第4章立體投影掌握平面立體和曲面立體的投影特性；學習繪制常見平面立體和曲面立體及表面上點的投影；會用素線法和緯圓法求曲面立體表面上點的投影?！緦W習目標】【學習重點】平面立體和曲面立體及表面上點的投影；緯圓法求曲面立體表面上點的投影。基本幾何體可分為平面立體和曲面立體。表面全由若干個平面所圍成的立體稱為平面立體，最常見的是棱柱和棱錐。表面由曲面或曲面和平面所圍成的立體稱為曲面立體，最常見的是圓柱、圓錐、球、圓環(huán)，如圖4-1所示。本章重點介紹這六種基本幾何體的投影及表面上點的投影。圖4-1基本幾何體平面立體4.1平面立體的各表面都是平面圖形，面與面的交線是棱線，棱線與棱線的交點為頂點。所以，在投影圖上表示平面立體就是把組成立體的平面和棱線表示出來，即研究這些平面、直線和點的投影并判斷可見性?？梢姷钠矫婊蚶饩€的投影(統(tǒng)稱為輪廓線)畫成粗實線；不可見的輪廓線畫成虛線；當粗實線與虛線重合時，應畫成粗實線。平面立體4.11.棱柱的投影棱柱有兩個平行的多邊形底面，所有側面均垂直于底面。一般用底面多邊形的邊數(shù)來區(qū)別和命名不同的棱柱。如果底面為六邊形，就稱為六棱柱；如果底面為正多邊形，就稱為正棱柱?！纠?-1】繪制圖4-2（a）所示的正六棱柱的三面投影。4.1.1棱柱的投影及其表面上的點圖4-2正六棱柱的投影分析：按圖4-2（a）所示正六棱柱的放置方式(注意：不同的放置方式得到的投影圖是不同的)，其上、下底面為水平面，水平投影為反映實形的六邊形，正面和側面投影均積聚為直線段。在六個側面中，前、后側面為正平面，正面投影反映實形，水平投影和側面投影均積聚為直線；其余四個側面為鉛垂面，水平投影積聚為直線段，正面投影和側面投影為類似形。作圖：(1)畫出上、下底面的投影。上、下底面均為水平面，水平投影反映實形，且上、下底面重合，如圖4-2（b）所示；其正面投影和側面投影分別積聚為兩條平行線段，其垂直距離為棱柱的高度。(2）畫前、后側面投影。前、后側面在正面投影反映實形，為一個矩形，其水平投影積聚為直線段并與正六邊形的邊重合，側面投影積聚為直線段并與棱柱高度相同。（3）畫四個鉛垂面的投影。其水平投影積聚為直線段并與正六邊形的邊重合，正面投影和側面投影為類似形。（4）判別可見性。在圖4-2（b）中，由于六棱柱前后、左右面均對稱，不可見的交線的投影與可見的交線重合，因而細虛線被粗實線所遮擋。小提示：從本章開始，投影圖中不再畫投影軸，但各點的三面投影仍遵守正投影規(guī)律；水平投影和側面投影可通過作45°輔助線或用分規(guī)量取距離的方法來滿足寬相等的規(guī)律。2.棱柱表面上的點棱柱表面取點的方法與平面上取點的方法相同。但要注意，首先要根據(jù)點的可見性判斷其所在平面，而棱柱的平面都是特殊位置平面，直接利用其投影的積聚性作圖，即可求出點在平面上的投影并判別可見性。【例4-2】如圖4-3（a）所示，已知六棱柱表面上點M的正面投影和點N的水平投影，求其另兩面投影并判別可見性。圖4-3六棱柱表面上的點分析：由圖4-3（a）可知，由于m′可見，點M在左前棱面上，該棱面為鉛垂面，水平投影積聚，因此，點M的水平投影m必在其積聚投影上，然后根據(jù)m′和m即可求出m″。由于點N的水平投影n不可見，因而，點N在下底面上，該面的正面投影和側面投影都積聚，因此，點N的正面投影n′和側面投影n″在下底面的積聚投影上。作圖：如圖4-3（b）所示。(1)從m′向H面作投影連線，與左前棱面的水平投影相交求得m，由m和m′求得m″。(2)從n向V面作投影連線，與下底面的正面投影相交求得n′，由n借助45°輔助線求得n″。(3)判別可見性?？梢娦耘袆e原則是，若點所在面的投影可見(或有積聚性)，則點的投影也可見。由此可知m和m″、n′和n″均可見。平面立體4.11.棱錐的投影棱錐是由一個多邊形底面和若干三角形棱面圍成的，這些三角形棱面有一個公共的頂點，稱為錐頂。棱錐頂點到底面的距離稱為棱錐的高。當棱錐底面為正多邊形并且各棱面是全等的等腰三角形時，則稱為正棱錐。為了作圖方便，在畫棱錐體的三視圖時，將底面平行于某一投影面?！纠?-3】繪制圖4-4（a）所示的正三棱錐的三面投影。4.1.2棱錐的投影及其表面上的點圖4-4正三棱錐的投影分析：此三棱錐底面△ABC平行于H面，其水平投影反映實形，另外兩個投影積聚成一條水平直線。