一、和差問題的認(rèn)知基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)價(jià)值演講人01.02.03.04.05.目錄和差問題的認(rèn)知基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)價(jià)值和差問題建模的核心步驟典型例題與分層訓(xùn)練和差問題建模的思維升華總結(jié)與作業(yè)布置2025七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)和差問題建模步驟課件作為一名深耕初中數(shù)學(xué)教學(xué)十余年的一線教師，我始終認(rèn)為，數(shù)學(xué)的魅力不僅在于解題本身，更在于通過建模思維將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的過程。和差問題作為七年級(jí)上冊(cè)“一元一次方程”章節(jié)的核心題型，是學(xué)生首次系統(tǒng)接觸“數(shù)學(xué)建?！彼枷氲闹匾d體。今天，我將結(jié)合教學(xué)實(shí)踐與學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，從“為何學(xué)—學(xué)什么—怎么學(xué)”三個(gè)維度，為大家詳細(xì)解析和差問題的建模步驟。01和差問題的認(rèn)知基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)價(jià)值1什么是和差問題？和差問題是指已知兩個(gè)數(shù)的“和”與“差”，求這兩個(gè)數(shù)的一類典型應(yīng)用題。其數(shù)學(xué)本質(zhì)是通過建立方程（組），將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式。例如：“小明和小紅共有20支鉛筆，小明比小紅多4支，兩人各有多少支？”這里“20支”是兩數(shù)之和，“4支”是兩數(shù)之差，求兩人各自的數(shù)量即為和差問題。2為什么要學(xué)習(xí)和差問題？從知識(shí)體系看，和差問題是“一元一次方程”應(yīng)用的基礎(chǔ)模型，后續(xù)學(xué)習(xí)的和倍、差倍、年齡、行程等問題均以此為邏輯起點(diǎn)；從思維發(fā)展看，它要求學(xué)生從“算術(shù)逆向思維”向“方程正向建?！边^渡，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)；從生活應(yīng)用看，類似“分物品”“算年齡差”“分配任務(wù)”等場(chǎng)景均需此類模型，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活”的核心素養(yǎng)。我曾在教學(xué)中觀察到，部分學(xué)生初次接觸時(shí)會(huì)困惑：“用算術(shù)法直接（和+差）÷2=大數(shù)，（和-差）÷2=小數(shù)，為什么還要學(xué)方程？”這正是需要教師引導(dǎo)的關(guān)鍵點(diǎn)——算術(shù)法是結(jié)果導(dǎo)向的技巧，而方程建模是過程導(dǎo)向的思維工具。前者適用于簡(jiǎn)單問題，后者則能解決更復(fù)雜的變量關(guān)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)二元一次方程組、函數(shù)等內(nèi)容奠定基礎(chǔ)。02和差問題建模的核心步驟和差問題建模的核心步驟建模的本質(zhì)是“翻譯”：將生活語言中的“和”“差”關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)中的“等式”。結(jié)合七年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，我將建模過程拆解為“五步流程”，每一步都需重點(diǎn)突破學(xué)生的常見誤區(qū)。1第一步：審題——精準(zhǔn)提取“和”與“差”審題是建模的起點(diǎn)，關(guān)鍵在于識(shí)別題目中的“和”與“差”。