2025年高考數(shù)學(xué)大題試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（共10題，每題2分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，則f(π/6)的值為（）

A.0

B.1/2

C.√3/2

D.1

2.在等差數(shù)列{an}中，a1=3，a5=11，則a7的值為（）

A.15

B.17

C.19

D.21

3.已知向量a=(2,3)，b=(1,-2)，則a·b的值為（）

A.-4

B.-2

C.2

D.4

4.函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.(-∞,-1)和(1,+∞)

B.(-1,1)

C.(-∞,0)和(1,+∞)

D.(0,1)

5.已知橢圓x2/4+y2/9=1，則其離心率為（）

A.1/2

B.1/3

C.√5/3

D.2/3

6.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z(1+i)=2，則|z|等于（）

A.1

B.√2

C.2

D.2√2

7.已知函數(shù)f(x)=e^x+e^{-x}，則f'(0)的值為（）

A.0

B.1

C.2

D.e

8.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，則sinC的值為（）

A.3/5

B.4/5

C.1

D.5/4

9.已知集合A={x|x2-3x+2<0}，B={x|x2-4x+3>0}，則A∩B=（）

A.(1,2)

B.(1,3)

C.(2,3)

D.(1,2)∪(2,3)

10.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,4)，則P(X>4)等于（）

A.0.025

B.0.05

C.0.1587

D.0.3174

二、填空題（共6題，每題2分，共12分）

11.已知函數(shù)f(x)=log?(x-1)，則f(5)的值為_(kāi)_______。

12.在等比數(shù)列{an}中，a1=2，a3=8，則公比q=________。

13.已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，則|a-b|=________。

14.已知函數(shù)f(x)=x2+2x+3，則f(x)的最小值為_(kāi)_______。

15.已知圓的方程為x2+y2-4x+6y-12=0，則該圓的半徑為_(kāi)_______。

16.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期為π，且f(0)=1/2，則φ的一個(gè)可能值為_(kāi)_______。

三、判斷題（共6題，每題2分，共12分）

17.函數(shù)f(x)=|x|在x=0處可導(dǎo)。（）

18.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有sin2x+cos2x=1。（）

19.若a>b>0，則log?b>0。（）

20.向量a與b垂直的充要條件是a·b=0。（）

21.函數(shù)f(x)=x3在R上是單調(diào)遞增的。（）

22.若事件A與B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)。（）

四、多項(xiàng)選擇題（共2題，每題2分，共4分）

23.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的有（）

A.f(x)=x2

B.f(x)=e^x

C.f(x)=lnx

D.f(x)=1/x

24.下列命題中正確的有（）

A.若a>b，則ac>bc

B.若a>b>0，則1/a<1/b

C.若a>b，則a2>b2

D.若a>b>0，則a3>b3

五、簡(jiǎn)答題（共2題，每題5分，共10分）

25.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+1，求：

(1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)函數(shù)的極值。

26.在△ABC中，已知a=5，b=6，C=60°，求：

(1)邊c的長(zhǎng)度；

(2)三角形的面積。

參考答案及解析

一、單項(xiàng)選擇題

1.答案：B

解析：f(π/6)=sin(2×π/6+π/3)=sin(π/3+π/3)=sin(2π/3)=sin(π-π/3)=sin(π/3)=√3/2。

2.答案：B

解析：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d。由a5=a1+4d=3+4d=11，解得d=2。因此a7=a1+6d=3+6×2=15。

3.答案：A

解析：向量點(diǎn)積公式為a·b=a1b1+a2b2=2×1+3×(-2)=2-6=-4。

4.答案：A

解析：求導(dǎo)得f'(x)=3x2-3=3(x2-1)。令f'(x)>0，得x2-1>0，即x<-1或x>1。所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1)和(1,+∞)。

5.答案：C

解析：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/a2+y2/b2=1，其中a>b，離心率e=√(1-b2/a2)。由題意知a2=9，b2=4，所以a=3，b=2。因此e=√(1-4/9)=√(5/9)=√5/3。

6.答案：B

解析：由z(1+i)=2，得z=2/(1+i)=2(1-i)/[(1+i)(1-i)]=2(1-i)/2=1-i。因此|z|=√(12+(-1)2)=√2。

7.答案：A

解析：求導(dǎo)得f'(x)=e^x-e^{-x}。因此f'(0)=e^0-e^0=1-1=0。

8.答案：C

解析：由a=3，b=4，c=5，可知a2+b2=9+16=25=c2，所以△ABC是直角三角形，且C=90°。因此sinC=sin90°=1。

9.答案：C

解析：解不等式x2-3x+2<0，得(x-1)(x-2)<0，所以A=(1,2)。解不等式x2-4x+3>0，得(x-1)(x-3)>0，所以B=(-∞,1)∪(3,+∞)。因此A∩B=(1,2)∩[(-∞,1)∪(3,+∞)]=(2,3)。

10.答案：A

解析：X服從正態(tài)分布N(2,4)，即均值μ=2，方差σ2=4，標(biāo)準(zhǔn)差σ=2。P(X>4)=P[(X-2)/2>(4-2)/2]=P[Z>1]，其中Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，P(Z>1)=1-P(Z≤1)=1-0.975=0.025。

二、填空題

11.答案：2

解析：f(5)=log?(5-1)=log?4=2，因?yàn)?2=4。

12.答案：2或-2

解析：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1·q^(n-1)。由a3=a1·q2=2·q2=8，得q2=4，所以q=2或q=-2。

13.答案：√8或2√2

解析：a-b=(1-3,2-4)=(-2,-2)，所以|a-b|=√[(-2)2+(-2)2]=√(4+4)=√8=2√2。

14.答案：2

解析：f(x)=x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+1)2+2。因?yàn)?x+1)2≥0，所以f(x)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào)。因此f(x)的最小值為2。

