一、知識(shí)鋪墊：二次函數(shù)的基本性質(zhì)與對(duì)稱(chēng)軸演講人CONTENTS知識(shí)鋪墊：二次函數(shù)的基本性質(zhì)與對(duì)稱(chēng)軸核心探究：二次函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后的表達(dá)式與對(duì)稱(chēng)軸實(shí)例驗(yàn)證與規(guī)律總結(jié)易錯(cuò)點(diǎn)分析與針對(duì)性練習(xí)總結(jié)與升華目錄2025九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)二次函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后的對(duì)稱(chēng)軸課件各位同學(xué)，今天我們要共同探索一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：二次函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，其對(duì)稱(chēng)軸會(huì)發(fā)生怎樣的變化？作為陪伴大家三年的數(shù)學(xué)老師，我始終相信，數(shù)學(xué)的魅力不僅在于公式的推導(dǎo)，更在于通過(guò)觀(guān)察、猜想、驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)隱藏在圖像變換中的規(guī)律。這節(jié)課，我們將從最基礎(chǔ)的二次函數(shù)性質(zhì)出發(fā)，逐步深入，揭開(kāi)“對(duì)稱(chēng)變換后對(duì)稱(chēng)軸”的神秘面紗。01知識(shí)鋪墊：二次函數(shù)的基本性質(zhì)與對(duì)稱(chēng)軸知識(shí)鋪墊：二次函數(shù)的基本性質(zhì)與對(duì)稱(chēng)軸要解決“關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后的對(duì)稱(chēng)軸”問(wèn)題，首先需要回顧二次函數(shù)的核心特征——對(duì)稱(chēng)軸。這是我們后續(xù)分析的“地基”。1二次函數(shù)的三種表達(dá)式及對(duì)稱(chēng)軸公式二次函數(shù)是九年級(jí)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，其表達(dá)式通常有三種形式：一般式：(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)(x=-\frac{2a})；頂點(diǎn)式：(y=a(x-h)^2+k)（(a\neq0)），其中((h,k))是頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)(x=h)；交點(diǎn)式：(y=a(x-x_1)(x-x_2))（(a\neq0)，(x_1,x_2)為圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)），對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)(x=\frac{x_1+x_2}{2})。三種表達(dá)式本質(zhì)相通，頂點(diǎn)式因直接體現(xiàn)頂點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)軸，在分析圖像變換時(shí)更為直觀(guān)。例如，函數(shù)(y=2(x-3)^2+5)的對(duì)稱(chēng)軸是(x=3)，頂點(diǎn)為((3,5))。2圖像變換中的“對(duì)稱(chēng)”概念數(shù)學(xué)中的“對(duì)稱(chēng)”是一種重要的幾何變換，常見(jiàn)的有關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)。其中：關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)：點(diǎn)((x,y))變?yōu)?(x,-y))，圖像上下翻轉(zhuǎn)；關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)：點(diǎn)((x,y))變?yōu)?(-x,y))，圖像左右翻轉(zhuǎn)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：點(diǎn)((x,y))變?yōu)?(-x,-y))，圖像既左右翻轉(zhuǎn)又上下翻轉(zhuǎn)，相當(dāng)于先關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，再關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)（或順序調(diào)換）。以一次函數(shù)(y=x)為例，其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖像是(y=x)（自身對(duì)稱(chēng)），而(y=2x+1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖像是(y=2x-1)（可通過(guò)代入((-x,-y))驗(yàn)證：(-y=2(-x)+1\Rightarrowy=2x-1)）。這說(shuō)明，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的本質(zhì)是“點(diǎn)坐標(biāo)的雙反變換”。02核心探究：二次函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后的表達(dá)式與對(duì)稱(chēng)軸核心探究：二次函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后的表達(dá)式與對(duì)稱(chēng)軸現(xiàn)在，我們進(jìn)入本節(jié)課的核心：當(dāng)二次函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，如何推導(dǎo)其新的表達(dá)式？新圖像的對(duì)稱(chēng)軸與原對(duì)稱(chēng)軸有何關(guān)系？