第13章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明（高效培優(yōu)單元測(cè)試·提升卷）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的）1．下列四個(gè)圖中，線段是的高的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：根據(jù)三角形的高線定義可知，選項(xiàng)D中的線段是的高，故選：D2．如圖，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接．若，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：，，，，，故選：B．3．如圖，在中，，外角和的平分線交于點(diǎn)D，則的度數(shù)是（

）如A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵，∴，∴，∵和的平分線交于點(diǎn)D，∴，∴，故選：A．4．如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，那么這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（

）A．9 B．12 C．12或15 D．15【答案】D【詳解】解：一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，這個(gè)等腰三角形的三邊可以分別為或，又，，所以不能構(gòu)成三角形，可以構(gòu)成三角形，即這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是，故選：D．5．下列命題是真命題的是（

）A．兩個(gè)銳角之和一定是鈍角B．三角形的任意兩邊之和大于第三邊C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)D．三角形的重心是這個(gè)三角形的三條角平分線的交點(diǎn)【答案】B【詳解】解：A、兩個(gè)銳角之和不一定為鈍角，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；B、三角形的任意兩邊之和大于第三邊，正確，是真命題，符合題意；C、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；D、三角形的重心是這個(gè)三角形的三條邊上的中線的交點(diǎn)，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意．故選：B．6．如圖，在一副直角三角板中，兩塊三角板（和）各有一條直角邊與直線重合，，，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：，，，，，，，故選：B．7．如圖，在中，G是邊上任意一點(diǎn)，D、E、F分別是、、的中點(diǎn)，，則的值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【詳解】解：連接，如圖所示：∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴．故選：A．8．如圖所示的是可調(diào)躺椅的示意圖，與的交點(diǎn)為，且，，保持不變．為了舒適，需調(diào)整的大小，若使，則圖中應(yīng)減少（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由圖可知，，，，，，，，則圖中應(yīng)減少，故選：A．9．下列條件：在中，，都是銳角；在中，；在中，；的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比是，其中能確定是直角三角形的條件有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【詳解】解：在中，，都是銳角，則可能是銳角、鈍角、直角，不能確定是直角三角形，故不符合題意；在中，，；，解得：，能確定是直角三角形，故符合題意；在中，，，又，，，能確定是直角三角形，故符合題意；在的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比是，最大的角的度數(shù)是，不能確定是直角三角形，故不符合題意；綜上所述，能確定是直角三角形的條件有個(gè)．故選：B．10．如圖，在中，，分別是高和角平分線，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，，，，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；對(duì)于B選項(xiàng)，平分．，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)，，∴．，即，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；對(duì)于D選項(xiàng)，，．，故D選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：B．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，周長(zhǎng)為，則為【答案】【詳解】解：三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，周長(zhǎng)為，，解得，則三邊長(zhǎng)分別為，且滿足，三邊能構(gòu)成三角形.故答案為：．12．在中，若，則是（填“銳角三角形”“直角三角形”或“鈍角三角形”）【答案】直角三角形【詳解】解：中，，∴，∴，∴是直角三角形．故答案為：直角三角形．13．如圖，在中，是邊上的中線，的周長(zhǎng)是，的周長(zhǎng)是，則．【答案】【詳解】解：∵是的中線，∴，∴的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)，∴．故答案為：．14．若一個(gè)三角形的兩個(gè)銳角分別為與，如果，那么我們稱這個(gè)三角形是差余三角形，叫作三角形的差余角．（1）若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為，和，則這個(gè)三角形（填“是”或“不是”）差余三角形．（2）在中，是邊上一點(diǎn)，若是差余三角形，則的度數(shù)是．【答案】是【詳解】（1）∵，∴內(nèi)角分別為，和的三角形是差余三角形，故答案為：是．（2）∵，∴在中，和是銳角，∵，∴，∵是差余三角形，∴，即，∴，∴，故答案為：．三.