15.答案：5

解析：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：x2-4x+y2+6y=12，配方得(x2-4x+4)+(y2+6y+9)=12+4+9，即(x-2)2+(y+3)2=25。因此圓心為(2,-3)，半徑為5。

16.答案：π/6（答案不唯一）

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/ω=π，所以ω=2。又f(0)=sin(2×0+φ)=sinφ=1/2，所以φ=π/6+2kπ或φ=5π/6+2kπ，k∈Z。因此φ的一個(gè)可能值為π/6。

三、判斷題

17.答案：×

解析：函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的左導(dǎo)數(shù)為lim(h→0?)[f(0+h)-f(0)]/h=lim(h→0?)(|h|-0)/h=lim(h→0?)(-h)/h=-1；右導(dǎo)數(shù)為lim(h→0?)[f(0+h)-f(0)]/h=lim(h→0?)(|h|-0)/h=lim(h→0?)h/h=1。因?yàn)樽髮?dǎo)數(shù)不等于右導(dǎo)數(shù)，所以f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)。

18.答案：√

解析：根據(jù)三角恒等式，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有sin2x+cos2x=1。這是基本的三角恒等式，可以通過(guò)單位圓定義證明。

19.答案：×

解析：對(duì)數(shù)函數(shù)log?b的性質(zhì)：當(dāng)a>1時(shí)，若b>1，則log?b>0；若0<b<1，則log?b<0。當(dāng)0<a<1時(shí)，若b>1，則log?b<0；若0<b<1，則log?b>0。題目中a>b>0，但沒(méi)有說(shuō)明a和b的具體大小關(guān)系，所以不能確定log?b的符號(hào)。例如，當(dāng)a=2，b=1/2時(shí)，log?(1/2)=-1<0。

20.答案：√

解析：根據(jù)向量點(diǎn)積的性質(zhì)，兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是它們的點(diǎn)積a·b=0。如果a或b為零向量，則它們與任何向量都垂直，且點(diǎn)積也為0。因此，向量a與b垂直的充要條件是a·b=0。

21.答案：√

解析：求導(dǎo)得f'(x)=3x2。對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有x2≥0，所以f'(x)=3x2≥0，且f'(x)=0僅在x=0時(shí)成立。因此f(x)=x3在R上是單調(diào)遞增的。

22.答案：√

解析：根據(jù)概率的基本性質(zhì)，如果事件A與B互斥（即A∩B=?），則P(A∪B)=P(A)+P(B)。這是概率的加法公式。

四、多項(xiàng)選擇題

23.答案：A、B、C

解析：A.f(x)=x2，f'(x)=2x>0（當(dāng)x>0時(shí)），所以在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

B.f(x)=e^x，f'(x)=e^x>0，所以在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

C.f(x)=lnx，f'(x)=1/x>0（當(dāng)x>0時(shí)），所以在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

D.f(x)=1/x，f'(x)=-1/x2<0（當(dāng)x>0時(shí)），所以在(0,+∞)上單調(diào)遞減。

因此，正確答案為A、B、C。

24.答案：B、D

解析：A.不正確。當(dāng)c>0時(shí)，若a>b，則ac>bc；但當(dāng)c<0時(shí)，若a>b，則ac<bc；當(dāng)c=0時(shí)，ac=bc。

B.正確。因?yàn)閍>b>0，所以1/a和1/b都為正數(shù)，且1/a-1/b=(b-a)/(ab)<0（因?yàn)閎-a<0，ab>0），所以1/a<1/b。

C.不正確。例如，當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，a>b，但a2=1<4=b2。

D.正確。因?yàn)閍>b>0，所以a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0（因?yàn)閍-b>0，a2+ab+b2>0），所以a3>b3。

因此，正確答案為B、D。

五、簡(jiǎn)答題

25.答案：

(1)求導(dǎo)得f'(x)=3x2-6x+2。

令f'(x)=0，得3x2-6x+2=0，解得x=(6±√(36-24))/6=(6±√12)/6=(6±2√3)/6=1±(√3)/3。

設(shè)x?=1-(√3)/3，x?=1+(√3)/3。

當(dāng)x<x?時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)x?<x<x?時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)x>x?時(shí)，f'(x)>0。

因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1-(√3)/3)和(1+(√3)/3,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1-(√3)/3,1+(√3)/3)。

(2)由(1)可知，當(dāng)x=1-(√3)/3時(shí)，函數(shù)取得極大值；當(dāng)x=1+(√3)/3時(shí)，函數(shù)取得極小值。

極大值f(1-(√3)/3)=(1-(√3)/3)3-3(1-(√3)/3)2+2(1-(√3)/3)+1

=1-√3+(√3)2/3-(√3)3/27-3(1-2(√3)/3+(√3)2/9)+2-2(√3)/3+1

=1-√3+1/3-(3√3)/27-3+2√3-1+2-2(√3)/3+1

=1-√3+1/3-√3/9-3+2√3-1+2-2(√3)/3+1

=(1+1/3-3-1+2+1)+(-√3-√3/9+2√3-2(√3)/3)

=7/3+(-9√3/9-√3/9+18√3/9-6√3/9)

=7/3+2√3/9

=(21+2√3)/9

極小值f(1+(√3)/3)=(1+(√3)/3)3-3(1+(√3)/3)2+2(1+(√3)/3)+1

=1+√3+(√3)2/3+(√3)3/27-3(1+2(√3)/3+(√3)2/9)+2+2(√3)/3+1

=1+√3+1/3+(3√3)/27-3-2√3-1+2+2(√3)/3+1

=1+√3+1/3+√3/9-3-2√3-1+2+