1從“點(diǎn)對(duì)稱(chēng)”到“函數(shù)表達(dá)式”的推導(dǎo)設(shè)原二次函數(shù)為(y=f(x))，其圖像上任意一點(diǎn)(P(x,y))關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(P'(-x,-y))。由于(P')在對(duì)稱(chēng)后的新圖像上，因此新圖像的函數(shù)表達(dá)式滿(mǎn)足(-y=f(-x))，即(y=-f(-x))。具體到二次函數(shù)的一般式：原函數(shù)(y=ax^2+bx+c)，則對(duì)稱(chēng)后的函數(shù)為：(y=-[a(-x)^2+b(-x)+c]=-[ax^2-bx+c]=-ax^2+bx-c)。用頂點(diǎn)式驗(yàn)證：1從“點(diǎn)對(duì)稱(chēng)”到“函數(shù)表達(dá)式”的推導(dǎo)原函數(shù)頂點(diǎn)式(y=a(x-h)^2+k)，頂點(diǎn)為((h,k))。對(duì)稱(chēng)后，頂點(diǎn)((h,k))變?yōu)?(-h,-k))，且開(kāi)口方向反轉(zhuǎn)（(a)變?yōu)?-a)），因此新函數(shù)為(y=-a(x+h)^2-k)。展開(kāi)后為(y=-a(x^2+2hx+h^2)-k=-ax^2-2ahx-ah^2-k)，與一般式推導(dǎo)結(jié)果一致（(-ax^2+bx-c)中，(b=-2ah)，(c=ah^2+k)）。2對(duì)稱(chēng)后函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸計(jì)算我們分別用一般式和頂點(diǎn)式計(jì)算新函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，觀(guān)察其與原對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系。2對(duì)稱(chēng)后函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸計(jì)算2.1基于一般式的推導(dǎo)1原函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸：(x=-\frac{2a})；2新函數(shù)(y=-ax^2+bx-c)的對(duì)稱(chēng)軸為：3(x=-\frac{b_{新}}{2a_{新}}=-\frac{2(-a)}=\frac{2a})。4對(duì)比原對(duì)稱(chēng)軸(-\frac{2a})，新對(duì)稱(chēng)軸為(\frac{2a})，即兩者互為相反數(shù)。2對(duì)稱(chēng)后函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸計(jì)算2.2基于頂點(diǎn)式的推導(dǎo)原函數(shù)頂點(diǎn)式(y=a(x-h)^2+k)，對(duì)稱(chēng)軸(x=h)；新函數(shù)頂點(diǎn)式(y=-a(x+h)^2-k)，對(duì)稱(chēng)軸為(x=-h)。顯然，新對(duì)稱(chēng)軸(x=-h)與原對(duì)稱(chēng)軸(x=h)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（在數(shù)軸上，(h)和(-h)到原點(diǎn)的距離相等，方向相反）。結(jié)論：二次函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，新圖像的對(duì)稱(chēng)軸是原對(duì)稱(chēng)軸關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)，即若原對(duì)稱(chēng)軸為(x=h)，則新對(duì)稱(chēng)軸為(x=-h)。03實(shí)例驗(yàn)證與規(guī)律總結(jié)實(shí)例驗(yàn)證與規(guī)律總結(jié)為了確保結(jié)論的普適性，我們通過(guò)具體實(shí)例驗(yàn)證，并總結(jié)變換中的關(guān)鍵規(guī)律。1實(shí)例1：頂點(diǎn)式函數(shù)的對(duì)稱(chēng)變換原函數(shù)：(y=2(x-3)^2+4)（開(kāi)口向上，頂點(diǎn)((3,4))，對(duì)稱(chēng)軸(x=3)）。01對(duì)稱(chēng)后的函數(shù)：頂點(diǎn)變?yōu)?(-3,-4))，開(kāi)口向下（(a=-2)），因此新函數(shù)為(y=-2(x+3)^2-4)。02新對(duì)稱(chēng)軸：(x=-3)（原對(duì)稱(chēng)軸(x=3)的相反數(shù)）。03圖像驗(yàn)證：在坐標(biāo)系中畫(huà)出原函數(shù)和新函數(shù)，原拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在右側(cè)（(x=3)），對(duì)稱(chēng)后頂點(diǎn)在左側(cè)（(x=-3)），對(duì)稱(chēng)軸自然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。042實(shí)例2：一般式函數(shù)的對(duì)稱(chēng)變換原函數(shù)：(y=x^2+2x-1)（整理為頂點(diǎn)式：(y=(x+1)^2-2)，對(duì)稱(chēng)軸(x=-1)）。新對(duì)稱(chēng)軸：用一般式計(jì)算(x=-\frac{2a}=-\frac{2}{2(-1)}=1)（原對(duì)稱(chēng)軸(x=-1)的相反數(shù)）。對(duì)稱(chēng)后的函數(shù)：根據(jù)(y=-f(-x))，代入得(y=-[(-x)^2+2(-x)-1]=-[x^2-2x-1]=-x^2+2x+1)。代數(shù)驗(yàn)證：原函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸(x=-1)，新函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸(x=1)，滿(mǎn)足(x=-(-1)=1)，與結(jié)論一致。23413規(guī)律總結(jié)：對(duì)稱(chēng)軸變換的本質(zhì)通過(guò)上述推導(dǎo)和實(shí)例，我們可以將規(guī)律提煉為：二次函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的變換，本質(zhì)是對(duì)原函數(shù)的“雙反操作”——自變量(x)取反（左右翻轉(zhuǎn)），因變量(y)取反（上下翻轉(zhuǎn)）。