2025年CFA一級(jí)《數(shù)量分析》專項(xiàng)練習(xí)考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______題目一：假設(shè)一個(gè)投資組合包含兩種資產(chǎn)，資產(chǎn)A的期望收益率為12%，標(biāo)準(zhǔn)差為15%；資產(chǎn)B的期望收益率為8%，標(biāo)準(zhǔn)差為10%。如果資產(chǎn)A和資產(chǎn)B之間的相關(guān)系數(shù)為0.4，投資組合中資產(chǎn)A和資產(chǎn)B的投資比例分別為60%和40%，請(qǐng)計(jì)算該投資組合的期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差。題目二：根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，某只股票的月收益率服從正態(tài)分布，其平均月收益率為1.5%，標(biāo)準(zhǔn)差為4%。請(qǐng)問該股票在一個(gè)月內(nèi)收益率超過10%的概率是多少？又請(qǐng)問該股票在一個(gè)月內(nèi)收益率低于-5%的概率是多少？題目三：某公司正在考慮是否投資一個(gè)新項(xiàng)目。如果項(xiàng)目成功，公司預(yù)期獲得1000萬美元的收益；如果項(xiàng)目失敗，公司預(yù)期將損失200萬美元。根據(jù)市場(chǎng)分析，項(xiàng)目成功的概率為60%，失敗的概率為40%。請(qǐng)計(jì)算該項(xiàng)目的期望收益。題目四：從一個(gè)包含100個(gè)元素的總體中隨機(jī)抽取一個(gè)包含30個(gè)元素的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。如果總體均值已知為50，總體標(biāo)準(zhǔn)差未知但假設(shè)為10。請(qǐng)計(jì)算樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差。題目五：某分析師想檢驗(yàn)一個(gè)股票的月收益率是否顯著高于市場(chǎng)平均水平。他選取了該股票過去60個(gè)月的月收益率數(shù)據(jù)作為樣本，樣本均值為1.8%，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為5%，市場(chǎng)平均月收益率為1%。假設(shè)股票月收益率服從正態(tài)分布，請(qǐng)計(jì)算該股票月收益率高于市場(chǎng)平均水平的95%置信區(qū)間。題目六：假設(shè)你正在使用簡(jiǎn)單指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)下一個(gè)月的銷售量。上個(gè)月的實(shí)際銷售量為1500件，上個(gè)月的預(yù)測(cè)值為1400件。請(qǐng)計(jì)算下個(gè)月的預(yù)測(cè)值（使用α=0.2）。題目七：比較以下三種不同的價(jià)格指數(shù)計(jì)算方法：拉斯貝爾指數(shù)、帕氏指數(shù)和費(fèi)雪指數(shù)。請(qǐng)簡(jiǎn)要說明每種方法的定義和主要特點(diǎn)，并指出哪種方法通常被認(rèn)為是最理想的。題目八：假設(shè)一個(gè)簡(jiǎn)單線性回歸模型用于分析某股票的月收益率（因變量）與其一個(gè)宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)（自變量）之間的關(guān)系。得到了以下回歸結(jié)果：截距項(xiàng)系數(shù)為0.5%，斜率項(xiàng)系數(shù)為1.2%，R2為0.35，樣本量為100。請(qǐng)解釋斜率項(xiàng)系數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義。如果該宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)下個(gè)月預(yù)期增長1%，請(qǐng)預(yù)測(cè)該股票下個(gè)月的月收益率（假設(shè)其他因素不變）。題目九：定義什么是抽樣分布。為什么理解抽樣分布對(duì)于統(tǒng)計(jì)推斷（如參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)）非常重要？題目十：解釋中心極限定理的內(nèi)容。該定理在投資分析中有哪些重要的應(yīng)用？試卷答案題目一：*期望收益率：0.60*12%+0.40*8%=7.2%+3.2%=10.4%*投資組合方差：*(0.60)^2*(15%)^2+(0.40)^2*(10%)^2+2*0.60*0.40*0.4*15%*10%*=0.36*0.0225+0.16*0.01+2*0.60*0.40*0.4*0.15*0.10*=0.0081+0.0016+0.0036=0.0133*投資組合標(biāo)準(zhǔn)差：√0.0133≈11.53%題目二：*計(jì)算Z分?jǐn)?shù)：*Z(10%)=(10%-1.5%)/4%=2.25*Z(-5%)=(-5%-1.5%)/4%=-1.75*查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表或使用計(jì)算器：*P(收益率>10%)=P(Z>2.25)=1-P(Z≤2.25)≈1-0.9878=0.0122*P(收益率<-5%)=P(Z<-1.75)≈0.0401題目三：*期望收益=(1000萬*60%)+(-200萬*40%)*期望收益=600萬-80萬=520萬題目四：*樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