)，，其中.由，得，即或者或者，即不能同時為.由知有且僅有個，其余全為.當(dāng)時，中的個數(shù)為，則中必存在，使得，這與不能同時為矛盾.所以.當(dāng)時，令，，，滿足條件.所以的最大值為3.