解答題（本大題共9題，滿分90分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15．已知一個(gè)三角形兩條邊的長(zhǎng)分別為5，2，設(shè)第三條邊的長(zhǎng)為．(1)的取值范圍是___________．(2)若第三條邊的長(zhǎng)是奇數(shù)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．【詳解】（1）∵一個(gè)三角形兩條邊的長(zhǎng)分別為5，2，設(shè)第三條邊的長(zhǎng)為，∴，即，故答案為：．（2）第三邊的長(zhǎng)為奇數(shù)，且，第三邊的長(zhǎng)為5，三角形的周長(zhǎng)．16．如圖，在中，是角平分線，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)，重合），與交于點(diǎn)．(1)若是中線，，則與的周長(zhǎng)的差為_(kāi)__________．(2)若是的高，求的度數(shù)．【詳解】（1）解：是中線，，與的周長(zhǎng)的差為，故答案為：2．（2）解：是的高，，是的角平分線，，．17．如圖，平分的外角，且交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)若，，求的度數(shù)；(2)試猜想、、三個(gè)角之間存在的等量關(guān)系，并證明你的猜想．【詳解】（1）解：由條件可知，∵平分，∴，∴；（2）解：，理由如下：由條件可知，又∵，∴，即．18．如圖，在中，是射線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接．(1)如圖1，點(diǎn)在邊上，寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)如圖2，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上．當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：．理由：．，，．，．（2）解：．，，．，．，，解得，．19．如圖，在中，是角平分線，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)重合），連接交于點(diǎn)．(1)若是中線，，求與的周長(zhǎng)差；(2)若是高，，求的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)，∴與的周長(zhǎng)差為：，∵是的中線，∴，∵，∴，∴與的周長(zhǎng)差為1；（2）解：∵是的平分線，，∴，∵是的高，∴，∴．20．在中，已知的等分線與的等分線相交于點(diǎn)，試猜想：與的數(shù)量關(guān)系．（且為整數(shù)）(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，探究與的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系：________；(3)如圖3，猜想與的數(shù)量關(guān)系：________．（用含的式子表示）【詳解】（1）解：∵當(dāng)時(shí)，，∴；（2）解：∵當(dāng)時(shí)，，∴；故答案為：；（3）解：由可知，．故答案為：．21．新定義：在一個(gè)三角形中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“靈動(dòng)三角形”．如：三個(gè)內(nèi)角分別為，，的三角形是“靈動(dòng)三角形”．如圖，，在射線上找一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，以點(diǎn)為端點(diǎn)作射線，交線段于點(diǎn)．（規(guī)定）(1)的度數(shù)為_(kāi)_______，________（填“是”或“不是”）靈動(dòng)三角形；(2)若，求證：是“靈動(dòng)三角形”；(3)若是“靈動(dòng)三角形”，求的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴為“靈動(dòng)三角形”，故答案為：；是；（2）解:是“靈動(dòng)三角形”理由：∵，，∴，又，∴，∴是“靈動(dòng)三角形”；（3）解：∵為“靈動(dòng)三角形”，∵點(diǎn)在線段上，，∵，∴，Ⅰ、當(dāng)時(shí)，，∴，Ⅱ、當(dāng)時(shí)，∴∴此種情況不存在，Ⅲ、當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴，Ⅳ、當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴，Ⅴ、當(dāng)時(shí)，∴，∴，∵點(diǎn)與點(diǎn)不重合，∴此種情況不成立，Ⅵ、當(dāng)時(shí)，∴°，∴，∴此種情況不存在，綜上所述，當(dāng)為“靈動(dòng)三角形”時(shí)，的度數(shù)為或或．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，且滿足(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，軸，交線段BC于點(diǎn)N，求線段MN的長(zhǎng)；(3)若在x軸上存在一點(diǎn)P，連接，使得的面積是的2倍，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)．【詳解】（1），且，，解得，點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為；（2），，，又M是線段的中點(diǎn)，軸，，為中點(diǎn)，為的中位線，，所以線段MN的長(zhǎng)；（3）設(shè)，，又因?yàn)榈拿娣e是的2倍，所以，即，或解得或，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為或．23．如圖1，已知兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)沿射線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿射線運(yùn)動(dòng)．如圖2，點(diǎn)為三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，連接．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)在點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3，連接并延長(zhǎng)，與的鄰