學(xué)生常犯的錯(cuò)誤是：混淆“和”與“總量”：如“兩人共有20支筆”是和，“兩人3年后的年齡和”需考慮時(shí)間變化；誤判“差”的方向：如“小明比小紅多4支”是小明=小紅+4，而“小紅比小明少4支”本質(zhì)相同，但表述方向不同；忽略隱含條件：如“兄弟倆的年齡差始終不變”“物品分配時(shí)總數(shù)不變”等隱藏的和或差。教學(xué)中，我會(huì)要求學(xué)生用“劃關(guān)鍵詞法”：用“△”標(biāo)出“和”（如“共”“總共”“合計(jì)”），用“○”標(biāo)出“差”（如“比…多”“比…少”“大”“小”）。例如題目：“甲、乙兩筐蘋果共重50千克，甲筐比乙筐重8千克，兩筐各重多少千克？”學(xué)生需劃出“共50千克”（和）和“比…重8千克”（差）。2第二步：設(shè)元——合理選擇變量1設(shè)元是將“未知量”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)符號(hào)”的過程。七年級(jí)學(xué)生常糾結(jié)于“設(shè)哪個(gè)量為x”，我的經(jīng)驗(yàn)是遵循“兩原則”：2就近原則：設(shè)較小的數(shù)或“比”字后的量為x（如“甲比乙多”，設(shè)乙為x，則甲為x+差），可避免出現(xiàn)負(fù)數(shù)；3簡(jiǎn)潔原則：通常設(shè)一個(gè)未知數(shù)即可解決和差問題（兩數(shù)和差已知時(shí)，兩數(shù)可表示為x和和-x，或x和x+差）。4例如，上述蘋果問題中，設(shè)乙筐為x千克，則甲筐為x+8千克（根據(jù)差）；或設(shè)甲筐為x千克，則乙筐為x-8千克。兩種方法均可，但前者更符合學(xué)生“從小到大”的思維習(xí)慣，減少計(jì)算錯(cuò)誤。3第三步：列方程——建立“和”的等式和差問題的核心等式是“兩數(shù)之和=已知和”。學(xué)生需明確：無論設(shè)哪個(gè)量為x，另一個(gè)量都可通過“和”或“差”表示，最終代入“和”的等式即可。以蘋果問題為例：若設(shè)乙筐為x，則甲筐為x+8，根據(jù)“和為50”列方程：x+(x+8)=50；若設(shè)甲筐為x，則乙筐為x-8，列方程：x+(x-8)=50。需強(qiáng)調(diào)：方程的本質(zhì)是“等量關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)”，這里的“和”是唯一的等量關(guān)系，需準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)題目中的總量。4第四步：解方程——規(guī)范運(yùn)算過程解方程是數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的體現(xiàn)。七年級(jí)學(xué)生需注意：1去括號(hào)（若有）：如x+x+8=50，合并同類項(xiàng)得2x+8=50；2移項(xiàng)變號(hào)：2x=50-8→2x=42；3系數(shù)化為1：x=21（乙筐），則甲筐為21+8=29千克。4教學(xué)中，我會(huì)要求學(xué)生“一步一檢查”：合并同類項(xiàng)是否正確？移項(xiàng)是否變號(hào)？計(jì)算結(jié)果是否符合實(shí)際（如重量不能為負(fù)數(shù)）。55第五步：檢驗(yàn)——確保答案合理性01檢驗(yàn)是建模的重要閉環(huán)，學(xué)生常忽略此步驟，導(dǎo)致“會(huì)列方程但答案錯(cuò)誤”。檢驗(yàn)需從兩方面入手：03實(shí)際檢驗(yàn)：答案是否符合生活常識(shí)（如蘋果重量為正數(shù)，年齡差合理等）。04我曾遇到學(xué)生解出“小紅有-3支鉛筆”的情況，正是因?yàn)槲礄z驗(yàn)實(shí)際意義，這提醒我們：數(shù)學(xué)建模不僅要“解對(duì)”，更要“解合理”。02數(shù)學(xué)檢驗(yàn)：將解代入原方程，驗(yàn)證等式是否成立（如21+29=50，29-21=8，均符合）；03典型例題與分層訓(xùn)練1基礎(chǔ)例題：純數(shù)量關(guān)系問題例題1：七年級(jí)（1）班共有學(xué)生48人，男生比女生多6人，求男、女生人數(shù)。