棱面△SAC、△SAB和△SBC為一般位置平面，三面投影均為類似形。作圖：（1）畫出底面△ABC的水平投影及有積聚性的其他兩個投影，并確定頂點的三面投影，如圖4-4（b）所示。（2）畫出各棱線并加深，如圖4-4（c）所示。2.棱錐表面上的點棱錐表面取點的方法與棱柱表面上的點的求解方法相似。棱柱棱面上的點可利用平面積聚性作出，但棱錐面需要先判斷點所在的平面是否是特殊平面，若不是特殊平面則需要引輔助線，先求出輔助直線的投影，然后根據(jù)投影規(guī)律求出點的投影并判別可見性?！纠?-4】如圖4-5（a）所示，已知三棱錐表面上點M的正面投影和點N的水平投影，求點M、N的另兩面投影并判別可見性。圖4-5棱錐表面上的點分析：點M在一般位置平面SAB上，可以用輔助線法求得另兩個投影。因為面SAC為側垂面，其側面投影積聚為一直線，所以點N的側面投影也必在此線上。作圖：如圖4-5（b）所示。(1)過s′m′引輔助線s′1′，再求出SI的水平投影s1和側面投影s″1″，根據(jù)點在直線上存在的條件和投影規(guī)律求出m和m″。(2)由寬相等在s″a″(c″)上得到n″，再由n和n″求出n′。(3)判別可見性。因為棱面SAB在三個投影面的投影均可見，所以，點M的三個投影均可見。而棱面SAC在V面的投影不可見，所以n′不可見。曲面立體4.2曲面立體的曲面是母線（直線或曲線）繞一軸線做回轉運動而形成的，如圖4-6所示。曲面上任一位置的母線稱為素線，母線上每一點的運動軌跡都是圓，稱為緯圓，緯圓平面垂直于回轉軸線。畫曲面立體的投影，通常要畫出軸線的投影和回轉面轉向輪廓線的投影。所謂轉向輪廓線，即投射線與回轉面切點的集合，是可見表面與不可見表面的分界線。圖4-6曲面立體的形成平面立體4.21.圓柱的形成及投影圓柱面可以看作一條母線繞著和它平行的軸線旋轉而成的。圓柱面上任意一條平行于軸線的直線稱為圓柱面的素線。在投影圖中處于輪廓線位置的素線稱為輪廓素線。如圖4-7（a）所示，圓柱體的軸線為鉛垂線，圓柱體的上、下底面均為水平面，水平投影為反映實形的圓，另兩個投影積聚成直線。圓柱面的水平投影積聚成一個圓，其正面投影和側面投影的輪廓線則為圓柱分別在左、右、前、后方向上輪廓素線的投影。由此可見，圓柱有兩面投影是全等的矩形，另一面投影是圓，如圖4-7（b）所示。4.2.1圓柱的形成、投影及其表面上的點圖4-7圓柱的投影在畫圖時，應先畫中心線及軸線，再畫投影是圓的投影，最后畫投影是矩形的投影。提示：軸線豎直放置的圓柱正面投影上的前后轉向輪廓線，在側面投影上應與軸線重合，不需要繪出。同理，左、右轉向輪廓線的正面投影與正面投影中的軸線重合，也不需要畫出。2.圓柱表面上的點在圓柱表面取點可以利用其投影的積聚性來作圖。【例4-5】如圖4-8（a）所示，已知圓柱面上兩點M、N的正面投影m′和（n′），求點M、N的水平投影和側面投影并判別可見性。圖4-8圓柱表面上的點分析：由于圓柱面的水平投影積聚性成圓，因而圓柱面上的點M、N的水平投影也在該圓上，在求出m、n后按投影規(guī)律求其側面投影。作圖：如圖4-8（b）所示。（1）求點M的投影。m′向水平圓周作投影線，由于m′可見，故判定點M在左前圓柱面上，取前半圓柱上的交點m；由m′向側面作投影線，根據(jù)寬相等得到m″。(2）求點N的投影。從（n′）向水平圓周作投影線，由于n′不可見，故點N在右后圓柱面上，取后半圓上的交點n；由n′向側面作投影線，根據(jù)寬相等得到n″。（3）判別可見性。由于點M在左前圓柱面上，因而m和m″均可見；點N在右后圓柱面上，所以其側面投影n″不可見，水平投影n可見。平面立體4.21.圓錐的形成及投影圓錐體表面有圓錐面和底面，圓錐面可以看作一條直母線繞著和它相交的軸線旋轉而成，所以圓錐的素線是通過錐頂?shù)闹本€。如圖4-9（a）所示的圓錐，其軸線垂直于水平投影面，圓錐的水平投影是圓，該圓既是圓錐面的投影，又是底面圓的實形投影；正面投影和側面投影是全等的等腰三角形，兩腰是圓錐面上左右或前后方向上輪廓素線的投影，底邊是底面圓的積聚性投影，如圖4-9（b）所示。在畫圖時，應先畫中心線及軸線，再畫投影為圓的投影，最后畫投影為等腰三角形的投影。4.2.2圓錐的形成、投影及其表面上的點圖4-9圓錐的投影2.圓錐表面上的點求圓錐表面上的點可以用素線法和緯圓法?！纠?