差=總體標(biāo)準(zhǔn)差/√樣本量*標(biāo)準(zhǔn)誤差=10/√30≈1.8257題目五：*假設(shè)檢驗(yàn)：*H?:μ≤1%(股票收益率不高于市場(chǎng)平均)*H?:μ>1%(股票收益率高于市場(chǎng)平均)*顯著性水平α=1-95%=0.05*自由度df=n-1=60-1=59*查t分布表得臨界值t(0.05,59)≈1.671*檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(樣本均值-總體均值)/標(biāo)準(zhǔn)誤差*標(biāo)準(zhǔn)誤差=σ/√n=5/√60≈0.6455*t=(1.8%-1%)/0.6455≈1.55*置信區(qū)間計(jì)算：*上限=樣本均值+(臨界值*標(biāo)準(zhǔn)誤差)*上限=1.8%+(1.671*0.6455%)≈2.78%*下限=樣本均值-(臨界值*標(biāo)準(zhǔn)誤差)=0%(通常置信區(qū)間不包含小于0的收益率，此處按計(jì)算)*結(jié)論：95%置信區(qū)間約為[0%,2.78%]。由于1%不在區(qū)間內(nèi)（或t統(tǒng)計(jì)量1.55小于臨界值1.671），不能拒絕原假設(shè)，即沒有足夠證據(jù)表明股票收益率顯著高于市場(chǎng)平均水平。題目六：*預(yù)測(cè)值=α*實(shí)際值+(1-α)*預(yù)測(cè)值*預(yù)測(cè)值=0.2*1500+(1-0.2)*1400*預(yù)測(cè)值=300+0.8*1400=300+1120=1420題目七：*拉斯貝爾指數(shù)(LaspeyresIndex):*定義的基期加權(quán)計(jì)算報(bào)告期價(jià)格水平。*計(jì)算方法：以基期消費(fèi)量作為權(quán)數(shù)，計(jì)算報(bào)告期價(jià)格相對(duì)于基期的變化。*特點(diǎn)：反映了維持基期消費(fèi)水平所需的報(bào)告期成本變化，通常偏高于費(fèi)雪指數(shù)。常用。*帕氏指數(shù)(PaascheIndex):*定義的報(bào)告期加權(quán)計(jì)算基期價(jià)格水平。*計(jì)算方法：以報(bào)告期消費(fèi)量作為權(quán)數(shù)，計(jì)算基期價(jià)格相對(duì)于報(bào)告期的變化。*特點(diǎn)：反映了以報(bào)告期消費(fèi)結(jié)構(gòu)購買基期商品所需的成本變化，通常偏低于費(fèi)雪指數(shù)。較少使用。*費(fèi)雪指數(shù)(FisherIndex):*定義：是拉氏指數(shù)和帕氏指數(shù)的幾何平均數(shù)。*計(jì)算方法：(LaspeyresIndex*PaascheIndex)^(1/2)*特點(diǎn)：兼顧了基期和報(bào)告期的權(quán)數(shù)，被經(jīng)濟(jì)學(xué)家普遍認(rèn)為是最理想的指數(shù)計(jì)算方法，因?yàn)樗辖?jīng)濟(jì)學(xué)中的“理想指數(shù)”概念，即考慮了消費(fèi)結(jié)構(gòu)的變化，且具有時(shí)間互換檢驗(yàn)和因子互換檢驗(yàn)的優(yōu)良特性。計(jì)算相對(duì)復(fù)雜。題目八：*斜率項(xiàng)系數(shù)(1.2%)的經(jīng)濟(jì)含義：表示當(dāng)宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)每增加一個(gè)單位時(shí)，該股票的月收益率預(yù)計(jì)平均增加1.2%。這是一個(gè)正向關(guān)系，表明宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)與股票收益率正相關(guān)。*預(yù)測(cè)值計(jì)算：*預(yù)測(cè)收益率=截距項(xiàng)系數(shù)+(斜率項(xiàng)系數(shù)*宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)變動(dòng)量)*預(yù)測(cè)收益率=0.5%+1.2%*1=1.5%*注意：該預(yù)測(cè)值是基于線性關(guān)系的理想估計(jì)，實(shí)際收益率還會(huì)受到其他未包含在模型中的因素的影響。題目九：*抽樣分布定義：抽樣分布是指從一個(gè)總體中重復(fù)抽取所有可能的樣本（樣本量為n）時(shí)，樣本統(tǒng)計(jì)量（如樣本均值、樣本比例）的分布。*重要性：*參數(shù)估計(jì)：基于抽樣分布，我們可以構(gòu)建置信區(qū)間來估計(jì)總體參數(shù)的范圍。*假設(shè)檢驗(yàn)：假設(shè)檢驗(yàn)中的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量其分布是基于抽樣分布推導(dǎo)出來的，通過該分布我們可以計(jì)算p值或確定拒絕域，從而判斷是否拒絕原假設(shè)。*提供推斷基礎(chǔ)：抽樣分布使我們能夠了解樣本統(tǒng)計(jì)量的變異性，并據(jù)此對(duì)總體進(jìn)行推斷，即使我們沒有總體數(shù)據(jù)。題目十：*中心極限定理內(nèi)容：如果從任何具有均值μ和有限方差σ2的總體中隨機(jī)抽取大小為n的樣本，當(dāng)樣本量n足夠大時(shí)（通常n≥30），樣本均值的分布將趨近于一個(gè)以總體均值μ為中心、標(biāo)準(zhǔn)差為σ/√n的正態(tài)分布。即使原始總體不是正態(tài)分布，樣本均值的分布也趨近于正態(tài)分布。*投資分析應(yīng)用：*估算總體均值：通過計(jì)算多個(gè)大樣本的均值，可以更準(zhǔn)確地估計(jì)總