01建模過程：02審題：和=48，差=6（男比女多）；03設(shè)元：設(shè)女生為x人，則男生為x+6人；04列方程：x+(x+6)=48；05解方程：2x=42→x=21（女生），男生=27人；06檢驗(yàn)：21+27=48，27-21=6，符合條件。072變式例題：生活情境問題例題2：小明和爸爸的年齡和是45歲，爸爸比小明大27歲，今年兩人各多少歲？建模關(guān)鍵點(diǎn)：年齡差是恒定的（無論過多少年，差不變），因此本題的“差”是固定值。解答：設(shè)小明x歲，則爸爸x+27歲，列方程x+(x+27)=45→x=9（小明），爸爸=36歲。檢驗(yàn)：9+36=45，36-9=27，符合。3拓展例題：隱含和差問題例題3：將一根長(zhǎng)50cm的鐵絲剪成兩段，第一段比第二段的2倍少4cm，求兩段長(zhǎng)度。建模誤區(qū)：本題表面是“倍數(shù)問題”，但隱含“和為50”的條件。需先明確“和”是50cm，“差”需通過倍數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化（第一段=2×第二段-4）。解答：設(shè)第二段為xcm，則第一段為2x-4cm，列方程x+(2x-4)=50→3x=54→x=18（第二段），第一段=32cm。檢驗(yàn)：18+32=50，32=2×18-4=32，符合。4分層訓(xùn)練設(shè)計(jì)基礎(chǔ)題：書架上兩層共有書100本，上層比下層多10本，兩層各有多少本？（直接和差）拓展題：三個(gè)數(shù)的和為90，甲數(shù)比乙數(shù)大5，乙數(shù)比丙數(shù)大5，求三個(gè)數(shù)。（延伸為三個(gè)數(shù)的和差，需用方程鏈解決）0103提高題：甲、乙兩人共有存款3000元，甲取出200元后，兩人存款相等，求原存款各多少？（隱含差：甲比乙多200元）02通過分層訓(xùn)練，學(xué)生能從“模仿建?！敝鸩竭^渡到“自主建模”，深化對(duì)和差問題的理解。0404和差問題建模的思維升華1從“題型”到“模型”的跨越和差問題的本質(zhì)是“二元一次方程組的簡(jiǎn)化版”（設(shè)兩數(shù)為x、y，則x+y=和，x-y=差），但七年級(jí)上冊(cè)僅要求一元一次方程，因此需通過“設(shè)一個(gè)變量+和/差表示另一個(gè)變量”來實(shí)現(xiàn)。這一過程本質(zhì)是“消元思想”的初步滲透，為后續(xù)學(xué)習(xí)方程組埋下伏筆。2數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)：體會(huì)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的工具性。04符號(hào)意識(shí)：用x表示未知量，構(gòu)建等式；03抽象能力：從生活語言中提取“和”“差”的數(shù)學(xué)關(guān)系；02通過和差問題的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)掌握：013教學(xué)反思與學(xué)生成長(zhǎng)在多年教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生的進(jìn)步往往體現(xiàn)在“三個(gè)轉(zhuǎn)變”：從“等待教師給公式”到“主動(dòng)分析數(shù)量關(guān)系”，從“害怕列方程”到“享受建模過程”，從“解決書本問題”到“嘗試解決生活問題”。例如，有學(xué)生曾用和差模型解決“分蛋糕”問題：“媽媽買了12寸蛋糕，我和弟弟分，我比他多吃2寸，各吃多少？”這正是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)落地的體現(xiàn)。05總結(jié)與作業(yè)布置1核心知識(shí)回顧和差問題建模五步流程：01審題：找“和”與“差”；02設(shè)元：合理選擇變量；03列方程：建立“和”的等式；04解方程：規(guī)范運(yùn)算；05檢驗(yàn)：數(shù)學(xué)與實(shí)際雙驗(yàn)證。062課后作業(yè)建議必做題：教材P102第3、5題（基礎(chǔ)和差問題）；選做題：調(diào)查生活中的和差問題（如家庭物品分配、班級(jí)活動(dòng)人數(shù)等），嘗