-6】如圖4-10（a）所示，已知圓錐面上點M的正面投影m′和點N的水平投影n，求點M、N的另兩面投影并判別可見性。圖4-10圓錐表面上的點圖4-10圓錐表面上的點分析：由于圓錐面在三面投影中均沒有積聚性，因此需要過點作輔助線，求出輔助線的三面投影，然后在輔助線的投影上確定點的投影。輔助線可以是圓錐的素線或緯圓，因而，該方法也稱為素線法或緯圓法。作圖：（1）方法一：用素線法求解。先連接s′m′并延長交底邊于l′得s′l′，再求出sl,再利用直線上點的從屬性求出m，最后利用點的投影規(guī)律求出m″。（2）方法二：用緯圓法求解。過n作緯圓的水平投影，此水平緯圓與底面圓同心，其正面投影和側面投影為垂直于軸線的直線，長度與緯圓直徑相等，n′和n″在此直線上。平面立體4.21.圓球的形成及投影球是由球面圍成的實體，球面可以看作一圓繞通過圓心的軸線（直徑）旋轉而成。球的前后、左右、上下轉向輪廓線均是圓，且只在一個投影中表達，另兩面投影與中心線重合不畫出，所以，球的三面投影都是圓，直徑與圓球直徑相等，如圖4-11（a）所示。在畫圖時，應先畫中心線及軸線，再畫圓球的轉向輪廓線，即三個大小相等的圓，如圖4-11（b）所示。4.2.3圓球的形成、投影及其表面上的點圖4-11圓球的投影2.球面上的點在圓球表面求點，可以用緯圓法。球面的緯圓可以是平行于V面、H面、W面的緯圓?！纠?-7】如圖4-12（a）所示，已知球面上點M的正面投影m′，求其另兩面投影并判別可見性。圖4-12圓球表面上的點分析：由于球面在三個投影面上都沒有積聚性，因而需要作輔助線，輔助線即是緯圓，如圖4-12（b）所示，以平行于H面的緯圓為例。作圖：（1）過點m′作水平線，分別與圓球的正面投影和側面投影的輪廓線相交得一直線段，以水平投影圓的圓心為圓心，以此線段長度為直徑，畫出反映緯圓實形的水平投影圓。（2）根據(jù)點的投影規(guī)律，分別在緯圓的水平投影和側面投影上確定m和m″。（3）從正面投影可以看出，點M在右前半球上，因此m是可見的，m″則不可見。提示：本題也可以采用平行于V面或W面的緯圓，不同之處在于要在正面和側面上畫同心圓，也就是選用平行于哪個面的緯圓就在哪個面上畫該面投影圓的同心圓。平面立體4.21.圓環(huán)的形成及投影如圖4-13（a）所示，圓環(huán)可以看成是由一圓母線繞圓外軸線(軸線與圓在一個平面上)旋轉一周形成的。母線上任一點的軌跡稱為圓環(huán)的緯圓。遠離軸線的半圓形成外環(huán)面，距軸線較近的半圓形成內環(huán)面。

圖4-13(b)所示為圓環(huán)的投影圖。在正面投影中，左、右兩圓及與之相切的兩段直線是圓環(huán)面的正面投影的轉向輪廓線。其中，兩圓是圓環(huán)面上最左、最右兩素線的投影，實線半圓在外環(huán)面上，虛線半圓在內環(huán)面上(被前半外環(huán)面擋住，故畫成虛線）。上、下兩段直線是內、外環(huán)面的兩個分界圓的投影。在正面投影圖中，外環(huán)面的前半部可見，后半部不可見，內環(huán)面均不可見。在水平投影中，圓環(huán)水平投影的轉向輪廓線為兩個同心圓，上表面在水平投影中可見，下表面在水平投影中不可見。點畫線圓為母線圓中心軌跡的投影。4.2.4圓環(huán)的形成、投影及其表面上的點圖4-13圓環(huán)的形成及投影2.圓環(huán)面上的點同球表面一樣，圓環(huán)面的投影沒有積聚性。因此，在圓環(huán)表面上求作點時，需通過在圓環(huán)表面上作與軸線垂直的緯圓，然后利用緯圓法求作圓環(huán)表面上點的投影?！纠?-8】如圖4-14(a)所示，已知圓環(huán)面上點K的水平投影k，試求它的另兩面投影。分析：由點K的水平投影k可知，點K在上半圓環(huán)面上。用緯圓法來求解k′和k″。作圖：(1)如圖4-14(b)所示，在水平投影上以O為圓心、以Ok長為半徑作圓，即得k點所在的緯圓的水平投影。作出的緯圓的正面投影和側面投影均為直線，且可以作出上、下兩條直線，因為k可見，所以取上面的直線。(2)根據(jù)點的三面投影規(guī)律就可作出k′和k″，因為K在內環(huán)面，所以k′和k″均不可見。圖4-14圓環(huán)面上的點本章小結本章講述了常見平面立體和曲面立體的投影知識與表面取點方法，基本立體的投影是后續(xù)章節(jié)的基礎，