這種變換會(huì)導(dǎo)致頂點(diǎn)坐標(biāo)((h,k))變?yōu)?(-h,-k))，而對(duì)稱(chēng)軸由頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)決定，因此新對(duì)稱(chēng)軸為原對(duì)稱(chēng)軸的相反數(shù)。04易錯(cuò)點(diǎn)分析與針對(duì)性練習(xí)易錯(cuò)點(diǎn)分析與針對(duì)性練習(xí)在學(xué)習(xí)過(guò)程中，同學(xué)們?nèi)菀自诜?hào)處理和變換邏輯上出錯(cuò)，以下是常見(jiàn)問(wèn)題及解決方法。1常見(jiàn)易錯(cuò)點(diǎn)符號(hào)混淆：在推導(dǎo)對(duì)稱(chēng)后的函數(shù)表達(dá)式時(shí)，忘記對(duì)(x)和(y)同時(shí)取反，例如僅對(duì)(x)取反（關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)）或僅對(duì)(y)取反（關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)）。頂點(diǎn)坐標(biāo)變換錯(cuò)誤：誤認(rèn)為頂點(diǎn)((h,k))關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后是((h,-k))或((-h,k))，忽略了“原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)”需同時(shí)改變橫、縱坐標(biāo)的符號(hào)。對(duì)稱(chēng)軸公式應(yīng)用錯(cuò)誤：在計(jì)算新函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，誤用原函數(shù)的(a)和(b)，未注意到新函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)(a)已變?yōu)?-a)，一次項(xiàng)系數(shù)(b)可能變?yōu)?b)（如一般式推導(dǎo)中的(-ax^2+bx-c)）。2針對(duì)性練習(xí)練習(xí)1：已知原函數(shù)(y=-3(x-2)^2+5)，求其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后的函數(shù)表達(dá)式及對(duì)稱(chēng)軸。解答：對(duì)稱(chēng)后頂點(diǎn)為((-2,-5))，開(kāi)口方向反轉(zhuǎn)（(a=3)），新函數(shù)為(y=3(x+2)^2-5)，對(duì)稱(chēng)軸為(x=-2)（原對(duì)稱(chēng)軸(x=2)的相反數(shù)）。練習(xí)2：原函數(shù)(y=2x^2-4x+1)，求關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后的函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸。解答：原函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸(x=-\frac{-4}{2\times2}=1)；對(duì)稱(chēng)后函數(shù)為(y=-2(-x)^2+4(-x)-1=-2x^2-4x-1)，新對(duì)稱(chēng)軸(x=-\frac{-4}{2\times(-2)}=-\frac{4}{4}=-1)（原對(duì)稱(chēng)軸(x=1)的相反數(shù)）。2針對(duì)性練習(xí)練習(xí)3：若二次函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后的對(duì)稱(chēng)軸為(x=5)，求原函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸。解答：根據(jù)規(guī)律，原對(duì)稱(chēng)軸為(x=-5)（新對(duì)稱(chēng)軸的相反數(shù)）。05總結(jié)與升華總結(jié)與升華同學(xué)們，今天我們通過(guò)“觀(guān)察-猜想-推導(dǎo)-驗(yàn)證”的科學(xué)探究方法，解決了二次函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后的對(duì)稱(chēng)軸問(wèn)題。核心結(jié)論可以概括為：二次函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，新圖像的對(duì)稱(chēng)軸是原對(duì)稱(chēng)軸關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)，即若原對(duì)稱(chēng)軸為(x=h)，則新對(duì)稱(chēng)軸為(x=-h)。這一結(jié)論的本質(zhì)是原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)變換對(duì)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的“符號(hào)反轉(zhuǎn)”。從知識(shí)層面看，它串聯(lián)了二次函數(shù)的表達(dá)式、頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸等核心概念；從能力層面看，它培養(yǎng)了我們用代數(shù)方法分析幾何變換的思維，這是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要體現(xiàn)?；仡櫿n堂，我們從最基礎(chǔ)的對(duì)稱(chēng)軸公式出發(fā)，逐步推導(dǎo)變換后的表達(dá)式，再通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證規(guī)律，最后總結(jié)易錯(cuò)點(diǎn)。希望同學(xué)們不僅記住結(jié)論，更要理解“如何從點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)推導(dǎo)出